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Reviewed-on: #16
Reviewed-by: Elias Fierke <fierke@mypapertown.de>

bibliography.bib

@@ -1,22 +1,110 @@
 
-% Ein Eintrag in der Bibliographie könnte so aussehen:
+@unpublished{kosenkova_stochastik_2025,
-@book{Beutelspacher2009,                      
+	location = {Universität potsdam},
-  shorthand = {Beu09},              
+	title = {Stochastik für das Lehramt},
-  author = {Beutelspacher, Albrecht},
+	url = {https://moodle2.uni-potsdam.de/course/view.php?id=44845},
-  editor = {},
+	shorttitle = {{StoLa}},
-  publisher = {Vieweg+Teubner Verlag},
+	type = {Vorlesung},
-  title = {"Das ist o.B.d.A. trivial!"},
+	howpublished = {Vorlesung},
-  subtitle = {Tipps und Tricks zur Formulierung mathematischer Gedanken},
+	author = {Kosenkova, Dr. Tetiana},
-  year = {2009},
+	urldate = {2026-06-11},
-  edition = {9. Auflage},
+	date = {2025},
-  url = {https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9599-8},
-  note = {Zugriff am 31. Mai 2026}
 }
-% Beutelspacher2009 ist der Zitationsschlüssel, der in \cite{Beutelspacher2009} verwendet wird. Er sollte eindeutig sein und kann nach Belieben gewählt werden, z.B. durch Kombination von Autorennamen und Jahr.
-% Shorthand gibt vor, wie der Eintrag in der Bibliographie angezeigt wird.
-% Bei einem Autor sollten die ersten drei Buchstaben des Nachnamens und die letzten zwei Ziffern des Jahres verwendet werden, z.B. Beu09 für Beutelspacher 2009.
-% Bei mehreren Autoren sollten die Initialien der Nachnamen der ersten drei Autoren und die letzten zwei Ziffern des Jahres verwendet werden, z.B. ABM20 für einen Eintrag von Autoren A, B und M aus dem Jahr 2020.
-% Die anderen Einträge (author, editor, publisher, title, year, edition, url) sollten entsprechend den Informationen des zitierten Werks ausgefüllt werden.
-% Es ist hilfreich, die URL anzugeben, wenn das Werk online verfügbar ist, damit Leser leicht darauf zugreifen können.
-% Wenn die URL angegeben wird, sollte auch das Zugriffsdatum hinzugefügt werden, um anzugeben, wann die Quelle zuletzt überprüft wurde.
 
+@unpublished{enders_analysis_2024,
+	location = {Universität Potsdam},
+	title = {Analysis {II}},
+	author = {Enders, Dr. Jörg},
+	date = {2024},
+}
+
+@book{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015,
+	location = {Wiesbaden},
+	title = {Die Monte-Carlo-Methode: Beispiele unter Excel {VBA}},
+	isbn = {978-3-658-10149-7},
+	series = {Essentials},
+	shorttitle = {Die Monte-Carlo-Methode},
+	publisher = {Springer Fachmedien Wiesbaden},
+	author = {Nahrstedt, Harald},
+	date = {2015},
+	langid = {german},
+}
+
+@collection{buchter_elementare_2005,
+	location = {Berlin, Heidelberg},
+	title = {Elementare Stochastik: Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls},
+	doi = {10.1007/b138982},
+	series = {Mathematik für das Lehramt},
+	shorttitle = {Elementare Stochastik},
+	pagetotal = {452},
+	publisher = {Springer-Verlag Berlin Heidelberg},
+	editor = {Büchter, Andreas and Henn, Hans-Wolfgang},
+	date = {2005},
+	langid = {german},
+}
+
+@online{arndt_brunner_simulation_2025,
+	title = {Simulation des Galtonbretts},
+	url = {https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm},
+	titleaddon = {Simulation des Galtonbretts},
+	author = {{Arndt Brünner}},
+	urldate = {2025-06-11},
+	date = {2025-11-29},
+}
+
+@video{statistik_verstehen_beweis_2019,
+	author = {{Andreas Pfaffel}},
+	title = {Beweis des zentralen Grenzwertsatzes von de Moivre-Laplace},
+	url = {https://www.youtube.com/watch?v=0_RZUWtlCQM},
+	editora = {{Statistik verstehen}},
+	editoratype = {collaborator},
+	urldate = {2025-06-11},
+	date = {2019-10-28},
+}
+
+@BOOK{berger2023-mz,
+  title     = "Kombinatorik",
+  author    = "Berger, Peter",
+  publisher = "Springer Berlin Heidelberg",
+  year      =  2023,
+  address   = "Berlin, Heidelberg",
+  copyright = "https://www.springernature.com/gp/researchers/text-and-data-mining",
+  language  = "de"
+}
+
+@book{nielsen1906,
+  author    = {Niels Nielsen},
+  title     = {Handbuch der Theorie der Gammafunktion},
+  year       = {1906},
+  publisher  = {B. G. Teubner},
+  location   = {Leipzig},
+  ulr = {https://dn760009.eu.archive.org/0/items/handbuchgamma00nielrich/handbuchgamma00nielrich.pdf},
+  language   = {german},
+  isbn = {978-0274048847}
+}
+
+@BOOK{freitag1995-oj,
+  title     = "Funktionentheorie",
+  author    = "Freitag, Eberhard and Busam, Rolf",
+  publisher = "Springer",
+  series    = "Springer-Lehrbuch",
+  edition   =  2,
+  month     =  mar,
+  year      =  1995,
+  address   = "New York, NY",
+  language  = "de"
+}
+
+@report{lisum-2022,
+	author = {LISUM and MBJS},
+	title = {{Rahmenlehrplan für die gymnasiale Oberstufe, Fachteil C Mathematik}},
+	year = {2022},
+	url = {https://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/fileadmin/bbb/unterricht/rahmenlehrplaene/gymnasiale_oberstufe/curricula/2022/Teil_C_RLP_GOST_2022_Mathematik.pdf},
+}
+
+@report{lisum-2023,
+	author = {LISUM and MBJS},
+	title = {{Rahmenlehrplan für die Jahrgangsstufen 1 bis 10, Fachteil C Mathematik}},
+	year = {2023},
+	url = {https://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/fileadmin/bbb/unterricht/rahmenlehrplaene/Rahmenlehrplanprojekt/amtliche_Fassung/getrennt_2023/BB_RLP_2023_Teil_C_Ma_GenF_1.pdf},
+}

