fix: anordnung binomialkoeffizienten war auch in der Lösung falsch, aber lugga ist es beim Überarbeiten nicht aufgefallen

bibliography.bib

@@ -125,3 +125,64 @@
   address   = {New York},
   isbn      = {978-0-465-09760-9}
 }
+
+@book{koessler-2006,
+	author	= {Wolfgang Kössler},
+	title	= {Folien Stochastik},
+	year	= {2006},
+	address	= {Humboldt-Universität zu Berlin},
+	url	= {https://www2.informatik.hu-berlin.de/~koessler/Stochastik/Stochastik2006/FolienStochastik_4.pdf}
+}
+
+
+@article{schreiter_echt_2022,
+	title = {Echt schräg: Galton revisited},
+	url = {https://www.friedrich-verlag.de/friedrich-plus/sekundarstufe/mathematik/stochastik/echt-schrag-galton-revisited-12235},
+	number = {232},
+	publisher = {Friedrich Verlag {GmbH}},
+	author = {Schreiter, Saskia and Vogel, Markus and Eichler, Andreas},
+	urldate = {2026-07-12},
+	date = {2022},
+}
+
+
+@incollection{posedel_martingale_2025,
+	location = {Berlin, Heidelberg},
+	title = {Martingale Central Limit Theorem},
+	isbn = {978-3-662-69359-9},
+	url = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-69359-9_345},
+	doi = {10.1007/978-3-662-69359-9_345},
+	abstract = {The martingale central limit theorem ({MCLT}) links the notions of martingales and the Lindeberg-Feller classical central limit theorem ({CLT}) for independent summands.},
+	pages = {1418--1421},
+	booktitle = {International Encyclopedia of Statistical Science},
+	publisher = {Springer Berlin Heidelberg},
+	author = {Posedel, Petra},
+	editor = {Lovric, Miodrag},
+	date = {2025},
+}
+
+@book{forster_analysis_2023,
+	location = {Wiesbaden},
+	edition = {13., überarbeitete und ergänzte Auflage},
+	title = {Analysis. 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen / Otto Forster},
+	isbn = {978-3-658-40130-6},
+	series = {Lehrbuch},
+	shorttitle = {Analysis. 1},
+	publisher = {Springer Spektrum},
+	author = {Forster, Otto},
+	date = {2023},
+	note = {Num Pages: 460},
+}
+
+
+@book{georgii_stochastik_2015,
+	title = {Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik},
+	isbn = {978-3-11-035969-5},
+	url = {https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/9783110359701/html},
+	doi = {10.1515/9783110359701},
+	shorttitle = {Stochastik},
+	publisher = {{DE} {GRUYTER}},
+	author = {Georgii, Hans-Otto},
+	urldate = {2026-07-16},
+	date = {2015-12-31},
+}

content/Anhang.tex

@@ -1,8 +1,96 @@
-\section{Anhang 1} % Der Anhangstitel sollte natürlich passend zum Inhalt gewählt werden. Hier könnte z.B. "Arbeitsmaterialien" oder "Weiterführende Ideen" stehen.
+\section{Arbeitsblatt 1}
+Die Schülerinnen und Schüler des Matheclubs befinden sich in der Regel in der 7ten bis zur
+10ten Klasse. Nehmen wir an, dass man ab der 9ten Klasse erst beitreten kann,
+beziehungsweise dieses Thema erst mit Neuntklässlern behandelt. Dann ist es angedacht, die
+Aufgaben Schritt für Schritt aufeinander aufbauen zu lassen. Zunächst sollte jedoch der
+Binomialkoeffizient Formal definiert werden. Das dient dann als Wiederholung oder auch der
+Einführung.\\
 
-Hier können Sie weitere Materialien, die für die Bearbeitung des Themas relevant sind, bereitstellen. Das können zum Beispiel Arbeitsblätter, Übungsaufgaben, Lösungen, weiterführende Literatur oder auch Links zu Online-Ressourcen sein.
+Die Verbildlichung des Binomialkoeffizienten und des Pascalschen Dreiecks kann dabei helfen,
+ein mathematisches Verständnis des Binomialkoeffizienten auszubauen mithilfe einer
+rekursiven Vorschrift. Im Zuge dessen, kann zwischen den Blättern „Pascalsches Dreieck“ und
+„Galton x Pascal“ ein kleiner Exkurs zu den binomischen Formeln unternommen werden, in
+welchem genau die Binomialkoeffizienten vorkommen. Hierbei kann man die Verallgemeinerung
+der binomischen Formel aufzeigen und als Vereinfachung dieser darstellen, damit man nicht viel
+auswendig lernen oder anstrengend Klammern ausmultiplizieren muss.\\
+
+Der Einstieg darin ist mit dem einfachen Berechnen des Binomialkoeffizienten gestaltet, wobei
+die zwei Basisfälle $k = 0$ und $k = n$ besonders thematisiert werden, welche für die nachfolgenden
+Aufgaben relevant sind. Da die Berechnung des Binomialkoeffizienten mit der gegebenen Formel
+nicht besonders schwer ist, wird der Fokus eher auf die Basisfälle gelenkt.\\
+
+Aus der Grundschule sind den Schülerinnen und Schülern sicherlich auch die
+Aufgabenpyramiden bekannt, in welchen man ursprünglich mithilfe einer Vorschrift die
+Pyramide von unten nach oben aufbaut. Hierbei wird die Pyramide jedoch von oben nach unten
+aufgebaut mithilfe von Rekursion und ebenfalls dem zurückführen auf vorherberechneten
+Ergebnissen.\\
+
+Die Gleichheit der Pyramide und der Binomialkoeffizienten zeigen auf wie auf verschiedene
+Weisen dasselbe Konstrukt (Pascalsches Dreieck) bestimmt werden können. Außerdem dient
+das gleichzeitig als die oben etwas zu kurz geratene Wiederholung zur Berechnung der
+Binomialkoeffizienten.\\
+
+Die Zusatzaufgabe soll den Ansatz der Rekursion noch einmal verdeutlichen und eine
+Verbindung zum Fach Informatik herstellen. Da man auch mit Computeralgorithmen
+Zufallsexperimente darstellen und durchführen kann.\\
+
+Auf dem nachfolgenden Blatt wird das Galtonbrett kurz und einfach von den Schülerinnen und
+Schülern mithilfe weniger vorgaben modelliert. Sinnvoll ist es, vorher ein wenig das Realmodell
+des Galtonbretts darzustellen. Beispielsweise mithilfe eines echten Galtonbretts für den
+Schreibtisch, welches im Mathe Club einmal umhergereicht wird.\\
+
+Das Einzeichnen der Pfade dient den Schülerinnen und Schülern als Verdeutlichung, wo die
+Kugel entlang geht, und das Abzählen dient dem Ziel alle möglichen Pfade zu erkennen und
+somit ein Verständnis dafür zu entwickeln. Dadurch wird ein mentales Modell entwickelt, in
+welchem man ebenfalls kleine Galtonbretter sich vorstellen kann. Auch der Zusammenhang mit
+der Anzahl möglicher Pfade und dem Pascalschen Dreieck soll dargestellt werden. Hierbei kann
+auch ein \hyperref{https://youtu.be/UCmPmkHqHXk?si=aPdOp5CN0TVNWSuT\&t=186}{}{}{Video} bei welchem
+der Zusammenhang bei großen Schwierigkeiten noch einmal auf eine andere Weise dargestellt
+wird.\\
+
+Die letzte Aufgabe des Blattes soll die Schülerinnen und Schüler in die Richtung der
+Binomialverteilung leiten. Die dabei entstehende Formel kann aber auch mithilfe des gesamten
+Kurses erarbeitet werden.
+
+\includepdf[
+pages=-,
+frame=true,
+scale=0.70,
+pagecommand={\thispagestyle{plain}}
+]{material/ab1.pdf}
 
 
-\section{Anhang 2}
 
-Wenn Sie verschiedene Materialien bereitstellen möchten, können Sie auch mehrere Anhänge erstellen. Achten Sie darauf, dass die Materialien gut strukturiert und leicht zugänglich sind, damit sie später gut nutzbar sind.
+\section{Arbeitsblatt 2}
+Dieses Aufgabenblatt soll einen außermathematischen Kontext darstellen, in welchem das
+Galtonbrett zu finden ist. Im Stochastikunterricht werden häufig Glücksspiele analysiert, um
+aufzuzeigen, dass diese in den meisten Fällen nicht fair sind. Bei Plinko ist es genauso und lässt
+sich ebenso einordnen wie die Kontexte und Beispiele aus dem normalen Stochastikunterricht.\\
+
+Zunächst sollen Hypothesen beziehungsweise Vermutungen aufgestellt werden, welche am
+Ende des theoretischen Einblicks in die Binomialverteilung überprüft werden können. Darauf
+zielen diese beiden Arbeitsblätter ab, damit ein Lebensweltbezug für die Schülerinnen und
+Schüler gegeben wird, anhand dessen man das Galtonbrett rechtfertigen kann.\\
+
+Die \hyperref{https://plinko-web-game.netlify.app/}{}{}{Simulation von Plinko} bietet für die Schülerinnen und Schüler zudem ein spaßiger
+und nicht so trockner Einstieg in das Galtonbrett. Sinnvoll für die Durchführung und das
+Überprüfen der Vermutungen könnte die Lehrkraft am Anfand der Stunde die Simulation auf
+Automatisch stellen und dann kann man am Ende des Unterrichts schonmal eine Aussage über
+die Fairness und den Erwartungswert des Spiels treffen.
+
+\includepdf[
+pages=-,
+frame=true,
+scale=0.70,
+pagecommand={\thispagestyle{plain}}
+]{material/ab2.pdf}
+
+\section{Arbeitsblatt 3}
+Im dritten Arbeitsblatt lernen die Schüler*innen das Galtonbrett konkret kennen und beweisen semi-formal den lokalen Grenzwertsatz.
+
+\includepdf[
+pages=-,
+frame=true,
+scale=0.70,
+pagecommand={\thispagestyle{plain}}
+]{material/ab3.pdf}

content/Arbeitsmaterialien.tex

@@ -1,17 +1,9 @@
-Stellen Sie Ihre Arbeitsmaterialien hier dar. 
+Der Einstieg erfolgt über die formale Definition des Binomialkoeffizienten, wobei der Fokus auf den einfachen Berechnungen und den beiden Basisfällen $k=0$ und $k=n$ liegt. Zur visuellen Unterstützung und zum Verständnis rekursiver Abläufe wird das Pascalsche Dreieck herangezogen. Ein kurzer in Form eines Unterrichtsgespräches geführter Exkurs zu den binomischen Formeln zeigt den Jugendlichen zudem praktisch, wie die BinomialkoeAizienten das Ausmultiplizieren von Klammern vereinfachen und das Auswendiglernen überflüssig machen.\\
  
-Dies ist der zweitwichtigste Teil des Dokuments und soll (inhaltlich) auch den zweitgrößten Teil des Dokuments ausmachen. Da Arbeitsmatierialien inhaltlich sehr unterschiedlich sind, ist es schwierig, hier genaue Vorgaben zu machen. Eine Bastelanleitung mit Bastelbögen hätte ja z.B. eine ganz andere Struktur als eine Sammlung von Aufgaben und kann schnell ein paar Seiten umfassen...
+Im weiteren Verlauf wird eine Brücke zu den aus der Grundschule bekannten Zahlenpyramiden geschlagen. Im Gegensatz zum klassischen Aufbau von unten nach oben wird hier eine Pyramide mithilfe von Rekursion von oben nach unten aufgebaut. Dieser Vergleich veranschaulicht, dass dasselbe mathematische Konstrukt (das Pascalsche Dreieck) auf verschiedenen Wegen berechnet werden kann. Eine Zusatzaufgabe zur Rekursion stellt zudem eine Verbindung zur Informatik und der Simulation von Zufallsexperimenten durch Computeralgorithmen her. \\
 
