fierke/galtonbrett
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Beweis weiter aber ist so falsch

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Luca Weidlich
2026-06-04 17:58:03 +02:00
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commit 7033a772c6
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@@ -105,23 +105,28 @@ Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkenne
&= (np + x\sqrt{npq}) \ln\left(\frac{(np + x\sqrt{npq})}{np}\right) - (nq - x\sqrt{npq}) \ln\left(\frac{(nq - x\sqrt{npq})}{nq}\right) \\
&= (-np - x\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + x\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \label{eq5:3}
\end{align}
Die Taylor-Approximation besagt: $ln(1-\alpha) \approx \alpha-\frac{\alpha^2}{2}$ und ein Rest, für den wir uns in dem Fall nicht interessieren, da wir die Approximation nach dem quadratischem Term abbrechen. %wieso O(n^3) egal?
Die Taylor-Approximation besagt: $ln(1-\alpha) \approx \alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(x^3)$ %Hierbei beschreibt O(x^3) ...
Betrachten wir nun die Logarithmen für die Tailorapproximation näher:
\begin{align*}
\ln\left(1 + x\sqrt{\frac{q}{np}}\right) &\approx x\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{\left(x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)^2}{2} \\
&= x\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{x^2 q}{2np}
\ln\left(1 + x\sqrt{\frac{q}{np}}\right) &\approx x\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{\left(x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)^2}{2} + O(x^3)\\
&= x\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{x^2 q}{2np} + O(x^3)
\end{align*}
und für den anderen ln analog:
\begin{align*}
\ln\left(1 - x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) &\approx -x\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{\left(x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)^2}{2} \\
&= -x\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{x^2 p}{2nq}
\ln\left(1 - x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) &\approx -x\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{\left(x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)^2}{2} + O(x^3) \\
&= -x\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{x^2 p}{2nq} + O(x^3)
\end{align*}
Setzen wir dies nun zurück in \cref{eq5:3} ein, erhalten wir:
\begin{align}
&(-np - x\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + x\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \\
&=(-np - x\sqrt{npq})(x\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{x^2 q}{2np}) + (-nq + x\sqrt{npq})(-x\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{x^2 p}{2nq}) \\
&=()
&=(-np - x\sqrt{npq})(x\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{x^2 q}{2np} + O(3)) + (-nq + x\sqrt{npq}))(-x\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{x^2 p}{2nq} + O(x^3)) \\
&=(-npx\sqrt{\frac{q}{np}}+\frac{npx^2q}{2np}-x^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{q}{np}} + O(x^3))+ (nqx\sqrt{\frac{p}{nq}}+\frac{nqx^2p}{2nq}-x^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{p}{nq}} + O(x^3))\\
&=(-x\sqrt{\frac{(np)^2q}{np}}+\frac{x^2q}{2}-x^2\sqrt{\frac{npq^2}{np}}+O(x^3)) + (x\sqrt{\frac{(nq)^2p}{nq}}+\frac{x^2p}{2}-x\sqrt{\frac{np^2q}{nq}} + O(x^3)) \\
&=(-x\sqrt{npq}-x^2q+\frac{x^2q}{2} + O(3)) + (x\sqrt{npq}-x^2p-\frac{x^2p}{2} + O(3)) \\
&\approx (-x\sqrt{npq}-\frac{x^2q}{2}) + (x\sqrt{npq}-\frac{x^2p}{2})\\
&=-\frac{x^2q}{2}-\frac{x^2p}{2}
\end{align}
%isso falsch! die ergebnisse kommen ins e^
\end{proof}
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