content/Einordnung_Lehrplan.tex

@@ -1,3 +1,4 @@
-Orden Sie bitte Ihr Material kurz und prägnant in den Lehrplan ein. Das ist wichtig, damit die Lehrkräfte, die Ihr Material verwenden, auch wissen, wo sie es im Lehrplan finden können.
+Ein erster Kontakt mit der Binomialverteilung tritt in Form von Binomialkoeffizienten in der zehnten Klasse des Gymnasiums als Teil der Niveaustufe H auf (\cite{lisum-2023}).
+
+Vertieft wird die Binomialverteilung dann im zweiten Semester der Oberstufe und wird im vierten Semester durch die Normalverteilung ergänzt (\cite{lisum-2022}).
 
-Wichtig: Nicht mehr als eine halbe Seite! Das ist nur eine kurze Einordnung, keine vollständige Darstellung des Lehrplans.

content/Kernideen.tex

@@ -1,7 +1,11 @@
-Ziel des Kapitels ist es, der Leserschaft auf einen Blick die zentralen Ideen zu präsentieren.
+In dieser Arbeit widmen wir uns der mathematischen Formalisierung eines faszinierenden Phänomens: Wie verteilen sich zufällige Ereignisse, wenn sie sehr oft wiederholt werden? Als anschauliches Modell dient uns hierfür das Galton-Brett, bei dem Kugeln an Hindernissen zufällig nach links oder rechts fallen. 
 
-Beschreiben Sie hier also knapp die mathematische Fragestellung. Es soll klar der mathematische Rahmen umrissen werden und die Fragestellung in den größeren Kontext eingeordnet werden. 
+%Informell lautet unsere Fragestellung: Lässt sich das exakte, aber für große Zahlen unhandliche Zählverfahren der Kugelwege (Kombinatorik) durch eine einfachere, kontinuierliche Kurve beschreiben? 
 
-Falls es einen zentralen Satz gibt, der die Fragestellung beantwortet, dann kann dieser hier auch genannt werden (auch wenn er später nochmal auftaucht und bewiesen wird).
+Der mathematische Rahmen bewegt sich dabei im Übergang von der diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie zur stetigen Analysis. Wir modellieren den Fall einer Kugel zunächst als Summe unabhängiger, identisch verteilter Bernoulli-Zufallsvariablen, was direkt zur Binomialverteilung führt. Da die direkten Berechnungen der Binomialkoeffizienten für eine große Anzahl an Reihen (für $n \to \infty$) aufgrund der Fakultäten extrem aufwendig werden, suchen wir nach einer asymptotischen Näherung. Außerdem ist es ein sehr schönes Resultat, dass aus einer Binomialverteilung eine Normalverteilung "entstehen" kann.
 
-Ansonsten soll die Fragestellung zwar klar umrissen werden, aber eher informell beschrieben werden. 
+Den größeren Kontext bildet die Verknüpfung grundlegender mathematischer Werkzeuge, um genau dies zu beweisen. Wir greifen auf die \emph{Stirling-Approximation} (zur Näherung von Fakultäten) und die \emph{Taylor-Entwicklung} (zur Approximation von Logarithmen) zurück. Diese analytischen Werkzeuge schlagen die Brücke zwischen der diskreten Welt des Pascalschen Dreiecks und der kontinuierlichen Welt der Exponentialfunktion.
+
+Das Herzstück der Arbeit und die formale Antwort auf unsere Fragestellung bildet der \emph{Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace}. Er besagt, dass sich die diskrete Binomialverteilung für große $n$ der stetigen Normalverteilung (der bekannten Gaußschen Glockenkurve) annähert.
+
+Damit wird mathematisch präzise gezeigt, wie ein System aus einfachen, binären Entscheidungen (links oder rechts) bei ausreichend vielen Wiederholungen unweigerlich in ein universelles, kontinuierliches Verteilungsmodell mündet.