- Falls Sie Arbeitsmaterialien in separaten Dokumenten haben, erstellen Sie hier zumindest eine kurze Beschreibung der entsprechenden Materialien.
+Der nächste Schritt widmet sich der Modellierung des Galtonbretts. Nach der Demonstration an einem realen Tischmodell (oder digitaler \href{https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm}{Simmulation}) sowie dem Besprechen der Modellannahmen zeichnen die Schülerinnen und Schüler Pfade ein und zählen diese ab. Dies hilft ihnen, ein mentales Modell zu entwickeln und die Verbindung zwischen der Anzahl der Pfade und dem Pascalschen Dreieck zu verstehen. Die letzte Aufgabe führt die Gruppe schließlich kollaborativ an die Binomialverteilung heran, deren Formel gemeinsam im Kurs erarbeitet werden kann.\\
 
-
-Ein paar Anregungen für die Arbeitsmaterialien (kommt natürlich auf das Thema an):
-\begin{itemize}
-    \item Aufgaben
-    \item Musterlösungen bzw. Lösungsskizzen
-    \item Knobeleien
-    \item Basteleien
-\end{itemize}
-
-
-Bitte bedenken Sie, zumindest Lösungsskizzen zu den Aufgaben zu geben! Besser noch vollständige Musterlösungen. Als Lehrkraft ist es nicht immer einfach, die Lösungen schnell zu finden und das Dokument soll ja den Lehrkräften die Arbeit erleichtern.
+Das dritte Arbeitsblatt, \emph{Galton x LGS Movire-Laplace}, dient dem Beweis des lokalen Grenzwertsatzes von Movire-Laplace. Ziel ist es hierbei explizit nicht, dass die Schüler*innen den Beweis in jedem Detail, wie im Teil "Mathematischer Hintergrund", verstehen aber die Grundlegenden Argumentationen und mathematischen Tricks nachvollziehen. Außerdem ist vor allem das Beweisen etwas, dass im Rahmenlehrplan (\cite{lisum-2022} und \cite{lisum-2023}) nicht gefordert ist, wodurch es sich sehr gut für eine MatheAG oder Zusatzstunde handelt, in der Inhalte über den klassischen Unterricht hinaus behandelt werden.\\
+Für das Arbeitsblatt sollten die Schüler*innen bereits mit der Binomialverteilung, Zufallsvariablen, Logarithmen sowie der e-Funktion vertraut sein und mit etwas Formalismus umgehen können. Tiefgreifende Kenntnisse zur Normalverteilung sind nicht vorausgesetzt und werden auf dem Arbeitsblatt in ausreichender Form wiederholt bzw. können selbständig aufbereitet werden. Es ist empfohlen mindestens das Arbeitsblätt \emph{Pascalsches Dreieck} und optimaler Weise auch noch das Arbeitsblatt \emph{Galton x Plinko} vorher bearbeitet zu haben, um das Konzept des Galtonbrettes und dessen Zusammenhang mit der Binomialverteilung verstanden zu haben.\\
+Auf dem Arbeitsblatt wird die formale Modellierung des Galtonbrettes vorgestellt und soll durch eine Zuordnungsaufgabe durch die Schüler*innen vertieft werden. Im Anschluss soll der Bezug zwischen Binomial- und Normalverteilung wiederholt bzw. erarbeitet werden. Das Kernstück des Arbeitsblattes stellt der Lückentext-Ähnliche Beweis dar. Hier sollen die Schüler einige Mathematische Argumentationen nachvollziehen und einige Umformungen selbst durchführen, um den Beweis nachvollziehen zu können. Sollten die Schüler leistungsschwächer sein oder an einem Punkt fest Stecken gibt es zur Differenzierung Lösungskarten für die Lücken, welche den Schülern in nicht sortierter Reihenfolge zur Verfügung gestellt werden können.

content/Einleitung.tex

@@ -1,23 +1,16 @@
-\textbf{Wichtig:} Dieses Dokument hier soll nicht mehr als 30 Seiten umfassen (mehr bitte nur nach Absprache).
-\\[1em]
-% großer Abstand
-Ziel des Seminars ist die Ausarbeitung eines \glqq rundum-sorglos-Pakets\grqq \ für eine Einheit in einem Matheclub, einer Mathe-AG oder einer ähnlichen Veranstaltung an einem Gymnasium. Unter einer Einheit ist nicht zwingend eine Doppelstunde zu verstehen, aber eine Doppelstunde soll mindestens mit Inhalt gefüllt werden. 
+Das Galtonbrett zählt zu den bekanntesten Demonstrationsmodellen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Eine Vielzahl kleiner Kugeln fällt durch ein regelmäßiges Gitter von Stiften, wobei an jedem Hindernis zufällig entschieden wird, ob die Kugel nach rechts oder nach links fällt. Das Galtonbrett verbindet aufgrund des entstehenden charakteristischen Musters trotz der Zufälligkeit jeder einzelnen Entscheidung auf anschauliche Weise Zufall und Gesetzmäßigkeit.
+
+Aus mathematischer Sicht bildet das Galtonbrett die Binomialverteilung ab, wobei sich die Verteilung mit zunehmender Anzahl an Stiftreihen einer Normalverteilung annähert. Das Verhalten steht in engem Zusammenhang mit dem zentralen Grenzwertsatz. Zur Beschreibung dieser Annäherung spielen außerdem die Fakultätsfunktion sowie die zugehörige Approximation durch die Stirling-Formel eine wichtige Rolle. 
+
+Das Galtonbrett stellt einen hohen didaktischen Wert dar, indem es ein anschauliches Experiment zu Grundkonzepten der Stochastik und Analysis und deren Verknüpfung liefert. Das Modell eignet sich besonders für den Einsatz in der Sekundarstufe II in Mathe-AGs und -clubs, in denen über den Unterricht hinausgehende Inhalte behandelt werden können. Insbesondere die Verbindung von praktischem Experiment, Simulation und theoretischer Herleitung ermöglicht einen vertieften Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie.
+
+Ziel der Ausarbeitung ist es, die mathematischen Grundlagen des Galtonbretts auf Hochschulniveau darzustellen und deren Zusammenhänge verständlich herzuleiten. Anschließend werden diese Inhalte auf das mathematische Vorwissen der Klassenstufe 10 bis 12 übertragen und didaktisch aufbereitet. Die entstehenden Arbeitsmaterialien ermöglichen den Schüler*innen einen vertieften Einblick in die mathematischen Hintergründe des Galtonbretts.
+
+%\begin{enumerate}
+%	\item Es handelt sich um ein Zusatzangebot (Freizeit!) für die Schülerinnen und Schüler. Der Spaß an der Mathematik darf also auf keinen Fall zu kurz kommen.
+%	\item Mathclubs sind in der Regel nach Jahrgängen aufgeteilt. Bei uns sollen als Zielgruppe die Klassenstufen 9-12 angenommen werden. Wählen Sie sinnvoll eine Klassenstufe aus, für die sich ihr Thema eignet. Welche Voraussetzungen bringen die Schülerinnen und  Schüler mit?
+%	\item Gehen Sie davon aus, dass Sie es mit motivierten Schülerinnen und Schülern zu tun haben. Die Kinder erwarten klare Argumente, Beweise, etc., die auch über den Lehrplan (deutlich) hinaus gehen. 
+%	\item Überlegen Sie, woran Sie Spaß hätten. Seien Sie kreativ!
+%\end{enumerate}
 
 
-Besonders wichtig ist es die folgenden Punkte zu beachten:
-
-\begin{enumerate}
-	\item Es handelt sich um ein Zusatzangebot (Freizeit!) für die Schülerinnen und Schüler. Der Spaß an der Mathematik darf also auf keinen Fall zu kurz kommen.
-	\item Mathclubs sind in der Regel nach Jahrgängen aufgeteilt. Bei uns sollen als Zielgruppe die Klassenstufen 9-12 angenommen werden. Wählen Sie sinnvoll eine Klassenstufe aus, für die sich ihr Thema eignet. Welche Voraussetzungen bringen die Schülerinnen und  Schüler mit?
-	\item Gehen Sie davon aus, dass Sie es mit motivierten Schülerinnen und Schülern zu tun haben. Die Kinder erwarten klare Argumente, Beweise, etc., die auch über den Lehrplan (deutlich) hinaus gehen. 
-	\item Überlegen Sie, woran Sie Spaß hätten. Seien Sie kreativ!
-\end{enumerate}
-
-
-Wir wollen eine Datenbank für Mathe-Clubs aufbauen. Daher ist eine einheitliche Struktur aller Datensätze zwingend erforderlich. Es sind somit einige technische Punkte zu beachten:
-
-\begin{itemize}
-	\item Halten Sie sich bitte streng an die vorgegebene Latex-Vorlage (inklusive Ordner- und Dateistruktur). 
-\end{itemize} 
-
-Die Einleitung soll einen kurzen Überblick über den Inhalt des Dokuments geben. Sie soll den Leser neugierig machen und ihn dazu bringen, weiterzulesen. Hier gehören gegebenenfalls (nicht zwingend notwendig!) auch eine geschichtliche Einordnung und Anekdoten hinein (als Unterkapitel).

content/Einordnung_Lehrplan.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
 Ein erster Kontakt mit der Binomialverteilung tritt in Form von Binomialkoeffizienten in der zehnten Klasse des Gymnasiums als Teil der Niveaustufe H auf (\cite{lisum-2023}).
 
-Vertieft wird die Binomialverteilung dann im zweiten Semester der Oberstufe und wird im vierten Semester durch die Normalverteilung ergänzt (\cite{lisum-2022}).
+Vertieft wird die Binomialverteilung dann im zweiten Semester der Oberstufe und wird im vierten Halbjahr durch die Normalverteilung ergänzt (\cite{lisum-2022}).
 

content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 %"ltex.language": "de-DE"
 