content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -1,14 +1,33 @@
 %"ltex.language": "de-DE"
-Dies ist der zentrale Teil des Dokuments und soll (inhaltlich) den größten Teil des Dokuments ausmachen. 
-
 \subsection{Beweis des zentralen Grenzwertsatzes}
-Das Galton-Brett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom Zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess als Binomialverteilung und Beweisen anschließend den Zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace.
+Das Galton-Brett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom Zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess mithilfe einer Binomialverteilung und Beweisen anschließend den zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015}.
-\begin{definition}[Modell des Galton Brett]{galton}
+\begin{definition}[Modell des Galton Brett]{galton}{nach \cite[S. 252-253]{buchter_elementare_2005}}
-	Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
+	Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. 
 	Der Fall einer Kugel durch ein Galton-Brett mit $n \in \mathbb{N}$ Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei $X_i \in \{0, 1\}$.
 	Dabei beschreibt \textbf{$X_i = 1$ den Fall nach rechts} in der $i$-ten Reihe und \textbf{$X_i = 0$ den Fall nach links}. Die Wahrscheinlichkeit sei $P(X_i = 1) = p$ und $P(X_i = 0) = 1-p = q$. Bei einem symmetrischen Brett gilt $p = q = 0.5$.
 \end{definition} %Bild?
-Hierbei ist anzumerken, dass jedes $X_i$ Bernoulliverteilt ist, da 
+\begin{figure}[htbp]
+	\centering
+	% Erstes Bild
+	\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
+		\centering
+		\includegraphics[width=\linewidth]{./images/Galtonbrett.png}
+		\caption{Darstellung des Galtonbretts nach \cite{arndt_brunner_simulation_2025}}
+		\label{fig:galton}
+	\end{minipage}
+	\hfill
+	% Zweites Bild
+	\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
+		\centering
+		\includegraphics[width=\linewidth]{./images/Galton_Hüpfbild.png}
+		\caption{Darstellung der Zufallsvariable $X_i$ im Kontext vom Galtonbrett}
+		\label{fig:galtonXi}
+	\end{minipage}
+\end{figure}
+\begin{bemerkung}[$X_i$ Bernoulliverteilt]{XiB}
+	Hierbei ist anzumerken, dass jedes $X_i$ Bernoulliverteilt ist. 
+\end{bemerkung}
+Dies gilt, da
 \[
 	\Omega = \{1,0\} \quad \text{und} \quad
 	P(X_i = x) = 
@@ -17,39 +36,71 @@ Hierbei ist anzumerken, dass jedes $X_i$ Bernoulliverteilt ist, da
 		1-p & \text{wenn } x=0
 	\end{cases}
 \]
-Somit lässt sich auch $X_i \sim \mathcal{B}_{0,5}$ schreiben.\\
+Somit lässt sich auch $X_i \sim \mathcal{B}_{p}$ schreiben.\\
-Um jeden Ausgang des Galton-Brettes durchnummeriert von links nach rechts unterscheiden zu können, definieren wir uns eine weitere Zufallsvariable Sn wie folgt:
+Um jeden Ausgang des Galton-Brettes durchnummeriert von links nach rechts unterscheiden zu können, definieren wir uns eine weitere Zufallsvariable $S_n$ wie folgt:
-\begin{definition}[Zufallsvariable $S_n$]{Sn}
+\begin{definition}[Zufallsvariable $S_n$]{Sn}{nach \cite[min. 0:50]{statistik_verstehen_beweis_2019}}
 	Die Endposition der Kugel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[S_n = \sum_{i=1}^n X_i\]
 \end{definition}
+Um diese summierte Zufallsvariable genauer zu verstehen betrachten wir zuerst den Binomialkoeffizienten.
+\begin{definition}[Binomialkoeffizienten]{binomialkoeffizienten}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
+	Für $n\in\mathbb{N}_0$ und $k\in\{0,\dots,n\}$ definieren wir den \textbf{Binomialkoeffizienten}
+	\[
+	\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
+	\]
+	wobei die Zahl $\binom{n}{k}$ die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen Menge genau $k$-Elemente auszuwählen, angibt.
+\end{definition}
+Betrachten wir nun den Binomialkoeffizienten in Bezug auf $S_n$, beschreibt dieser exakt die Anzahl der möglichen Pfade durch das Galton-Brett, bei denen die Kugel von $n$ Reihen genau $k$-mal nach rechts (und somit $(n-k)$-mal nach links) fällt. Da jeder dieser einzelnen Pfade aufgrund der Unabhängigkeit der Entscheidungen die Wahrscheinlichkeit $p^k (1-p)^{n-k}$ besitzt, ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Fach $k$ durch Multiplikation. Daher rührt die Binomialverteilung:
+\begin{definition}[Binomialmodell]{binModell}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
+	Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in [0,1]$ $n$-mal, und interessiert sich nur für die Anzahl der erfolgreichen Experimente, so wählt man 
+	\[
+		\Sigma = \{0,1,...,n\}.
+	\]
+	In diesem Modell ist
+	\[
+		Bin_{n,p}(\{k\}) := \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,..,n
+	\]
+	eine Zähldichte.
+\end{definition}
+Im Fall des Galtonbrettes können wir $\Sigma = S_n$ wählen.
+\begin{definition}[Binomialverteilung]{binZähldichte}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
+	Die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Zähldichte $Bin_{n,p}(\{k\})$ auf $\{0,...,n\}$ heißt Binomialverteilung zu den Parametern $n, p$.
+\end{definition}
 Anschließend ist folgendes zu bemerken:
-\begin{satz}[Verteilung der Endposition]{satz:binomialverteilung}
+\begin{satz}[Verteilung der Endposition]{binomialverteilung}
-	Die Zufallsvariable $S_n$, ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$. 
+	Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable $S_n$, lässt sich durch die Binomialverteilung beschreiben.\\
 	Daher gilt $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
 \end{satz}
 \begin{proof}
-	Nach \cref{def:galton} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulli-verteilten Zufallsexperimenten dar.
+	Nach \cref{bem:XiB} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulli-verteilten Zufallsexperimenten dar.
-	%Ref Cosi
+	Daraus folgt, dass das Galton-Brett mit der Zufallsvariable $S_n$ eine Binomialmodell \cref{def:binModell} darstellt und somit die Binomialverteilung nach \cref{def:binZähldichte} eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$.
-	Daraus folgt, dass das Galton-Brett mit der Zufallsvariable $S_n$ eine Binomialmodell darstellt und somit die Binomialverteilung nach Definition eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
 \end{proof}
-Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkennen, dass bei $n\rightarrow\infty$ Kugeln sich die Verteilung der Kugeln in der Auffangung der Verteilung der Glockenkurve der Normalverteilung annähert. %"Verteilung" Fachlick Korrekt?
+Eine weitere in diesem Kontext interessante Verteilung ist die Normalverteilung.
-\begin{satz}[Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{satz:moivrelaplace}
+\begin{definition}[Normalverteilung]
-	Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$. Für große $n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass $S_n$ genau den Wert $k$ annimmt, durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
+	Sei X eine stetige Zufallsvariable mit Dichte 
+	\[ f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}\]
+	und Parametern $\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0$, wobei $\mu$ den Erwartungswert und $\sigma ^2$ die Varianz von X darstellt, so nennt man X \emph{Normalverteilt} und schreibt:
+	\[ x \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma ^2)\]
+\end{definition}
+Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der Fakultäten sehr aufwendig. An dieser Stelle greift der zentrale Grenzwertsatz, der besagt, dass sich die Binomialverteilung für große $n$ der Normalverteilung annähert. Für große $n$ lässt sich damit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (aufgrund der Standardisierung) deutlich leichter bestimmen. Des weiteren ist es mathematisch gesehen sehr schön zu sehen, wie eine relativ einfache diskrete Verteilung, wie die Binomialverteilung, mit einer mathematisch persé sehr anders aussehenden Verteilung zusammenhängt. Im Spezialfall der Binomialverteilung wird dies durch den Satz von Moivre-Laplace formalisiert \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015, statistik_verstehen_beweis_2019}.
+\begin{satz}[Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{moivrelaplace}{nach \cite{kosenkova_stochastik_2025}}
+	Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$. Für große $n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass $S_n$ den Wert $k \in \{x| x \in\mathbb{N}_0 \land x \leq n\}$ annimmt, durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
 	\[
-	P(S_n = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} \exp\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)
+	P(S_n = k) \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)
 	\]
+	wobei $\mathbb{E}(X)=\mu$, $Var(X)=\sigma ^2$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-	Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$ sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese 3 Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der Folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.
+	Der Beweis folgt zum großen Teil dem Beweis von \cite{statistik_verstehen_beweis_2019} und wurde von den Autoren weiter konkretisiert.\\
+	Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$, sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese drei Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.
 	
 	\textbf{1. Anwendung der Stirling-Formel:} \\
 	Wir beginnen mit der Definition der Binomialwahrscheinlichkeit:
 	\[
 	P(S_n = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}
 	\]
-	Nach der Stirling-Formel gilt für große Zahlen näherungsweise $n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung:
+	Nach \cref{satz:stirlingformel} gilt für große Zahlen näherungsweise $n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung:
 	\begin{align}
-			P(S_n = k) &\approx \frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{(\sqrt{2\pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k)(\sqrt{2\pi (n-k)} \left(\frac{(n-k)}{e}\right)^{(n-k)})} p^k q^{n-k} \nonumber \\
+			P(S_n = k) &\sim \frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{(\sqrt{2\pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k)(\sqrt{2\pi (n-k)} \left(\frac{(n-k)}{e}\right)^{(n-k)})} p^k q^{n-k} \nonumber \\
 			&= \frac{n^n \sqrt{2\pi n}}{k^k \sqrt{2\pi k} (n-k)^{n-k} \sqrt{2\pi (n-k)}} p^k q^{n-k} \label{eq1:e}\\
 			&= \frac{\sqrt{n} \cdot n^k \cdot n^{n-k}}{\sqrt{2\pi} \sqrt{k} \sqrt{(n-k)} k^k (n-k)^{n-k}} p^k q^{n-k} \label{eq1:aufteilen}\\
 			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \label{eq1:zusammenfassen}
@@ -57,24 +108,373 @@ Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkenne
 	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
 	\begin{itemize}
 		\item[(\ref{eq1:e})] Hier heben sich die $e$-Potenzen heraus, da $\left(\frac{n}{e}\right)^n = n^n \cdot e^{-n}$ sowie $e^n / (e^k e^{n-k}) = 1$ gilt.
-		\item[(\ref{eq1:aufteilen})] Hier lässt sich die Gleichung intelligent aufteilen und etwas umstellen durch die Potenzgesetze, da gilt: $n^n = n^k \cdot n^{n-k}$ Außerdem lässt sich einmal $\sqrt{2\pi}$ Kürzen.
+		\item[(\ref{eq1:aufteilen})] Hier lässt sich die Gleichung intelligent aufteilen und etwas umstellen durch die Potenzgesetze, da gilt: $n^n = n^k \cdot n^{n-k}$. Außerdem lässt sich einmal $\sqrt{2\pi}$ Kürzen.
-		\item[(\ref{eq1:zusammenfassen})] Ist das Resultat nach dem Sortieren der Brüche anhand der Exponenten
+		\item[(\ref{eq1:zusammenfassen})] Ist das Resultat nach dem Sortieren der Brüche anhand der Exponenten.
 	\end{itemize}
-	%weiter
+	\textbf{2. Substitution und Approximation der Wurzeln:} \\
-	...
+	In diesem Teil des Beweises werden O-Notationen verwendet und ein grundlegendes Verständnis dieser vorausgesetzt.\\
+	Um das Breiter werden der Verteilung und das Abwandern des Erwartungswertes zu verhindern standardisieren wir die Zufallsvariable, indem wir 
+	\[
+	Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sigma(S_n)}
+	\]
+	definieren. Nun nimmt $Z_n$ Werte $z=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ an, nach $k$ umgestellt heißt das
+	\begin{align*}
+		k = np + z\sqrt{npq}
+	\end{align*}
+	Multipliziert man diese Gleichung mit $-(1)$ und addiert man $n$ erhält man einen ähnlichen Ausdruck für $n-k$:
+	\begin{align*}
+		n-k = nq - z\sqrt{npq} 
+	\end{align*}
+	Nun betrachten wir $k \cdot (n-k)$ für $n \rightarrow \infty$:
+	\begin{align}
+		k(n-k) &= (np + z\sqrt{npq})\cdot(nq - z\sqrt{npq}) \label{eq3:einsetzen}\\
+		&= n^2pq + (nz\sqrt{nqp}(q-p)-z^2npq)	\label{eq3:umstellen}\\
+		&=n^2pq + O(n)\label{eq3:absch}
+	\end{align}
+	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
+	\begin{itemize}
+		\item[(\ref{eq3:einsetzen})] Die Formeln für $k$ und $n-k$ einsetzen.
+		\item[(\ref{eq3:umstellen})] Das Distributivgesetz anwenden und nach der Potenz von $n$ sortieren.
+		\item[(\ref{eq3:absch})] $n^2$ geht für $n\rightarrow\infty$ schneller nach unendlich als die linearen Restterme. Folglich sind diese für die Abschätzung gegen unendlich im folgenden vernachlässigbar.
+	\end{itemize}
+	Setzen wir dieses Ergebnis nun in das Zwischenergebnis von \cref{eq1:zusammenfassen} ein, so erhalten wir folgendes:
+	\begin{align}
+		P(S_n = k) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \nonumber \\
+		&\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{n^2pq}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \label{eq4:1}\\
+		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{npq}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \label{eq4:2}\\
+		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \label{eq4:3}
+	\end{align}
+	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
+	\begin{itemize}
+		\item[(\ref{eq4:1})] Die Approximation verwenden.
+		\item[(\ref{eq4:2})] $n$ Kürzen und die Potenz-/Wurzelgesetze anwenden, um den Bruch zu vereinfachen.
+		\item[(\ref{eq4:3})] Den Kehrwert der Brüche bilden und die Wurzeln zusammenfassen.
+	\end{itemize}
+	Es ist bereits der korrekte konstante Faktor der gaußschen Glockenkurve erkennbar.\\
+	\textbf{3. Taylor-Approximation des exponentiellen Teils:} \\
+	Den restlichen Term formen wir um, indem wir ihn logarithmieren, um im Anschluss die Approximationsformel für den Logarithmus verwenden zu können. Diese wird ebenso wie die Stirling-Formel im Anschluss bewiesen. 
+	Hierzu betrachten wir folgendes zuerst einzeln:
+	\begin{align}
+		&\ln\left( \left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \right) \label{eq5:1} \\
+		&= -k \ln\left(\frac{k}{np}\right) - (n-k) \ln\left(\frac{n-k}{nq}\right) \label{eq5:2}\\
+		&= -(np + z\sqrt{npq}) \ln\left(\frac{(np + z\sqrt{npq})}{np}\right) - (nq - z\sqrt{npq}) \ln\left(\frac{(nq - z\sqrt{npq})}{nq}\right) \label{eq5:3}\\
+		&= (-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \label{eq5:4}
+	\end{align}
+	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
+	\begin{itemize}
+		\item[(\ref{eq5:1})] Den Logarithmus anwenden.
+		\item[(\ref{eq5:2})] Logarithmengesetze für Potenzen anwenden.
+		\item[(\ref{eq5:3})] Gleichheit für $k$ aus der Standardisierung einsetzen: $k = np + z\sqrt{npq}$.
+		\item[(\ref{eq5:4})] Distributivgesetz für $-1$ anwenden und Brüche durch Aufteilen der Addition und Einfügen der multiplikativen Identität $\frac{\sqrt{np}}{\sqrt{np}}$ (selbes für $nq$) vereinfachen.
+	\end{itemize}
+	Die \cref{def:taylorpolynom} beweist die Taylor-Approximation für den Logarithmus: $ln(1-\alpha) = -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ und $ln(1+\alpha) \sim \alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ für $\alpha \in (-\infty, 1)$. Hierbei steht $O(\alpha^3)$ für die Landau-Notation.
+	Wir definieren:
+	\[
+		\beta := \sqrt{\frac{q}{np}}; \quad
+		\gamma := \sqrt{\frac{p}{nq}}
+	\]