 \subsection{Beweis des zentralen Grenzwertsatzes}
-Das Galtonbrett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom Zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess mithilfe einer Binomialverteilung und Beweisen anschließend den zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015}.
+Das Galtonbrett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess mithilfe einer Binomialverteilung und beweisen anschließend den (lokalen) zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015}.
 \begin{definition}[Modell des Galtonbretts]{galton}{nach \cite[S. 252-253]{buchter_elementare_2005}}
 	Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. 
 	Der Fall einer Kugel durch ein Galtonbrett mit $n \in \mathbb{N}$ Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei $X_i \in \{0, 1\}$.
@@ -42,19 +42,19 @@ Um jeden Ausgang des Galtonbrettes durchnummeriert von links nach rechts untersc
 \begin{definition}[Zufallsvariable $S_n$]{Sn}{nach \cite[min. 0:50]{statistik_verstehen_beweis_2019}}
 	Die Endposition der Kugel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[S_n = \sum_{i=1}^n X_i\]
 \end{definition}
-Um diese summierte Zufallsvariable genauer zu verstehen betrachten wir zuerst den Binomialkoeffizienten.
+Um diese summierte Zufallsvariable genauer zu verstehen, betrachten wir zuerst den Binomialkoeffizienten.
 \begin{definition}[Binomialkoeffizienten]{binomialkoeffizienten}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
 	Für $n\in\mathbb{N}_0$ und $k\in\{0,\dots,n\}$ definieren wir den \textbf{Binomialkoeffizienten}
 	\[
 	\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
 	\]
-	wobei die Zahl $\binom{n}{k}$ die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen Menge genau $k$-Elemente auszuwählen, angibt.
+	wobei die Zahl $\binom{n}{k}$ die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen Menge, genau $k$-Elemente auszuwählen, angibt.
 \end{definition}
 Betrachten wir nun den Binomialkoeffizienten in Bezug auf $S_n$, beschreibt dieser exakt die Anzahl der möglichen Pfade durch das Galtonbrett, bei denen die Kugel von $n$ Reihen genau $k$-mal nach rechts (und somit $(n-k)$-mal nach links) fällt. Da jeder dieser einzelnen Pfade aufgrund der Unabhängigkeit der Entscheidungen die Wahrscheinlichkeit $p^k (1-p)^{n-k}$ besitzt, ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Fach $k$ durch Multiplikation. Daher rührt die Binomialverteilung:
-\begin{definition}[Binomialmodell]{binModell}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
+\begin{definition}[Binomialmodell]{binModell}{nach \cite{kosenkova_stochastik_2025}}
 	Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in [0,1]$ $n$-mal, und interessiert sich nur für die Anzahl der erfolgreichen Experimente, so wählt man 
 	\[
-		\Sigma = \{0,1,...,n\}.
+		A = \{0,1,...,n\}.
 	\]
 	In diesem Modell ist
 	\[
@@ -62,7 +62,7 @@ Betrachten wir nun den Binomialkoeffizienten in Bezug auf $S_n$, beschreibt dies
 	\]
 	eine Zähldichte.
 \end{definition}
-Im Fall des Galtonbrettes können wir $\Sigma = S_n$ wählen.
+Im Fall des Galtonbrettes können wir $A = S_n$ wählen.
 \begin{definition}[Binomialverteilung]{binZähldichte}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
 	Die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Zähldichte $Bin_{n,p}(\{k\})$ auf $\{0,...,n\}$ heißt Binomialverteilung zu den Parametern $n, p$.
 \end{definition}
@@ -72,27 +72,29 @@ Anschließend ist folgendes zu bemerken:
 	Daher gilt $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
 \end{satz}
 \begin{proof}
-	Nach \cref{bem:XiB} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulli-verteilten Zufallsexperimenten dar.
-	Daraus folgt, dass das Galtonbrett mit der Zufallsvariable $S_n$ eine Binomialmodell \cref{def:binModell} darstellt und somit die Binomialverteilung nach \cref{def:binZähldichte} eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$.
+	Nach \cref{bem:XiB} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulliverteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch bernoulliverteilten Zufallsexperimenten dar.
+	Daraus folgt, dass das Galtonbrett mit der Zufallsvariable $S_n$ ein Binomialmodell nach \cref{def:binModell} darstellt und somit die Binomialverteilung nach \cref{def:binZähldichte} eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$.
 \end{proof}
 Eine weitere in diesem Kontext interessante Verteilung ist die Normalverteilung.
-\begin{definition}[Normalverteilung]
-	Sei X eine stetige Zufallsvariable mit Dichte 
-	\[ f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}\]
-	und Parametern $\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0$, wobei $\mu$ den Erwartungswert und $\sigma ^2$ die Varianz von X darstellt, so nennt man X \emph{Normalverteilt} und schreibt:
-	\[ x \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma ^2)\]
+\begin{definition}[Normalverteilung]{norm}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
+	Sei $X$ eine stetige Zufallsvariable mit Dichte 
+	\[ f_\mathcal{N(\mu, \sigma^2)}(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}\]
+	und Parametern $\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0$, wobei $\mu$ den Erwartungswert und $\sigma ^2$ die Varianz von $X$ darstellt, so nennt man $X$ \emph{Normalverteilt} und schreibt:
+	\[ X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma ^2)\]
+	Die Dichte der Normalverteilung wird auch ``Gauß’sche Glockenkurve'' genannt.
 \end{definition}
-Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der Fakultäten sehr aufwendig. An dieser Stelle greift der zentrale Grenzwertsatz, der besagt, dass sich die Binomialverteilung für große $n$ der Normalverteilung annähert. Für große $n$ lässt sich damit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (aufgrund der Standardisierung) deutlich leichter bestimmen. Des weiteren ist es mathematisch gesehen sehr schön zu sehen, wie eine relativ einfache diskrete Verteilung, wie die Binomialverteilung, mit einer mathematisch persé sehr anders aussehenden Verteilung zusammenhängt. Im Spezialfall der Binomialverteilung wird dies durch den Satz von Moivre-Laplace formalisiert \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015, statistik_verstehen_beweis_2019}.
-\begin{satz}[Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{moivrelaplace}{nach \cite{kosenkova_stochastik_2025}}
-	Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$. Für große $n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass $S_n$ den Wert $k \in \{x| x \in\mathbb{N}_0 \land x \leq n\}$ annimmt, durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
+Es ist mathematisch gesehen sehr schön zu sehen, wie eine relativ einfache diskrete Verteilung, wie die Binomialverteilung, mit einer mathematisch per se sehr anders aussehenden Verteilung zusammenhängt. Im Spezialfall der Binomialverteilung wird dies durch den Lokalen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace formalisiert \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015, statistik_verstehen_beweis_2019}.
+\begin{satz}[Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{moivrelaplace}{nach \cite{georgii_stochastik_2015}}
+	Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$. Dann gilt bei einem beliebigen $c>0$ mit $z=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$, dass
 	\[
-	P(S_n = k) \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)
+		\lim_{n \to \infty} \mathop{\max}\limits_{k:|z|\leq c} \left|\frac{P(S_n=k)}{f_\mathcal{N}(\mu, \sigma^{2})}(k)\right| = 1
 	\]
-	wobei $\mathbb{E}(X)=\mu$, $Var(X)=\sigma ^2$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
 \end{satz}
+In der Literatur wird allgemein vom Satz von Moivre-Laplace gesprochen, wenn die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung gemeint ist \cite{statistik_verstehen_beweis_2019}. Mathematisch präzise muss jedoch zwischen dem globalen und dem lokalen Grenzwertsatz unterschieden werden \cite{georgii_stochastik_2015, kosenkova_stochastik_2025}. Wir beweisen im Folgenden den lokalen Grenzwertsatz, der das (lokale) Annähern des ``oberen Randes'' des Histogramms der Binomialverteilung an die Glockenkurve beschreibt \cite{georgii_stochastik_2015}. Hierbei wird \emph{nicht} die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung bewiesen.
 \begin{proof}
-	Der Beweis folgt zum großen Teil dem Beweis von \cite{statistik_verstehen_beweis_2019} und wurde von den Autoren weiter konkretisiert.\\
-	Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$, sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese drei Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.
+	Der Beweis folgt zum großen Teil dem Beweis von \cite{statistik_verstehen_beweis_2019} und wurde von den Autoren aufgrund der Konkretisierung des Satzes \cite{georgii_stochastik_2015} weiter konkretisiert.\\
+	Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$, sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese drei Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.\\
+	Sei $k \in \{0,1,\dots,n\}$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ durch $c$ begrenzt sowie $\mathbb{E}(S_n)=\mu$, $Var(S_n)=\sigma ^2 < \infty$.\\
 	