+	Um diese Approximation zu verwenden, muss sicher sein, dass $-1 < |\alpha| < 1$. Das heißt, dass $\forall z \in \mathbb{R}: \lim_{n\rightarrow\infty} -1 < |z\cdot\beta|<1$. (Für $z\cdot\gamma$ analog) Hierbei genügt die Abschätzung gegen unendlich, da wir die Annäherung nur für große Zahlen beweisen wollen.\\
+	Sei also $z\in\mathbb{N}$, dann betrachten wir:\\
+	\begin{align*}
+		|z\cdot\beta| \overset{Def.}{=} \left|z \cdot \sqrt{\frac{q}{np}}\right| = |z|\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{\frac{q}{p}} \xrightarrow{n\rightarrow\infty} 0\\
+		und \quad -1 < 0 < 1
+	\end{align*}
+	Da $p$ und $q$ konstante Parameter sind.
+	
+	Betrachten wir nun die Logarithmen für die Taylor-Approximation näher:
+	\begin{align*}
+		\ln\left(1 + z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) &\sim z\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{\left(z\sqrt{\frac{q}{np}}\right)^2}{2} + O((z\beta)^3)\\
+		&= z\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{z^2 q}{2np} + O((z\beta)^3)
+	\end{align*}
+	und für den anderen ln analog:
+	\begin{align*}
+		\ln\left(1 - z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) &\sim -z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{\left(z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)^2}{2} + O((-z\gamma)^3) \\
+		&= -z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{z^2 p}{2nq} + O((z\gamma)^3) &&\text{"-" fällt wegen O weg}
+	\end{align*}
+	Setzen wir dies nun zurück in \cref{eq5:3} ein, erhalten wir:
+	\begin{align}
+		&(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)+O(z^3) \nonumber \\
+		&=(-np - z\sqrt{npq})(z\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{z^2 q}{2np} + O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-nq + z\sqrt{npq}))(-z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{z^2 p}{2nq} + O((z\gamma)^3)) + O(z^3) \nonumber \\
+		&=(-npz\sqrt{\frac{q}{np}}+\frac{npz^2q}{2np}-z^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{q}{np}} + O((z\beta)^3)) + O(z^3) \nonumber\\ &\quad + (nqz\sqrt{\frac{p}{nq}}+\frac{nqz^2p}{2nq}-z^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{p}{nq}} + O((z\gamma)^3))\nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)\label{eq6:1}\\
+		&=(-z\sqrt{\frac{(np)^2q}{np}}+\frac{z^2q}{2}-z^2\sqrt{\frac{npq^2}{np}}+O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (z\sqrt{\frac{(nq)^2p}{nq}}+\frac{z^2p}{2}-z^2\sqrt{\frac{np^2q}{nq}} + O((z\gamma)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3) \label{eq6:2}\\
+		&=(-z\sqrt{npq}-z^2q+\frac{z^2q}{2} + O((z\beta)^3)) + (z\sqrt{npq}-z^2p+\frac{z^2p}{2} + O((z\gamma)^3))\nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)\label{eq6:3} \\
+		&\sim (-z\sqrt{npq}-\frac{z^2q}{2}) + (z\sqrt{npq}-\frac{z^2p}{2})\label{eq6:4}\\
+		&=-\frac{z^2q}{2}-\frac{z^2p}{2} = -\frac{z^2}{2}(p+q) \label{eq6:5}\\
+		&=-\frac{z^2}{2} \label{eq6:6}
+	\end{align} %(-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)
+	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
+	\begin{itemize}
+		\item[(\ref{eq6:1})] Das Distributivgesetz anwenden.
+		\item[(\ref{eq6:2})] $np$ und $nq$ mithilfe des Quadrates in die Wurzel ziehen, sowie Kürzen und Wurzeln zusammenfassen. Alle Terme mit $z^3$ werden von $O(z^3)$ nach dessen Definition "absorbiert".
+		\item[(\ref{eq6:3})] $np$ und $nq$ in den Wurzeln Kürzen und Kommutativgesetz anwenden.
+		\item[(\ref{eq6:4})] Die Landau Terme können vernachlässigt werden, da diese Terme für $n\rightarrow\infty$ gegen 0 gehen, sofern $z$ beschränkt ist. Betrachte Hierzu \cref{lem:restterme} und \cref{prop:restterme2}.
+		\item[(\ref{eq6:5})] $-z\sqrt{npq}+z\sqrt{npq}=0$ und Distributivgesetz (invers) anwenden.
+		\item[(\ref{eq6:6})] Es gilt $p+q=1$, da $q = 1-p$ definiert wurde.
+	\end{itemize}
+	Da $e^{ln(l)} = l$ setzen wir nun $e^{-\frac{z^2}{2}}$ in \cref{eq4:3} ein, kommen wir zum finalen Ergebnis:
+	\begin{align}
+		P(S_n = k) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{z^2}{2}} \nonumber \\
+		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right)^2}{2}} \label{eq7:1} \\
+		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)} \label{eq7:2} \\
+		&= \mathcal{N}(np)(npq) = \mathcal{N}(\mu)(\sigma^2) \label{eq7:3}
+	\end{align}
+	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
+	\begin{itemize}
+		\item[(\ref{eq7:1})] Rücksubstitution der Standardisierung.
+		\item[(\ref{eq7:2})] Der Bruch wurde quadriert und zusammengefasst.
+		\item[(\ref{eq7:3})] Definition der Standardnormalverteilung angewendet.
+	\end{itemize}
+	Daher konvergiert eine Binomialverteilte Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.
+\end{proof}
+\begin{lemma}[Asymptotisches Verschwinden der Taylor-Restterme mit Präfix]{restterme}
+	Seien $p \in (0,1)$, $q = 1-p$ und $z$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei z begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus multipliziert mit ihren jeweiligen Vorfaktoren gilt für $n \rightarrow \infty$:
+	\[
+	(-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3) \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0
+	\]
+	wobei $\beta = \sqrt{\frac{q}{np}}$ und $\gamma = \sqrt{\frac{p}{nq}}$ definiert sind.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Da $z$ begrenzt ist, gilt: $ \exists M \in \mathbb{N}: |z|<M$.
+	Wir betrachten exemplarisch den ersten Summanden (der zweite Verhält sich vollkommen analog). Da $\beta = \sqrt{\frac{q}{np}}$, verhält sich der Restterm dritter Ordnung bezüglich $n$ wie folgt:
+	\[
+	O((z\beta)^3) = O\left(z^3\cdot\left(\sqrt{\frac{q}{np}}\right)^3\right) = O\left(\frac{M^3 q^{3/2}}{p^{3/2}}\cdot\frac{1}{n^{3/2}}\right) = O\left(n^{-3/2}\right)
+	\]
+	Nach der Definition der Landau-Notation existiert für hinreichend große $n$ eine Konstante $C > 0$, sodass der Betrag dieses Restterms durch $C \cdot n^{-3/2}$ nach oben beschränkt ist.
+	Multiplizieren wir dies mit dem Betrag des Vorfaktors, erhalten wir mithilfe der Dreiecksungleichung:
+	\begin{align*}
+		\left| (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O(n^{-3/2}) \right| &\leq (np + |z|\sqrt{npq}) \cdot C \cdot n^{-3/2} \\
+		&= C \cdot np \cdot n^{-3/2} + C \cdot |z|\sqrt{npq} \cdot n^{-3/2} \\
+		&= C \cdot p \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} + C \cdot |z|\sqrt{pq} \cdot \frac{1}{n}
+	\end{align*}
+	Da $C, p, q$ und $z$ in diesem Fall von $n$ unabhängige Konstanten sind und $n$ im Nenner unbegrenzt wächst, strebt dieser Ausdruck für $n \to \infty$ gegen:
+	\[
+	0 + 0 = 0
+	\]
+	Für den zweiten Term mit $\gamma$ erfolgt der Beweis völlig analog, womit die Summe beider Terme ebenfalls gegen $0$ konvergiert.
 \end{proof}
 
+Folgende Proposition ist leicht aus dem oberen Beweis ableitbar (aufgrund der Abschätzung mit $n^{-3/2}$ und der Betrachtung von z als beschränkt) und wird daher nicht separat bewiesen.
+\begin{proposition}[Asymptotisches Verschwinden der Taylor-Restterme ohne Präfix]{restterme2}
+	Seien $p \in (0,1)$, $q = 1-p$ und $z$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei $z$ begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus gilt für $n \rightarrow \infty$:
+	\[
+	O((z\beta)^3) + O((z\gamma)^3) \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0
+	\]
+	\[
+	O(z^3) \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0
+	\]
+	wobei $\beta = \sqrt{\frac{q}{np}}$ und $\gamma = \sqrt{\frac{p}{nq}}$ definiert sind.
+\end{proposition}
 
-% Unsortiert:
 \subsection{Stirling-Approximation}
-\begin{satz}[Stirlingformel]{satz:stirlingformel}
+Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vorallem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
+\begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}{\cite{freitag1995-oj}}
 	Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
 	\[
-		n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
+	n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
 	\]
 	Das bedeutet
 	\[
-		\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}=1
+	\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}=1
+	\]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Der Ausgangspunkt ist die nach \cref{def:gammafunktion} definierte \textbf{Gamma-Funktion}
+	\[
+	\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
+	\]
+	Wir schreiben den Integranden als Exponentialfunktion, dann haben wir 
+	\[
+	t^{x-1}e^{-t} = \exp((x-1)\ln t-t)
+	\]
+	also ist
+	\[
+	\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}\exp((x-1)\ln t-t) dt
+	\]
+	Setze $t=xu$ und $f(u)=\ln u - u$, dann erhalten wir
+	\begin{align}
+		\Gamma(x)&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-xu} du\\
+		&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}\exp(x(\ln u-u)) du\\
+		&=x^x\cdot \int_{0}^{\infty} e^{xf(u)}du
+	\end{align}
+	
+	Für große \(x\) wird das Integral durch die Umgebung des kritischen Punktes von \(f\) dominiert. Diese erhält man aus
+	\[
+	f'(u)=\frac{1}{u}-1=0 \quad \Rightarrow \quad u=1.
+	\]
+	
+	Weiter gilt
+	\[
+	f''(u)=-\frac{1}{u^2}, \quad \text{also } f''(1)=-1.
+	\]
+	
+	Damit besitzt \(f\) bei \(u=1\) einen stationären Punkt, und wir entwickeln \(f\) dort bis zur zweiten Ordnung:
+	\[
+	f(u)\sim f(1)+\frac{f''(1)}{2}(u-1)^2
+	= -1 - \frac{(u-1)^2}{2}.
+	\]
+	
+	Einsetzen liefert die lokale Approximation
+	\[
+	\Gamma(x)\sim x^x e^{-x}\cdot\int_0^\infty \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du.
+	\]
+	
+	Da der Hauptbeitrag aus einer Umgebung von $u=1$ stammt, kann das Integral asymptotisch auf $\mathbb{R}$ erweitert werden.
+	\[
+	\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du
+	= \sqrt{\frac{2\pi}{x}}.
+	\]
+	
+	Damit erhält man
+	\[
+	\Gamma(x)\sim \sqrt{2\pi}\, x^{x-\frac12} e^{-x}.
+	\]
+	
+\end{proof}
+
+\subsection{Taylor-Approximation}
+Um eine Taylorpproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist.
+\begin{lemma}{dreimalableiten}
+	$f(x)=\ln(1-x)$ ist mindestens dreimal differenzierbar.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Zum Beweis berechnen wir die drei Ableitungen.
+	\begin{align*}
+		f'(x)&=(\ln{(1-x)})'\\
+		&=\frac{1}{1-x}\cdot(1-x)'&&\text{Kettenregel}\\
+		&=-\frac{1}{1-x}\\\\
+		f''(x)&=(f'(x))'\\
+		&=\left(-\frac{1}{1-x}\right)'\\
+		&=\frac{(-1)'\cdot(1-x)-(-1)\cdot(1-x)'}{(1-x)^2}&&\text{Quotientenregel}\\
+		&=\frac{(1-x)'}{(1-x)^2}&&\text{da } (-1)'\cdot(1-x)=0\\
+		&=\frac{1}{(1-x)^2}\\\\
+		f'''(x)&=(f''(x))'\\
+		&=(\frac{1}{(1-x)^2})'\\
+		&=\frac{(-1)'\cdot(1-x)^2-(-1)\cdot\left((1-x)^2\right)'}{\left((1-x)^2\right)^2}&&\text{Quotientenregel}\\
+		&=\frac{\left((1-x)^2\right)'}{(1-x)^4}&&\text{da } (-1)'\cdot(1-x)^2=0\\
+		&=\frac{-2\cdot(1-x)}{(1-x)^4}&&\text{Kettenregel}\\
+		&=\frac{-2}{(1-x)^3}
+	\end{align*}
+\end{proof}
+Nun haben wir nachgewiesen, dass die Funktion $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. 
+\begin{bemerkung}
+	Mit einem Blick auf die Funktion und wie ihre Ableitungen gebildet werden, ist leicht zu erkennen, dass $\ln(x-1)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist. 
+\end{bemerkung}
+Bevor wir die Approximation  nachweisen, ist eine formale Definition des Satzes von Taylor und dem Taylorpolynom nötig, wobei letzteres aus dem Satz von Taylor folgt. 
+\begin{satz}[Satz von Taylor]{taylor}{\cite{enders_analysis_2024}}
+	Seien $n\in\mathbb{N}_0, f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion und $x_0\in[a,b]$.
+	
+	Dann gilt für alle $x\in[a,b]$ die Darstellung
+	\[
+		f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k+R_n(x)