 	\textbf{1. Anwendung der Stirling-Formel:} \\
 	Wir beginnen mit der Definition der Binomialwahrscheinlichkeit:
@@ -114,7 +116,7 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
 	\end{itemize}
 	\textbf{2. Substitution und Approximation der Wurzeln:} \\
 	In diesem Teil des Beweises werden O-Notationen verwendet und ein grundlegendes Verständnis dieser vorausgesetzt.\\
-	Um das Breiter werden der Verteilung und das Abwandern des Erwartungswertes zu verhindern standardisieren wir die Zufallsvariable, indem wir 
+	Um das Breiterwerden der Verteilung und das Abwandern des Erwartungswertes zu verhindern standardisieren wir die Zufallsvariable, indem wir 
 	\[
 	Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sigma(S_n)}
 	\]
@@ -148,7 +150,7 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
 	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
 	\begin{itemize}
 		\item[(\ref{eq4:1})] Die Approximation verwenden.
-		\item[(\ref{eq4:2})] $n$ Kürzen und die Potenz-/Wurzelgesetze anwenden, um den Bruch zu vereinfachen.
+		\item[(\ref{eq4:2})] $n$ kürzen und die Potenz-/Wurzelgesetze anwenden, um den Bruch zu vereinfachen.
 		\item[(\ref{eq4:3})] Den Kehrwert der Brüche bilden und die Wurzeln zusammenfassen.
 	\end{itemize}
 	Es ist bereits der korrekte konstante Faktor der gaußschen Glockenkurve erkennbar.\\
@@ -168,16 +170,16 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
 		\item[(\ref{eq5:3})] Gleichheit für $k$ aus der Standardisierung einsetzen: $k = np + z\sqrt{npq}$.
 		\item[(\ref{eq5:4})] Distributivgesetz für $-1$ anwenden und Brüche durch Aufteilen der Addition und Einfügen der multiplikativen Identität $\frac{\sqrt{np}}{\sqrt{np}}$ (selbes für $nq$) vereinfachen.
 	\end{itemize}
-	Die \cref{def:taylorpolynom} beweist die Taylor-Approximation für den Logarithmus: $ln(1-\alpha) = -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ und $ln(1+\alpha) \sim \alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ für $\alpha \in (-\infty, 1)$. Hierbei steht $O(\alpha^3)$ für die Landau-Notation.
+	Die \cref{def:taylorpolynom} beweist die Taylor-Approximation für den Logarithmus: $ln(1-\alpha) = -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ und $ln(1+\alpha) = \alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ für $\alpha \in (-1, 1)$. Hierbei steht $O(\alpha^3)$ für die Landau-Notation.
 	Wir definieren:
 	\[
 		\beta := \sqrt{\frac{q}{np}}; \quad
 		\gamma := \sqrt{\frac{p}{nq}}
 	\]
-	Um diese Approximation zu verwenden, muss sicher sein, dass $-1 < |\alpha| < 1$. Das heißt, dass $\forall z \in \mathbb{R}: \lim_{n\rightarrow\infty} -1 < |z\cdot\beta|<1$. (Für $z\cdot\gamma$ analog) Hierbei genügt die Abschätzung gegen unendlich, da wir die Annäherung nur für große Zahlen beweisen wollen.\\
+	Um diese Approximation zu verwenden, muss sicher sein, dass $-1 < \alpha < 1$. Das heißt, dass $\forall z \in \mathbb{R}: \lim_{n\rightarrow\infty} -1 < z\cdot\beta<1$. (Für $z\cdot\gamma$ analog) Hierbei genügt die Abschätzung gegen unendlich, da wir die Annäherung nur für große Zahlen beweisen wollen.\\
 	Sei also $z\in\mathbb{N}$, dann betrachten wir:\\
 	\begin{align*}
-		|z\cdot\beta| \overset{Def.}{=} \left|z \cdot \sqrt{\frac{q}{np}}\right| = |z|\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{\frac{q}{p}} \xrightarrow{n\rightarrow\infty} 0\\
+		z\cdot\beta \overset{Def.}{=} z \cdot \sqrt{\frac{q}{np}} = z\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{\frac{q}{p}} \xrightarrow{n\rightarrow\infty} 0\\
 		und \quad -1 < 0 < 1
 	\end{align*}
 	Da $p$ und $q$ konstante Parameter sind.
@@ -192,12 +194,12 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
 		\ln\left(1 - z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) &\sim -z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{\left(z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)^2}{2} + O((-z\gamma)^3) \\
 		&= -z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{z^2 p}{2nq} + O((z\gamma)^3) &&\text{"-" fällt wegen O weg}
 	\end{align*}
-	Setzen wir dies nun zurück in \cref{eq5:3} ein, erhalten wir:
+	Setzen wir dies nun zurück in \cref{eq5:4} ein, erhalten wir:
 	\begin{align}
-		&(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)+O(z^3) \nonumber \\
-		&=(-np - z\sqrt{npq})(z\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{z^2 q}{2np} + O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-nq + z\sqrt{npq}))(-z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{z^2 p}{2nq} + O((z\gamma)^3)) + O(z^3) \nonumber \\
-		&=(-npz\sqrt{\frac{q}{np}}+\frac{npz^2q}{2np}-z^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{q}{np}} + O((z\beta)^3)) + O(z^3) \nonumber\\ &\quad + (nqz\sqrt{\frac{p}{nq}}+\frac{nqz^2p}{2nq}-z^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{p}{nq}} + O((z\gamma)^3))\nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)\label{eq6:1}\\
-		&=(-z\sqrt{\frac{(np)^2q}{np}}+\frac{z^2q}{2}-z^2\sqrt{\frac{npq^2}{np}}+O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (z\sqrt{\frac{(nq)^2p}{nq}}+\frac{z^2p}{2}-z^2\sqrt{\frac{np^2q}{nq}} + O((z\gamma)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3) \label{eq6:2}\\
+		&(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \nonumber \\
+		&=(-np - z\sqrt{npq})(z\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{z^2 q}{2np} + O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-nq + z\sqrt{npq})(-z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{z^2 p}{2nq} + O((z\gamma)^3)) \nonumber \\
+		&=(-npz\sqrt{\frac{q}{np}}+\frac{npz^2q}{2np}-z^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{q}{np}} + O((z\beta)^3)) + O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \nonumber\\ &\quad + (nqz\sqrt{\frac{p}{nq}}+\frac{nqz^2p}{2nq}-z^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{p}{nq}} + O((z\gamma)^3))\nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)\label{eq6:1}\\
+		&\sim(-z\sqrt{\frac{(np)^2q}{np}}+\frac{z^2q}{2}-z^2\sqrt{\frac{npq^2}{np}}+O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (z\sqrt{\frac{(nq)^2p}{nq}}+\frac{z^2p}{2}-z^2\sqrt{\frac{np^2q}{nq}} + O((z\gamma)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3) \label{eq6:2}\\
 		&=(-z\sqrt{npq}-z^2q+\frac{z^2q}{2} + O((z\beta)^3)) + (z\sqrt{npq}-z^2p+\frac{z^2p}{2} + O((z\gamma)^3))\nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)\label{eq6:3} \\
 		&\sim (-z\sqrt{npq}-\frac{z^2q}{2}) + (z\sqrt{npq}-\frac{z^2p}{2})\label{eq6:4}\\
 		&=-\frac{z^2q}{2}-\frac{z^2p}{2} = -\frac{z^2}{2}(p+q) \label{eq6:5}\\
@@ -205,10 +207,10 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
 	\end{align} %(-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)
 	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
 	\begin{itemize}
-		\item[(\ref{eq6:1})] Das Distributivgesetz anwenden.
-		\item[(\ref{eq6:2})] $np$ und $nq$ mithilfe des Quadrates in die Wurzel ziehen, sowie Kürzen und Wurzeln zusammenfassen. Alle Terme mit $z^3$ werden von $O(z^3)$ nach dessen Definition "absorbiert".
+		\item[(\ref{eq6:1})] Das Distributivgesetz anwenden. Alle Terme die zu $O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ passen, werden nach dessen Definition "absorbiert".
+		\item[(\ref{eq6:2})] $np$ und $nq$ mithilfe des Quadrates in die Wurzel ziehen, sowie Kürzen und Wurzeln zusammenfassen. Außerdem gilt trivialerweise, dass $O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$
 		\item[(\ref{eq6:3})] $np$ und $nq$ in den Wurzeln Kürzen und Kommutativgesetz anwenden. 
-		\item[(\ref{eq6:4})] Die Landau Terme können vernachlässigt werden, da diese Terme für $n\rightarrow\infty$ gegen 0 gehen, sofern $z$ beschränkt ist. Betrachte Hierzu \cref{lem:restterme} und \cref{prop:restterme2}.
+		\item[(\ref{eq6:4})] Die Landau Terme können vernachlässigt werden, da diese Terme für $n\rightarrow\infty$ gegen 0 gehen, da $z$ beschränkt ist. Betrachte Hierzu \cref{lem:restterme} und \cref{prop:restterme2}.
 		\item[(\ref{eq6:5})] $-z\sqrt{npq}+z\sqrt{npq}=0$ und Distributivgesetz (invers) anwenden.
 		\item[(\ref{eq6:6})] Es gilt $p+q=1$, da $q = 1-p$ definiert wurde.
 	\end{itemize}
@@ -217,52 +219,52 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
 		P(S_n = k) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{z^2}{2}} \nonumber \\
 		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right)^2}{2}} \label{eq7:1} \\
 		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)} \label{eq7:2} \\
-		&= \mathcal{N}(np)(npq) = \mathcal{N}(\mu)(\sigma^2) \label{eq7:3}
+		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{\left(-\frac{(k-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)} \label{eq7:3} \\
+		&= f_{\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}(k) \label{eq7:4}
 	\end{align}
 	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
 	\begin{itemize}
 		\item[(\ref{eq7:1})] Rücksubstitution der Standardisierung.
 		\item[(\ref{eq7:2})] Der Bruch wurde quadriert und zusammengefasst.
-		\item[(\ref{eq7:3})] Definition der Standardnormalverteilung angewendet.
+		\item[(\ref{eq7:3})] Definition von $\mu$ und $\sigma$ angewendet.
+		\item[(\ref{eq7:4})] Definition der Dichtefunktion angewendet.
 	\end{itemize}
-	Daher konvergiert eine Binomialverteilte Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.
+	Da wir hiermit gezeigt haben, dass $P(S_n = k) \sim f_{\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}(k)$ für alle $k$ gilt, deren standardisierte Abweichung $z$ beschränkt bleibt ($|z| \le c$), folgt daraus direkt die asymptotische Gleichheit. Das bedeutet für den Quotienten aus exakter Wahrscheinlichkeit und approximierter Dichte, dass er im betrachteten Intervall gleichmäßig gegen $1$ konvergiert.\\
+	Zusammenfassend lässt sich festhalten: Die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable nähert sich für $n \to \infty$ im Bereich um den Erwartungswert punktweise der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
 \end{proof}
 \begin{lemma}[Asymptotisches Verschwinden der Taylor-Restterme mit Präfix]{restterme}
-	Seien $p \in (0,1)$, $q = 1-p$ und $z$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei z begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus multipliziert mit ihren jeweiligen Vorfaktoren gilt für $n \rightarrow \infty$:
+	Seien $p \in (0,1)$, $q = 1-p$ und $z=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei $z$ durch ein $c$ begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus multipliziert mit ihren jeweiligen Vorfaktoren gilt für $n \rightarrow \infty$:
 	\[
 	(-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3) \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0
 	\]
-	wobei $\beta = \sqrt{\frac{q}{np}}$ und $\gamma = \sqrt{\frac{p}{nq}}$ definiert sind.
+	wobei $\beta := \sqrt{\frac{q}{np}}$ und $\gamma := \sqrt{\frac{p}{nq}}$ definiert sind.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-	Da $z$ begrenzt ist, gilt: $ \exists M \in \mathbb{N}: |z|<M$.
+	Da $z$ begrenzt ist, gilt: $|z|<c$.
 	Wir betrachten exemplarisch den ersten Summanden (der zweite Verhält sich vollkommen analog). Da $\beta = \sqrt{\frac{q}{np}}$, verhält sich der Restterm dritter Ordnung bezüglich $n$ wie folgt:
 	\[
-	O((z\beta)^3) = O\left(z^3\cdot\left(\sqrt{\frac{q}{np}}\right)^3\right) = O\left(\frac{M^3 q^{3/2}}{p^{3/2}}\cdot\frac{1}{n^{3/2}}\right) = O\left(n^{-3/2}\right)
+	O((z\beta)^3) = O\left(z^3\cdot\left(\sqrt{\frac{q}{np}}\right)^3\right) = O\left(\frac{c^3 q^{3/2}}{p^{3/2}}\cdot\frac{1}{n^{3/2}}\right) = O\left(n^{-3/2}\right)
 	\]
-	Nach der Definition der Landau-Notation existiert für hinreichend große $n$ eine Konstante $C > 0$, sodass der Betrag dieses Restterms durch $C \cdot n^{-3/2}$ nach oben beschränkt ist.
+	Nach der Definition der Landau-Notation existiert für hinreichend große $n$ eine Konstante $M > 0$, sodass der Betrag dieses Restterms durch $M \cdot n^{-3/2}$ nach oben beschränkt ist.
 	Multiplizieren wir dies mit dem Betrag des Vorfaktors, erhalten wir mithilfe der Dreiecksungleichung:
 	\begin{align*}
-		\left| (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O(n^{-3/2}) \right| &\leq (np + |z|\sqrt{npq}) \cdot C \cdot n^{-3/2} \\
-		&= C \cdot np \cdot n^{-3/2} + C \cdot |z|\sqrt{npq} \cdot n^{-3/2} \\
-		&= C \cdot p \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} + C \cdot |z|\sqrt{pq} \cdot \frac{1}{n}
+		\left| (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O(n^{-3/2}) \right| &\leq (np + |z|\sqrt{npq}) \cdot M \cdot n^{-3/2} \\
+		&= M \cdot np \cdot n^{-3/2} + M \cdot |z|\sqrt{npq} \cdot n^{-3/2} \\
+		&= M \cdot p \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} + M \cdot |z|\sqrt{pq} \cdot \frac{1}{n}
 	\end{align*}
-	Da $C, p, q$ und $z$ in diesem Fall von $n$ unabhängige Konstanten sind und $n$ im Nenner unbegrenzt wächst, strebt dieser Ausdruck für $n \to \infty$ gegen:
+	Da $M, p, q$ und $z$ in diesem Fall von $n$ unabhängige Konstanten sind und $n$ im Nenner unbegrenzt wächst, strebt dieser Ausdruck für $n \to \infty$ gegen:
 	\[
 	0 + 0 = 0
 	\]
 	Für den zweiten Term mit $\gamma$ erfolgt der Beweis völlig analog, womit die Summe beider Terme ebenfalls gegen $0$ konvergiert.
 \end{proof}
 
-Folgende Proposition ist leicht aus dem oberen Beweis ableitbar (aufgrund der Abschätzung mit $n^{-3/2}$ und der Betrachtung von z als beschränkt) und wird daher nicht separat bewiesen.
+Folgende Proposition ist leicht aus dem oberen Beweis ableitbar (aufgrund der Abschätzung mit $n^{-3/2}$ und der Betrachtung von $z$ als beschränkt) und wird daher nicht separat bewiesen.
 \begin{proposition}[Asymptotisches Verschwinden der Taylor-Restterme ohne Präfix]{restterme2}
-	Seien $p \in (0,1)$, $q = 1-p$ und $z$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei $z$ begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus gilt für $n \rightarrow \infty$:
+	Seien $p \in (0,1)$, $q = 1-p$ und $z$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei $z$ durch ein $c$ begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus gilt für $n \rightarrow \infty$:
 	\[
 	O((z\beta)^3) + O((z\gamma)^3) \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0
 	\]
-	\[
-	O(z^3) \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0
-	\]
 	wobei $\beta = \sqrt{\frac{q}{np}}$ und $\gamma = \sqrt{\frac{p}{nq}}$ definiert sind.
 \end{proposition}
 
@@ -284,9 +286,10 @@ Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
 	\Gamma(n+1)=n!
 	\]
 \end{satz}
+Ein Beweis hierzu befindet sich in \cite{forster_analysis_2023}.
 
 \subsection{Stirling-Approximation}
-Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vorallem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
+Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vor allem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
 \begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}{\cite{freitag1995-oj}}
 	Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
 	\[
@@ -298,61 +301,194 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 	\]
 \end{satz}
 \begin{proof}
-	Der Ausgangspunkt ist die nach \cref{def:gammafunktion} definierte \textbf{Gamma-Funktion}
+	Der Ausdruck aus dem \cref{satz:stirlingformel} ist äquivalent zu 
 	\[
-	\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
+		\ln {n!}\sim \ln{\sqrt{2\pi}}+\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln{n-n}
 	\]
-	Wir schreiben den Integranden als Exponentialfunktion, dann haben wir 
+	Sei nun
 	\[
-	t^{x-1}e^{-t} = \exp((x-1)\ln t-t)
+		d_n := \ln{n!}-\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln{n+n}
 	\]
-	also ist
+	Wir zeigen nun, folgende Aussage gilt:
 	\[
-	\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}\exp((x-1)\ln t-t) dt
+		\lim_{n\rightarrow\infty}d_n =\ln\sqrt{2\pi}
 	\]
-	Setze $t=xu$ und $f(u)=\ln u - u$, dann erhalten wir
-	\begin{align}
-		\Gamma(x)&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-xu} du\\
-		&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}\exp(x(\ln u-u)) du\\
-		&=x^x\cdot \int_{0}^{\infty} e^{xf(u)}du
-	\end{align}
-	
-	Für große \(x\) wird das Integral durch die Umgebung des kritischen Punktes von \(f\) dominiert. Diese erhält man aus
+	Es gilt:
+	\begin{align*}
+		d_n-d_{n+1}=&\ln n!-\ln{(n+1)!}-\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n \\&+\left(n+1+\frac{1}{2}\right)\ln{(n+1)}+n-(n+1)\\
+		=&\ln\frac{n!}{(n+1)!}+\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\ln(n+1)-\ln (n)\right)+\ln(n+1)-1\\
+		=&-\ln(n+1)+\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln\frac{n+1}{n}+\ln(n+1)-1\\
+		=&\frac{2n+1}{2}\ln(\frac{n+1}{n})-1\\
+		=&(2n+1)\cdot\frac{1}{2}\ln\frac{1+\frac{1}{2n+1}}{1-\frac{1}{2n1}}-1
+	\end{align*}
+	Wegen der Potenzreihenentwicklung des Logarithmus gilt für $-1<x<1$ gilt allgemein
+	\begin{align*}
+		\ln(1+x)&=\sum_{i=1}^{\infty}{(-1)^{i+1}\frac{x^i}{i}}\\
+		\ln(1-x)&=\sum_{i=1}^{\infty}{(-1)^{i+1}\frac{(-x)^i}{i}}\\
+		\ln(\frac{1+x}{1-x})&=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{x^{2i+1}}{2i+1}}
+	\end{align*}
+	Setze $x:=\frac{1}{2n+1}$, daraus folgt für $x\neq 0$
+	\begin{align*}
+		d_n-d_{n+1}&=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{2}\cdot2\left(x+\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{2i+1}x^{2i+1}}\right)-1\\
+		&=\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{2i+1}\frac{1}{(2n+1)^{2i}}}\\
+		&<\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{3}\frac{1}{(2n+1)^{2i}}}\\
+		&=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-q}-1\right)\quad \text{ mit }q=\frac{1}{(2n+1)^2} \\
+		&=\frac{1}{3((2n+1)^2-1)}
+	\end{align*}
+	Zudem ist ebenfalls
 	\[
-	f'(u)=\frac{1}{u}-1=0 \quad \Rightarrow \quad u=1.
+		\frac{1}{3(2n+1)^2}=\sum_{i=1}^{1}{\frac{1}{2i+1}\cdot\frac{1}{(2n+1)^{2i}}}<d_n-d_{n+1}
 	\]
-	
-	Weiter gilt
+	also
 	\[
-	f''(u)=-\frac{1}{u^2}, \quad \text{also } f''(1)=-1.
+		\frac{1}{3(2n+1)^2}<d_n-d_{n+1}<\frac{1}{3((2n+1)^2-1)}
 	\]
-	
-	Damit besitzt \(f\) bei \(u=1\) einen stationären Punkt, und wir entwickeln \(f\) dort bis zur zweiten Ordnung:
+	Es ist
+	\begin{align*}
+		\frac{1}{3((2n+1)^2-1)}
+		&= \frac{1}{12n(n+1)}
+		= \frac{1}{12n}-\frac{1}{12(n+1)}\\
+		\frac{1}{3(2n+1)^2}
+		&= \frac{1}{12n(n+1)+3}
+		= \frac{1}{12\big(12n(n+1)+3\big)}\\
+		&= \frac{12}{12\cdot12n(n+1)+36}\\
+		&>\frac{12}{12\cdot12n^2+12\cdot12n+24n+13} \\
+		&= \frac{12}{12\cdot12n^2+12\cdot14n+13}
+		= \frac{12}{(12n+1)(12n+13)}\\
+		&= \frac{1}{12n+1}-\frac{1}{12(n+1)+1}
+	\end{align*}
+	Setzen wir beide Ungleichungen zusammen, so erhalten wir 
 	\[
-	f(u)\sim f(1)+\frac{f''(1)}{2}(u-1)^2
-	= -1 - \frac{(u-1)^2}{2}.
+		\frac{1}{12n+1}-\frac{1}{12(n+1)+1} < d_n-d_{n+1} < \frac{1}{12n}-\frac{1}{12(n+1)}
 	\]
-	
-	Einsetzen liefert die lokale Approximation
+	Aus
+	\begin{align*}
+		&\left(d_n-\frac{1}{12n}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)}\right)\\
+		<\quad0\quad<\quad&\left(d_n-\frac{1}{12n+1}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)+1}\right)
+	\end{align*}
+	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monoton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim_{n\rightarrow\infty} d_n$.
+	\begin{align*}
+		d_n-\frac{1}{12n}\quad&<\quad c\quad<\quad d_n-\frac{1}{12n+1}\\
+		c+\frac{1}{12n+1}\quad&<\quad d_n\quad<\quad c+\frac{1}{12n}
+	\end{align*}
+	Aus unserem Start
 	\[
-	\Gamma(x)\sim x^x e^{-x}\cdot\int_0^\infty \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du.
+		d_n = \ln{n!}-\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln{n+n}
 	\]
-	
-	Da der Hauptbeitrag aus einer Umgebung von $u=1$ stammt, kann das Integral asymptotisch auf $\mathbb{R}$ erweitert werden.
+	folgt nun
 	\[
-	\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du
-	= \sqrt{\frac{2\pi}{x}}.
+		e^{d_n} = {n!}\left(\frac{n}{e}\right)^{-1}n^{-\frac{1}{2}}
 	\]
-	
-	Damit erhält man
+	An dieser Stelle notieren wir
+	\begin{align*}
+		e^{c+\frac{1}{12n+1}} &< e^{d_n} < e^{c+\frac{1}{12n}} \\
+		e^c e^{\frac{1}{12n+1}} &< n! \left(\frac{n}{e}\right)^{-n} n^{-\frac{1}{2}} < e^c e^{\frac{1}{12n}} \\
+		e^c \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\frac{1}{12n+1}} &< n! < e^c \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\frac{1}{12n}}
+	\end{align*}
+	Die Ungleichung bleibt aufgrund der Monotonie der $e$-Funktion bestehen.\\
+	Es bleibt zu zeigen, dass
 	\[
-	\Gamma(x)\sim \sqrt{2\pi}\, x^{x-\frac12} e^{-x}.
+		e^c=\sqrt{2\pi}
+	\]
+	Wir führen eine Hilfsrechnung über
+	\[
+		I_n:=\int_{0}^{\pi/2}{sin^n x dx}
+	\]
+	Es gilt
+	\begin{align*}
+		I_n &= \int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-1} x \cdot \sin x \, dx \\
+		&= \left. \sin^{n-1} x \cdot (-\cos x) \right|_{0}^{\pi/2} - \\
+		&\quad \int_{0}^{\pi/2} (n-1) \sin^{n-2} \cos x \cdot (-\cos x) \, dx \\
+		&= (n-1) \int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx \\
+		&= (n-1)(I_{n-2} - I_n) \\
+		I_n &= \frac{n-1}{n} I_{n-2} \\
+		I_0 &= \frac{\pi}{2} \\
+		I_1 &= 1 \\
+		I_2 &= \frac{1}{2} I_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\\
+		I_{2n} &= \frac{1\cdot3\cdot5\dots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\dots(2n)}\frac{\pi}{2}\\
+		I_{2n} &= \frac{2\cdot4\cdot6\dots(2n)}{1\cdot3\cdot5\dots(2n+1)}
+	\end{align*}
+	Weiterhin folgt
+	\begin{align*}
+		&& 0 &< x < \frac{\pi}{2} \\
+		&\Rightarrow & 0 &< \sin x < 1 \\
+		&\Rightarrow & \sin^{2n+1} x &< \sin^{2n} x < \sin^{2n-1} x \\
+		&\Rightarrow & I_{2n-1} &> I_{2n} > I_{2n+1} \\
+		&\Rightarrow & \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} &> \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} > 1 \\
+		&\Rightarrow & \frac{2n+1}{2n} &> \frac{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1) \cdot (2n+1)}{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n)} \cdot \frac{\pi}{2} > 1 \\
+		&\Rightarrow & \lim \ & \frac{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1) \cdot (2n+1)}{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n)} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 \\
+		&\Rightarrow & \frac{\pi}{2} &= \lim \left( \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} \right)^2 \cdot \frac{1}{2n+1} \\
+		&& &= \lim \frac{2^{4n} (n!)^4}{((2n)!)^2 (2n+1)}
+	\end{align*}
+	Es ist also für zwei gegen $0$ konvergierende Terme  $\lim_{n\rightarrow\infty}{\alpha_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\beta_n}=0$:
+	\begin{align*}
+		n!&=e^c\sqrt{n}n^ne^{-n}e^{\alpha_n}\\
+		(2n)!&=e^c\sqrt{2n}2^{2n}n^{2n}e^{-2n}e^{\beta_n}
+	\end{align*}
+	Einsetzen liefert schlussendlich
+	\[
+		e^c=\sqrt{2\pi}
 	\]
-	
 \end{proof}
+Der Beweis entspricht im wesentlichen dem 2006 von Wolfgang Kössler geführten Beweis, siehe \cite{koessler-2006}.
+
+% Nicht vollständig / zu schwach
+%\begin{proof}
+%	Der Ausgangspunkt ist die nach \cref{def:gammafunktion} definierte \textbf{Gamma-Funktion}
+%	\[
+%	\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
+%	\]
+%	Wir schreiben den Integranden als Exponentialfunktion, dann haben wir 
+%	\[
+%	t^{x-1}e^{-t} = \exp((x-1)\ln t-t)
+%	\]
+%	also ist
+%	\[
+%	\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}\exp((x-1)\ln t-t) dt
+%	\]
+%	Setze $t=xu$ und $f(u)=\ln u - u$, dann erhalten wir
+%	\begin{align}
+%		\Gamma(x)&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-xu} du\\
+%		&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}\exp(x(\ln u-u)) du\\
+%		&=x^x\cdot \int_{0}^{\infty} e^{xf(u)}du
+%	\end{align}
+%	
+%	Für große \(x\) wird das Integral durch die Umgebung des kritischen Punktes von \(f\) dominiert. Diese erhält man aus
+%	\[
+%	f'(u)=\frac{1}{u}-1=0 \quad \Rightarrow \quad u=1.
+%	\]
+%	
+%	Weiter gilt
+%	\[
+%	f''(u)=-\frac{1}{u^2}, \quad \text{also } f''(1)=-1.
+%	\]
+%	
+%	Damit besitzt \(f\) bei \(u=1\) einen stationären Punkt, und wir entwickeln \(f\) dort bis zur zweiten Ordnung:
+%	\[
+%	f(u)\sim f(1)+\frac{f''(1)}{2}(u-1)^2
+%	= -1 - \frac{(u-1)^2}{2}.
+%	\]
+%	
+%	Einsetzen liefert die lokale Approximation
+%	\[
+%	\Gamma(x)\sim x^x e^{-x}\cdot\int_0^\infty \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du.
+%	\]
+%	
+%	Da der Hauptbeitrag aus einer Umgebung von $u=1$ stammt, kann das Integral asymptotisch auf $\mathbb{R}$ erweitert werden.
+%	\[
+%	\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du
+%	= \sqrt{\frac{2\pi}{x}}.
+%	\]
+%	
+%	Damit erhält man
+%	\[
+%	\Gamma(x)\sim \sqrt{2\pi}\, x^{x-\frac12} e^{-x}.
+%	\]
+%	
+%\end{proof}
 
 \subsection{Taylor-Approximation}
-Um eine Taylorpproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. Da $\ln(1-x)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist, ist diese Aussage trivial.
+Um eine Taylorapproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. Da $\ln(1-x)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist, ist diese Aussage trivial.
 \begin{proposition}{dreimalableiten}
 	$f(x)=\ln(1-x)$ ist mindestens dreimal differenzierbar.
 \end{proposition}
@@ -371,9 +507,9 @@ Bevor wir die Approximation  nachweisen, ist eine formale Definition des Satzes
 \end{satz}
 	
 \begin{bemerkung}
-	Das Lagrange-Restglied ist in den meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$.
+	Das Lagrange-Restglied ist in den meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n+1$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$.
 	