+	\]
+	Es existiert ein (von $x$ abhängiges $\xi\in I(x_0,x)$), sodass für das Lagrange-Restglied gilt:
+	\[
+		R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}
+	\]
+\end{satz}
+	
+\begin{bemerkung}
+	Das Lagrange-Restglied ist in den meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$.
+	
+	Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^n)$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algortihmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
+	
+	Die Definition des Taylorpolynoms entspringt direkt dem Satz von Taylor, nur ohne das Lagrange-Restglied.
+\end{bemerkung}
+\begin{definition}[Taylorpolynom]{taylorpolynom}{\cite{enders_analysis_2024}}
+	\[
+		T_{f,x_0,n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k
+	\]	
+\end{definition}
+\begin{bemerkung}
+	Der Satz von Taylor liefert eine lokale Approximation an eine Funktion $f$ durch das Taylorpolynom.
+\end{bemerkung}
+Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeigen.
+\begin{lemma}
+	\[
+		\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)
+	\]
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Zunächst ist der Definitionsbereich von $\ln(1-x)$ gleicht dem Intervall $(-\infty,1)$.
+	
+	Zudem ist die Funktion $\ln(1-x)$ mindestens dreimal differenzierbar. Betrachten wir $x\in(-\infty,1)$ und $x_0=0$.
+	
+	Das zweite Taylor-Polynom lautet
+	\begin{align*}
+		T_{\ln(1-x),0,2}(x)&=\sum_{k=0}^{2}\frac{1}{k!}\cdot (\ln(1-x_0))^{(k)}(x-x_0)^k\\
+		&=\frac{1}{0!}\cdot\ln(1)\cdot 1+\frac{1}{1!}\cdot(\ln(1))^{(1)}\cdot x+\frac{1}{2!}\cdot(\ln(1))^{(2)}\cdot x^2&&\text{\cref{lem:dreimalableiten}}\\
+		&=0+1\cdot(-1)\cdot x+\frac{1}{2}\cdot(-1)\cdot x^2\\
+		&=-x-\frac{x^2}{2}
+	\end{align*}
+	Aus dem Satz von Taylor (\cref{satz:taylor}) folgt somit:
+	\begin{align*}
+		\ln(1-x)&=-x-\frac{x^2}{2}+R_2(x)
+	\end{align*}
+	wobei das Lagrange-Restglied etwa $R_2(x)\sim O(x^3)$, denn
+	\begin{align*}
+		R_2(x)&=\frac{1}{(2+1)!}\cdot(\ln(1-\xi))^{(2+1)}\cdot(x-0)^{(2+1)}\\
+		&=-\frac{1}{3(1-\xi)^3}\cdot x^3\quad\text{für ein }\xi\in(0,x)&&\text{\cref{lem:dreimalableiten}}\\
+	\end{align*}
+	wobei nach der Landau-Notation gilt: $a\cdot x^n+b\in O(x^n)$
+	\[
+		\Rightarrow\quad \frac{1}{3(1-\xi)^3}\cdot x^3\in O(x^3),
+	\]
+	da $\frac{1}{3(1-\xi)^3}$ konstant für ein $\xi$ im Intervall.
+	
+	Da $\xi$ variabel ist (also von $x$ abhängt), steht $O(x^3)$ stellvertretend für ein gut passendes Polynom vom Grad 3.
+	\[
+		\Rightarrow\quad\ln(1-x)\sim -x -\frac{x^2}{2}+O(x^3)
+	\]
+\end{proof}
+\begin{bemerkung}
+	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben. Da auch in abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
+\end{bemerkung}
+Im Plot können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x_0=0$ herum sehr ähnlich sind. 
+\begin{figure}[H]
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}
+		\begin{axis}[
+			domain=-2.95:2.95,
+			samples=400,
+			axis lines=middle,
+			axis equal,
+			xmin=-3,
+			xmax=3,
+			ymin=-3.5,
+			ymax=3.5,
+			xtick distance=1,
+			ytick distance=1,
+			legend pos=south west,
+			grid=both
+			]
+			% ln(1-x)
+			\addplot[blue, thick] {ln(1-x)};
+			\addlegendentry{$\ln(1-x)$}
+			
+			% Näherung -x - x^2/2
+			\addplot[red, thick, dashed] {-x - x^2/2};
+			\addlegendentry{$-x-\frac{x^2}{2}$}
+		\end{axis}
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Darstellung der Funktionen $\ln(1-x)$ und $-x-\frac{x^2}{2}$}
+\end{figure}
+Würden wir die Entwicklung weiterführen, approximiert die violette Funktion (unser Taylorpolynom) die orangene Funktion $(\ln(1-x))$ immer weiter. Graphisch lässt sich erkennen, dass für Werte im Intervall $I(-0.5,0.5)$ die Funktion $\ln(1-x) \sim -x\frac{-x}{2}$ plus ein kleiner Fehler ist.
+\subsection{Gamma-Funktion}
+% wird für Beweis der Stirling-Approximation gebraucht
+Zum nachfolgenden Betrachtung und des Beweises der Stirling-Approximation betrachten wir nun die Gamma-Funktion, auch \textbf{Eulersches Integral zweiter Gattung} genannt. Sie erweitert die Fakultätsfunktion von den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ auf reelle und komplexe Zahlen (mit einigen Ausnahmen). Hier betrachten wir der Einfachheit halber nur die Gamma-Funktion in $\mathbb{R}$.
+\begin{definition}[Gamma-Funktion]{gammafunktion}{\cite[Kap.~XI, S.~142]{nielsen1906}}
+	Sei $x>0\in\mathbb{R}$, dann ist die \textbf{Gamma-Funktion} definiert durch
+	\begin{align*}
+		\Gamma(x):\mathbb{R^+}&\rightarrow\mathbb{R}\\
+		x&\mapsto\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
+	\end{align*}
+\end{definition}
+
+Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
+\begin{satz}[Vergleich mit der Fakultät]{fakultaetgammafunktion}
+	Für $n\in\mathbb{N}$ gilt:
+	\[
+		\Gamma(n+1)=n!
 	\]
 \end{satz}
 