-	Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^n)$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algortihmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
+	Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^{n+1})$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algorithmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
 	
 	Die Definition des Taylorpolynoms entspringt direkt dem Satz von Taylor, nur ohne das Lagrange-Restglied.
 \end{bemerkung}
@@ -394,7 +530,7 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
 \begin{proof}
 	Zunächst ist der Definitionsbereich von $\ln(1-x)$ gleicht dem Intervall $(-\infty,1)$.
 	
-	Zudem ist die Funktion $\ln(1-x)$ mindestens dreimal differenzierbar. Betrachten wir $x\in(-\infty,1)$ und $x_0=0$.
+	Zudem ist die Funktion $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar. Betrachten wir $x\in(-\infty,1)$ und $x_0=0$.
 	
 	Das zweite Taylor-Polynom lautet
 	\begin{align*}
@@ -410,7 +546,7 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
 	wobei das Lagrange-Restglied etwa $R_2(x)\sim O(x^3)$, denn
 	\begin{align*}
 		R_2(x)&=\frac{1}{(2+1)!}\cdot(\ln(1-\xi))^{(2+1)}\cdot(x-0)^{(2+1)}\\
-		&=-\frac{1}{3(1-\xi)^3}\cdot x^3\quad\text{für ein }\xi\in(0,x)&&\text{\cref{lem:dreimalableiten}}\\
+		&=-\frac{1}{3(1-\xi)^3}\cdot x^3\quad\text{für ein }\xi\in(0,x)\\
 	\end{align*}
 	wobei nach der Landau-Notation gilt: $a\cdot x^n+b\in O(x^n)$
 	\[
@@ -424,7 +560,7 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
 	\]
 \end{proof}
 \begin{bemerkung}
-	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben. Da auch in abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
+	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben, welcher durch das Lagrange-Restglied beziehungsweise die Landaunotation ausgedrückt wird. Da auch in Abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
 \end{bemerkung}
 Im Plot können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x_0=0$ herum sehr ähnlich sind. 
 \begin{figure}[H]
@@ -455,16 +591,16 @@ Im Plot können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x
 	\end{tikzpicture}
 	\caption{Darstellung der Funktionen $\ln(1-x)$ und $-x-\frac{x^2}{2}$}
 \end{figure}
-Würden wir die Entwicklung weiterführen, approximiert die violette Funktion (unser Taylorpolynom) die orangene Funktion $(\ln(1-x))$ immer weiter. Graphisch lässt sich erkennen, dass für Werte im Intervall $I(-0.5,0.5)$ die Funktion $\ln(1-x) \sim -x\frac{-x}{2}$ plus ein kleiner Fehler ist.
+Würden wir die Entwicklung weiterführen, approximiert die rot-gestrichelte Funktion (unser Taylorpolynom) die blaue Funktion $(\ln(1-x))$ immer weiter. Graphisch lässt sich erkennen, dass für Werte im Intervall $I(-0.5,0.5)$ die Funktion $\ln(1-x) \sim -x\frac{-x}{2}$ plus ein kleiner Fehler ist.
 
 \subsection{Galtonbrett}
 Das Galtonbrett ist ein bekanntes Modell zur Veranschaulichung der Normalverteilung der Stochastik. Es demonstriert visuell, wie aus einer Vielzahl von zufälligen unabhängigen Einzelereignissen eine feste mathematische Gesetzmäßigkeit entsteht. Naiv betrachtet ist es nicht auf dem ersten Blick deutlich, dass aus der eigentlichen Binomialverteilung die gaußsche Glockenkurve der Normalverteilung entsteht. 
 
-Das Galtonbrett wurde von dem britischen Naturforscher und Universalgelehrten Sir Francis Galton (1822–1911) erfunden. Galton war ein Cousin von Charles Darwin und interessierte sich stark für die Vererbung menschlicher Eigenschaften, wie Körpergröße oder Intelligenz \cite{buchter_elementare_2005}. Er stellte auch fest, dass diese Eigenschaften in einer Bevölkerung fast immer einer Glockenkurve der Normalverteilung folgten. Galton suchte nach einem mechanischen Weg, um zu demonstrieren, wie die Vermischung vieler zufälliger genetischer Beiträge der Eltern in der nächsten Generation wieder genau dieselbe Verteilung von Mustern hervorbringt \cite{pearl-mackenzie-2018}. Das Brett diente ihm also ursprünglich als biologisches Analogiemodell für die Vererbung, bevor es zu einem Standardwerkzeug der mathematischen Didaktik wurde, um den zentralen Grenzwertsatz zu visualisieren. Das erste Mal hat Sir Francis Galtin das Brett am 17.02.1874 bei einer Vorlesung in der Royal Society vorgestellt \cite{kit-2022}. 
+Das Galtonbrett wurde von dem britischen Naturforscher und Universalgelehrten Sir Francis Galton (1822–1911) erfunden. Galton war ein Cousin von Charles Darwin und interessierte sich stark für die Vererbung menschlicher Eigenschaften, wie Körpergröße oder Intelligenz \cite{buchter_elementare_2005}. Er stellte auch fest, dass diese Eigenschaften in einer Bevölkerung fast immer einer Glockenkurve der Normalverteilung folgten. Galton suchte nach einem mechanischen Weg, um zu demonstrieren, wie die Vermischung vieler zufälliger genetischer Beiträge der Eltern in der nächsten Generation wieder genau dieselbe Verteilung von Mustern hervorbringt \cite{pearl-mackenzie-2018}. Das Brett diente ihm also ursprünglich als biologisches Analogiemodell für die Vererbung, bevor es zu einem Standardwerkzeug der mathematischen Didaktik wurde, um den zentralen Grenzwertsatz zu visualisieren. Das erste Mal hat Sir Francis Galton das Brett am 17.02.1874 bei einer Vorlesung in der Royal Society vorgestellt \cite{kit-2022}. 
 
 Das grundlegende Prinzip des Galtonbretts ist über die 150 Jahre hinweg völlig gleichgeblieben, doch seine Anwendung und Form haben sich stark gewandelt. 
 \begin{itemize}
 	\item Der Anfang in den 1870er Jahren mit Galtons originalem Apparate war nicht viel mehr als ein klobiger, hölzerner Kästen mit Glasscheiben. Als "Kugeln" verwendete er oft Bohnen (weshalb es im Englischen auch Bean Machine genannt wurde). 
-	\item Im 20ten Jahrhundert fand das mathematische Prinzip schnell Einzug in die Unterhaltungsindustrie. In Fernsehshows wurde es weltberühmt – so etwa als das Spiel "Plinko" in der US-amerikanischen Show The Price Is Right \cite{pearl-mackenzie-2018} oder in der deutschen Adaption "Der Preis ist heiß". 
+	\item Im 20ten Jahrhundert fand das mathematische Prinzip schnell Einzug in die Unterhaltungsindustrie. In Fernsehshows wurde es weltberühmt – so etwa als das Spiel "Plinko" in der US-amerikanischen Show ``The Price Is Right'' \cite{pearl-mackenzie-2018} oder in der deutschen Adaption "Der Preis ist heiß". 
 	\item Heute gibt es das Galtonbrett als präzise gefertigte Schreibtisch-Gadgets im Taschenformat, bei denen Tausende winziger Stahlkugeln in lasergeschnittenen Kunststoffrillen laufen. Zudem wird das Brett heute in Schulen und Universitäten meistens digital als Computersimulation wie bei \hyperref{https://www.geogebra.org/m/eayfksqh}{}{}{Galtonbrett mit variabler Wahrscheinlichkeit – GeoGebra} oder \hyperref{https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm}{}{}{Galtonbrettsimulation} genutzt, bei der man Parameter, wie die Fallwahrscheinlichkeit nach links oder rechts, flexibel verändern kann. 
 \end{itemize}

content/Weiterfuehrende_Ideen.tex

@@ -1,4 +1,12 @@
-Da Sie ja umfangreich recherchiert haben, werden Sie deutlich mehr Material haben, als Sie in diesem Dokument unterbringen können. Hier können Sie Ihre weiterführenden Ideen kurz darstellen. Vergessen Sie nicht, auch hier die Quellen anzugeben!
-% Vorraussetzungen entspannter betrachten:
-% 		Martingale central limit theorem + Mixing Condition -> Normalverteilung.
-%		Gegenbeispiel Fat-Tails -> was geht kaputt?
+Das klassische Galtonbrett ist ein elegantes mechanisches Modell zur Veranschaulichung des lokalen und zentralen Grenzwertsatzes. Die Standardannahme geht dabei von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen aus: jede Kugel trifft an jedem Stift mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0.5$ die Entscheidung, nach links oder rechts zu fallen ohne, dass diese sich gegenseitig beeinflussen. Im Rahmen tiefergehender Recherchen zeigen sich jedoch spannende theoretische, sowie praktische Erweiterungsmöglichkeiten, die weit über das Standardmodell hinausgehen.
+\paragraph{Zentraler Grenzwertsatz}
+In dieser Arbeit wurde der Fokus auf den lokalen Grenzwertsatz von Movire-Laplace gelegt. Es ist ebenso möglich dieses Resultat weiter zum zentralen Grenzwertsatz von Movire-Laplace zu erweitern. Hiermit lässt sich zeigen, dass sich die Binomialverteilung mithilfe der Normalverteilung approximieren lässt \cite{kosenkova_stochastik_2025}.
+
+\paragraph{Unabhängigkeit}
+In der Realität ist die strikte Unabhängigkeit aufeinanderfolgender Schritte oft eine Idealisierung. Physikalisch gesehen könnte eine Kugel den Stift in leichte Schwingungen versetzen oder Drall mitnehmen, was die Wahrscheinlichkeit für den nächsten Schritt beeinflusst. Mathematisch lässt sich diese Voraussetzung jedoch lockern, indem statt Zufallsvariablen Martingale betrachtet werden. Unter bestimmten Voraussetzungen greif hier dann der Martingal-Zentralgrenzwertsatz, wodurch wieder die Normalverteilung angenähert wird \cite{posedel_martingale_2025}.
+
+\paragraph{Identisch Verteilt}
+Das klassische Brett nutzt auf jeder Ebene die identische Wahrscheinlichkeit $p = 0.5$. Da auch dies nicht unbedingt immer gewährleistet ist, lässt sich diese Bedingung ebenso aufweichen. Unter der Bedingung, dass keine einzelne Reihe die Gesamtvarianz dominiert (Lindeberg-Bedingung), führt der verallgemeinerte zentrale Grenzwertsatz dennoch zu einer Normalverteilung. Die Glockenkurve bleibt erhalten, auch wenn die Elementarschritte auf dem Weg nach unten variieren \cite{posedel_martingale_2025}.
+
+\paragraph{Erweiterung der Mechanik in der Schule: Das schiefe Galtonbrett}
+Eine physisch leicht umzusetzende Variation ist das Neigen des gesamten Brettes. Durch die Schräglage wird die Wahrscheinlichkeit für einen Fall nach rechts oder links asymmetrisch, sodass $p \neq 0.5$ gilt. Die Pfade der Kugeln folgen nun einer asymmetrischen Binomialverteilung. Für eine große Anzahl an Stiftreihen $n$ nähert sich die Form (nach dem Satz von Moivre-Laplace) zwar immer noch einer Normalverteilung an, jedoch verschieben sich der Erwartungswert auf $\mu = np$ und die Varianz auf $\sigma^2 = np(1-p)$. Die Glockenkurve wandert entsprechend der Neigung aus dem physikalischen Zentrum des Brettes heraus, behält aber ihre charakteristische mathematische Struktur bei, was im Unterricht hervorragend zur Einführung von Parametervariationen genutzt werden kann \cite{schreiter_echt_2022}.

content/Zeitplan.tex

@@ -1,3 +1,13 @@
-Hier ist kein minutengenauer Zeitplan nötig, aber eine grobe Übersicht über den Zeitplan ist sinnvoll. Insbesondere, wie viel Zeit Sie für die einzelnen Themen bzw. Arbeitsmaterialien veranschlagen.
+Da sich das Themengebiet über einige Niveau- und Klassenstufen des Brandenburger Rahmenlehrplanes streckt \cite{lisum-2023}, und das Galtonbrett sich auch sehr gut eignet, auf verschiedenen Komplexitätsstuufen zu unterrichten, schlagen wir folgende Unterteilung vor:\\
 
-Das ganze muss nicht in eine Doppelstunde passen, aber es ist sinnvoll, wenn Sie die normalen Doppelstunden als grobe Richtlinie verwenden. Der Zeitplan kann z.B. gerne als eine Tabelle dargestellt werden. 
+Ab 10. Klasse:\\
+Eine Grundlegende Auseinandersetzung mit dem Galtonbrett und den Zusammenhang mit der Binomialverteilung und dem Pascallschem Dreieck, lässt sich wunderbar ohne höhere mathematische Inhalte erarbeiten. Hierzu eignen sich insbesondere das  Arbeitsblatt \emph{Galton x Pascal} (c.a. 25 min) und \emph{Galton x Plinko} (c.a. 25 min). Wir würden auch empfehlen beide zu bearbeiten. Wenn eine ausblicksartige Auseinandersetzung im Zusammenhang mit der Normalverteilung gewünscht ist (ohne in die mathematischen Details dieser einzutauchen) kann hierzu auch noch Aufgabe 1 bis Aufgabe 3 des Arbeitsblattes \emph{Galton x ZSG Movire-Laplace} (c.a. 15min) mit eingebunden werden. Als Ablauf empfehlen wir folgendes Vorgehen:\\
+
+\emph{Galton x Plinko }(Seite 1) $\rightarrow$ \emph{Galton x Pascal} $\rightarrow$ \emph{Galton x Plinko} (Seite 2)\\
+$\overset{optional}{\rightarrow}$ \emph{Galton x LGS} (Aufgabe 1 bis 3)
+
+Ab 12. Klasse:\\
+Um eine tiefgreifende Auseinandersetzung mit dem Galtonbrett zu ermöglichen empfehlen wir alle drei Arbeitsblätter anzubieten. Als verkürzte Variante ließe sich hier auch das Arbeitsblatt \emph{Galton x Plinko} auslassen. Daher empfehlen wir folgenden Progression:\\
+\emph{Galton x Plinko} (Seite 1) $\rightarrow$ \emph{Galton x Pascal} $\rightarrow$ \emph{Galton x Plinko} (Seite 2) $\rightarrow$ \emph{Galton x LGS} \\
+oder\\
+\emph{Galton x Pascal} $\rightarrow$ \emph{Galton x LGS} \\

galton.tex

@@ -3,6 +3,10 @@
 \geometry{top=3cm,bottom=3cm,left=3cm,right=3.5cm}
 \usepackage[ngerman]{babel}
 \usepackage{pgfplots}
+\usepackage{pdfpages}
+
+\usepackage{tabularx}               % Automatische Breitenanpassung & Umbrüche
+\usepackage{booktabs}               % Für professionelle Tabellenlinien (optional)
 
 \usepackage{Matheclub}
 

material/ab1.tex

@@ -26,7 +26,9 @@
 \usepackage{xcolor}
 \usepackage{setspace}
 \usepackage{letltxmacro}
+\usepackage{wrapfig}
 
+\usetikzlibrary{calc}
 
 \setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}
 
@@ -105,7 +107,7 @@
 }
 
 \newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
-	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+%	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
 	title={Zusatzaufgabe: #1},
 	colback=white,
 	colframe=white!75!red,
@@ -199,7 +201,7 @@
 
 
 \newcommand{\curdate}{09.07.2026}
-\newcommand{\curtitle}{Pascalsches Dreieck}
+\newcommand{\curtitle}{Galton x Pascal}
 
 \title{\curtitle}
 \author{Fierke, Janik, Weidlich}
@@ -213,6 +215,7 @@
 	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
 	
 	\section{\curtitle}
+	
 	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
 	\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
 		Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen:
@@ -221,6 +224,34 @@
 		\]
 	\end{definitionbox}
 	
+%	\begin{figure}[H]
+%		\centering
+%		% Erstes Bild
+%		\begin{minipage}[t]{0.7\textwidth}
+%			\centering
+%			Im Stochastik Unterricht ist dir sicherlich schon einmal die 
+%			Formel des Binomialkoeffizienten (Abb. \ref{fig:bino}) begegnet. 
+%			\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
+%				Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen.
+%			\end{definitionbox}
+%		\end{minipage}
+%		\hfill
+%		% Zweites Bild
+%		\begin{minipage}[t]{0.25\textwidth}
+%			\centering
+%			\[
+%			\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
+%			\]
+%			\caption{Formel Binomialkoeffizienten}
+%			\label{fig:bino}
+%		\end{minipage}
+%	\end{figure}
+%	
+%	
+%	
+%	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schon einmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
+	
+	
 	Zum Warmwerden berechnen wir:
 	\begin{multicols}{3}
 		$\binom{3}{0}=$ \hrulefill\\\\
@@ -231,13 +262,13 @@
 		$\binom{5}{5}=$ \hrulefill\\\\
 		$\binom{4}{2}=$ \hrulefill\\\\
 		
-		
 		$\binom{n}{0}=$ \hrulefill { }für $n\in\mathbb{N}$\\\\		
 		$\binom{n}{n}=$ \hrulefill { }für $n\in\mathbb{N}$\\\\
 		
 	\end{multicols}
 	
 	\begin{enumerate}
+		
 		\item Berechne nun nach folgender Regel:
 		\begin{center}
 			\textit{Die Summe des Steins ist die Summe der darüberliegenden Steine. }
@@ -313,22 +344,22 @@
 					\node at (12.25,14.1875) {$\binom{1}{1}=$};
 					
 					\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
-					\node at (10.875,12.8125) {$\binom{2}{0}=$};
+					\node at (10.875,12.8125) {$\binom{2}{1}=$};
 					
 					\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
-					\node at (8.125,12.8125) {$\binom{2}{1}=$};
+					\node at (8.125,12.8125) {$\binom{2}{0}=$};
 					
 					\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
 					\node at (13.625,12.8125) {$\binom{2}{2}=$};
 					
 					\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
-					\node at (12.25,11.4375) {$\binom{3}{0}=$};
+					\node at (12.25,11.4375) {$\binom{3}{2}=$};
 					
 					\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
 					\node at (9.5,11.4375) {$\binom{3}{1}=$};
 					
 					\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
-					\node at (6.75,11.4375) {$\binom{3}{2}=$};
+					\node at (6.75,11.4375) {$\binom{3}{0}=$};
 					
 					\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
 					\node at (15,11.4375) {$\binom{3}{3}=$};
@@ -339,5 +370,123 @@
 		Entwirf einen Computeralgorithmus, der den Binomialkoeffizienten berechnet, ohne dass dieser die Fakultät benutzt!
 	\end{extrataskbox}
 	