content/Stichworte.tex

@@ -2,14 +2,12 @@ Die folgenden \textbf{Stichworte} decken in etwa den Inhalt des ausgearbeiteten
 
 \begin{itemize}
 	\item Stochastik
-	\item Welche fundamentalen Ideen werden behandelt?
+	\item Binomialverteilung
-	\item zentraler Grenzwertsatz als "Mittelpunkt"
+	\item Normalverteilung
-	\item Binomial- zu Normalverteilung
+	\item Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace
-	\item Satz von de Moivre
-	\item Satz von Lalplace
-	\item Pascalsches Dreieck
-	\item Kreiszahl $\pi$
 	\item Stirling-Approximation
+	\item Taylor-Entwicklung
+	\item Pascalsches-Dreieck
 	\item Gamma-Funktion
-	\item Klasse 8 bis 10
+	\item Klasse 10 bis 12
 \end{itemize}

content/Weiterfuehrende_Ideen.tex

@@ -1 +1,4 @@
-Da Sie ja umfangreich recherchiert haben, werden Sie deutlich mehr Material haben, als Sie in diesem Dokument unterbringen können. Hier können Sie Ihre weiterführenden Ideen kurz darstellen. Vergessen Sie nicht, auch hier die Quellen anzugeben!
+Da Sie ja umfangreich recherchiert haben, werden Sie deutlich mehr Material haben, als Sie in diesem Dokument unterbringen können. Hier können Sie Ihre weiterführenden Ideen kurz darstellen. Vergessen Sie nicht, auch hier die Quellen anzugeben!
+% Vorraussetzungen entspannter betrachten:
+% 		Martingale central limit theorem + Mixing Condition -> Normalverteilung.
+%		Gegenbeispiel Fat-Tails -> was geht kaputt?

galton.tex

@@ -2,32 +2,28 @@
 \usepackage[a4paper]{geometry}
 \geometry{top=3cm,bottom=3cm,left=3cm,right=3.5cm}
 \usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage{pgfplots}
 
 \usepackage{Matheclub}
 
 \addbibresource{bibliography.bib}
 
-
+\title{Das Galtonbrett und der zentrale Grenzwertsatz}
-
-
-\title{Beispiel Titel}
 
 \author{Fierke, E. \& Janik, T. \& Weidlich, L.
     \\ Seminar Erweitertes Fachwissen -  Mathe Club}
 
-\date{Sommersemester \the\year}
+\date{Sommersemester 2026}
-
 \begin{document}	
 \begin{textblock*}{3cm}(1cm,1.5cm)
 		\includegraphics[width=3cm]{images/mlogo.pdf}
 	\end{textblock*}
 
 	\begin{textblock*}{3cm}(\dimexpr\paperwidth-3.5cm\relax,1.2cm) 
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     \maketitle
-
 \tableofcontents		
 
 \section{Einleitung}
@@ -64,4 +60,4 @@
 
 
 
-\end{document}
+\end{document}