+	\noindent
+	\begin{minipage}[t]{0.62\textwidth}\vspace{0pt}
+		\begin{definitionbox}[Galtonbrett]
+			Das \textbf{Galtonbrett} ist ein mechanisches Demonstrationsgerät aus der Stochastik, bei welchem kleine Kugeln auf horizontal und dreieckig angeordnete Stäbchen fallen gelassen wird (hier zweidimensional von vorne dargestellt). Bei jedem Aufprall auf ein Stäbchen teilt sich ihr Weg: entweder nach links, oder nach rechts.	
+		\end{definitionbox}
+	\end{minipage}
+    \hfill
+	\begin{minipage}[t]{0.33\textwidth}\vspace{0pt}
+		\centering
+		\includegraphics[width=0.8\linewidth]{galtonbrett}
+		\captionof{figure}{}
+		\label{fig:galtonbrett}
+	\end{minipage}
+
+	\begin{enumerate}
+		\setcounter{enumi}{2}
+		\item Zeichne in das Galtonbrett alle Wege ein, die eine Murmel nehmen kann, wenn sie auf den obersten Stab fallen gelassen wird. Inwiefern unterscheiden sich beide Galtonbretter?\\
+		\begin{multicols}{2}
+			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+				% Definition der Reihen
+				\def\rows{3}
+				
+				% Zähler für die Beschriftung
+				\newcounter{labelcount}
+				
+				% Fächer (Bins) am unteren Ende basierend auf der Reihenanzahl
+				\foreach \i in {0,...,\rows} {
+					\pgfmathsetmacro{\xpos}{\i * 2 - \rows}
+					\draw[thick] (\xpos - 0.4, -\rows - 1.5) rectangle (\xpos + 0.4, -\rows - 0.2);
+					\node at (\xpos, -\rows - 1.8) {\i};
+				}
+				
+				% Dreieckiges Nagelbrett
+				\foreach \y in {0,...,\rows} {
+					\foreach \x in {0,...,\y} {
+						\pgfmathsetmacro{\coordx}{2 * \x - \y}
+						
+						% Nagel zeichnen
+						% Nagel nur bis zur vorletzten Reihe zeichnen
+						\ifnum \y < \rows
+						\filldraw[black] (\coordx, -\y) circle (2.5pt);
+						
+						% Erste fünf Nägel mit a,b,c,d,e beschriften
+						%\stepcounter{labelcount}
+						%\ifnum\value{labelcount}<11
+						%\node[anchor=south east] at (\coordx-0.16,-\y-0.3)
+						%{\alph{labelcount}};
+						%\fi
+						\fi
+						
+						% Wege nach unten zeichnen (auch von der letzten Reihe aus nicht nötig,
+						% daher weiterhin nur bis zur vorletzten Reihe)
+%						\ifnum \y < \rows
+%						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx - 1, -\y - 1);
+%						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx + 1, -\y - 1);
+%						\fi
+
+						%Beispiel einzeichnen: left left left
+						\draw[gray, thin] (0, 0) -- node[above left] {l} (-1,- 1) -- node[above left] {l} (-2,-2) -- node[above left] {l} (-3,-3);
+						\draw[gray, thin] (-2, -2) -- node[above right] {r} (-1,-3);
+					}
+				}
+			\end{tikzpicture}
+			
+			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+				% Definition der Reihen
+				\def\rows{4}
+				
+				% Zähler für die Beschriftung
+				\newcounter{labelcountzwo}
+				
+				% Fächer (Bins) am unteren Ende basierend auf der Reihenanzahl
+				\foreach \i in {0,...,\rows} {
+					\pgfmathsetmacro{\xpos}{\i * 2 - \rows}
+					\draw[thick] (\xpos - 0.4, -\rows - 1.5) rectangle (\xpos + 0.4, -\rows - 0.2);
+					\node at (\xpos, -\rows - 1.8) {\i};
+				}
+				
+				% Dreieckiges Nagelbrett
+				\foreach \y in {0,...,\rows} {
+					\foreach \x in {0,...,\y} {
+						\pgfmathsetmacro{\coordx}{2 * \x - \y}
+						
+						% Nagel zeichnen
+						% Nagel nur bis zur vorletzten Reihe zeichnen
+						\ifnum \y < \rows
+						\filldraw[black] (\coordx, -\y) circle (2.5pt);
+						
+						% Erste fünf Nägel mit a,b,c,d,e beschriften
+						%\stepcounter{labelcountzwo}
+						%\ifnum\value{labelcountzwo}<11
+						%\node[anchor=south east] at (\coordx-0.16,-\y-0.3)
+						%{\alph{labelcountzwo}};
+						%\fi
+						\fi
+						
+						% Wege nach unten zeichnen (auch von der letzten Reihe aus nicht nötig,
+						% daher weiterhin nur bis zur vorletzten Reihe)
+%						\ifnum \y < \rows
+%						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx - 1, -\y - 1);
+%						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx + 1, -\y - 1);
+%						\fi
+					}
+				}
+			\end{tikzpicture}
+		\end{multicols}
+		
+		\item Zähle nun die verschiedenen Pfade, die eine Murmel nehmen kann, sodass sie in den darunterliegenden Fächern landet.
+		\scriptsize(Hinweis: Nutze die Beschreibung, dass eine Kugel immer nur  nach rechts (r) oder links (l) fallen kann und schreibe das in Mengenschreibweise, sodass du keinen Pfad vergisst.) \normalsize \\
+		Bsp: Fach 0: $A_0=\{(l,l,l)\} \Rightarrow \text{Pfade}_0=|A_0|=2$
+		\vspace{85pt}
+		
+		\item Dir ist sicherlich schon aufgefallen, dass die meisten Pfade in die Mitte führen. Untersuche nun die Anzahl der Pfade zu jedem der Stäbchen und vergleiche diese mit dem Pascalschen Dreieck. Was fällt dir auf? 
+		\vspace{85pt}
+		
+		\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariable $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?
+	\end{enumerate}
+	
 	\label{LastPage}
 \end{document}

material/ab1_Lös.tex

@@ -0,0 +1,507 @@
+\documentclass[a4paper]{article}
+\usepackage{array}
+\usepackage{adjustbox}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{caption}
+\usepackage[headsepline, footsepline]{scrlayer-scrpage}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{dsfont}
+\usepackage{float}
+\usepackage{ifthen}
+\usepackage[]{mathtools}
+\usepackage[]{mathbbol}
+\usepackage{multicol}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage[hidelinks]{hyperref}
+\usepackage[]{circuitikz}
+\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
+\usetikzlibrary{circuits.logic.IEC}
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+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tkz-graph}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{setspace}
+\usepackage{letltxmacro}
+\usepackage{wrapfig}
+
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}
+
+\newcommand{\bpf}[1]{%
+	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
+	\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
+	\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
+}
+
+
+
+\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
+\renewcommand{\figurename}{Grafik}
+\renewcommand{\partname}{Teil}
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
+
+\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}
+
+% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
+\newcounter{commoncounter}[subsection]
+\renewcommand{\thecommoncounter}{\thesection.\arabic{commoncounter}}
+
+\usepackage{xparse}
+
+\newcommand{\answer}[1]{%
+	\ifhmode\newline\newline\fi
+	\foreach \n in {1,...,#1}{\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\vspace{1em}}
+}
+
+
+\newcommand{\currentsection}{}
+\newcommand{\currentsubsection}{}
+
+\LetLtxMacro{\oldsection}{\section}
+\LetLtxMacro{\oldsubsection}{\subsection}
+
+\RenewDocumentCommand{\section}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
+	{ \oldsection*{#3} }% Stern-Variante → unverändert
+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsection[#2]{#3} }% Optionales TOC-Argument
+		{ \oldsection{#3} }%
+		\renewcommand{\currentsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+\RenewDocumentCommand{\subsection}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
+	{ \oldsubsection*{#3} }%
+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsubsection[#2]{#3} }%
+		{ \oldsubsection{#3} }%
+		\renewcommand{\currentsubsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+
+
+% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
+\AtBeginDocument{\setcounter{commoncounter}{0}}
+
+% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
+\newtcolorbox{definitionbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Definition \thecommoncounter: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!darkgrey,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
+%	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Zusatzaufgabe: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{merkbox}[1][]{
+	title={Merken: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+
+
+\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\definecolor{codeblue}{rgb}{0,0,0.8}
+\definecolor{codered}{rgb}{0.8,0,0}
+\definecolor{lightgray}{rgb}{0.95,0.95,0.95}
+
+\lstdefinestyle{CStyle}{
+	language=C,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
+	keywordstyle=\color{blue}\bfseries, % Schlüsselwörter fett und blau
+	stringstyle=\color{red}, % Strings rot
+	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
+	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
+	numbers=left, % Zeilennummern links
+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
+	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
+	captionpos=below,
+	showstringspaces=false,
+	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
+}
+
+
+\lstdefinestyle{ShellStyle}{
+	language=Bash,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
+	keywordstyle=\color{black}, % Schlüsselwörter fett und blau
+	stringstyle=\color{black}, % Strings rot
+	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
+	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
+	numbers=left, % Zeilennummern links
+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
+	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
+	captionpos=below,
+	showstringspaces=false,
+	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
+}
+
+%Für Python Code
+\lstdefinestyle{PythonStyle}{
+	language=Python,
+	basicstyle=\ttfamily\small,
+	keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
+	commentstyle=\color{green!60!black},
+	stringstyle=\color{red},
+	numbers=left,
+	numberstyle=\tiny\color{gray},
+	stepnumber=1,
+	numbersep=10pt,
+	backgroundcolor=\color{gray!5},
+	frame=single,
+	rulecolor=\color{black!30},
+	breaklines=true,
+	showstringspaces=false,
+	tabsize=4
+}
+
+
+% Umgebung für Listings mit Titel und Zähler
+\newenvironment{codeexample}[1][]{
+	\refstepcounter{commoncounter} % Zähler erhöhen
+	\lstset{
+		style=CSharpStyle,
+		caption={Listing \thecommoncounter: #1}, % Titel mit Zähler
+		label={listing:\thecommoncounter}
+	}
+}{}
+
+\makeatletter
+% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
+\let\c@subsubsection\c@commoncounter
+
+% Anzeige der Nummer angleichen
+\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
+\makeatother
+
+\setlength{\parindent}{0pt}
+
+
+
+\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
+\newcommand{\curtitle}{Galton x Pascal}
+
+\title{\curtitle}
+\author{Fierke, Janik, Weidlich}
+\pagestyle{scrheadings}
+\date{\curdate}
+\begin{document}
+	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
+	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
+	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
+	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
+	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
+	
+	\section{\curtitle}
+	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
+	\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
+		Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen:
+		\[
+		\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
+		\]
+	\end{definitionbox}
+	
+	
+	Zum Warmwerden berechnen wir:
+	\begin{multicols}{3}
+		$\binom{3}{0}=1$ \\\\
+		$\binom{3}{3}=1$ \\\\
+		$\binom{7}{3}=35$ \\\\
+		
+		$\binom{5}{0}=1$ \\\\
+		$\binom{5}{5}=1$ \\\\
+		$\binom{4}{2}=6$ \\\\
+		
+		$\binom{n}{0}=1$  { }für $n\in\mathbb{N}$\\\\		
+		$\binom{n}{n}=1$  { }für $n\in\mathbb{N}$\\\\
+		
+	\end{multicols}
+	
+	\begin{enumerate}
+		
+		\item Berechne nun nach folgender Regel:
+		\begin{center}
+			\textit{Die Summe des Steins ist die Summe der darüberliegenden Steine. }
+		\end{center}
+		\begin{figure}[!ht]
+			\centering
+			\begin{circuitikz}[x=0.8cm,y=0.8cm]
+				
+				% oberste Reihe
+				\draw[dashed,gray!60] (8.875,16.25) rectangle (10.25,14.875);
+				\node[text=gray!60] at (9.55,15.5625) {0};
+				
+				\draw (10.25,16.25) rectangle (13,14.875);
+				\node[anchor=center] at (11.6,15.5625) {1};
+				
+				\draw[dashed,gray!60] (13,16.25) rectangle (14.375,14.875);
+				\node[text=gray!60] at (13.75,15.5625) {0};
+				
+				% zweite Reihe
+				\draw[dashed,gray!60] (7.5,14.875) rectangle (8.875,13.5);
+				\node[text=gray!60] at (8.175,14.1875) {0};
+				
+				\draw (8.875,14.875) rectangle (11.625,13.5);
+				\node[anchor=center] at (10.25,14.1875) {1};
+				
+				\draw (11.625,14.875) rectangle (14.375,13.5);
+				\node[anchor=center] at (13,14.1875) {1};
+				
+				\draw[dashed,gray!60] (14.375,14.875) rectangle (15.75,13.5);
+				\node[text=gray!60] at (15,14.1875) {0};
+				
+				% dritte Reihe
+				\draw[dashed,gray!60] (6.125,13.5) rectangle (7.5,12.125);
+				\node[text=gray!60] at (6.8,12.8125) {0};
+				
+				\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
+				\node[anchor=center] at (8.875,12.8125) {1};
+				
+				\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
+				\node[anchor=center] at (11.625,12.8125) {2};
+				
+				\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
+				\node[anchor=center] at (14.375,12.8125) {1};
+				
+				\draw[dashed,gray!60] (15.75,13.5) rectangle (17.125,12.125);
+				\node[text=gray!60] at (16.375,12.8125) {0};
+				
+				% unterste Reihe
+				\draw[dashed,gray!60] (4.75,12.125) rectangle (6.125,10.75);
+				\node[text=gray!60] at (5.425,11.4375) {0};
+				
+				\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
+				\node[anchor=center] at (7.5,11.4375) {1};
+				
+				\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
+				\node[anchor=center] at (10.25,11.4375) {3};
+				
+				\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
+				\node[anchor=center] at (13,11.4375) {3};
+				
+				\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
+				\node[anchor=center] at (15.75,11.4375) {1};
+				
+				\draw[dashed,gray!60] (17.125,12.125) rectangle (18.5,10.75);
+				\node[text=gray!60] at (17.875,11.4375) {0};
+				
+			\end{circuitikz}
+		\end{figure}
+		
+		\item Berechne die Steine der Pyramide:
+			\begin{figure}[!ht]
+				\centering
+				\begin{circuitikz}[x=0.8cm,y=0.8cm]
+					
+					\draw (10.25,16.25) rectangle (13,14.875);
+					\node at (11.75,15.5625) {$\binom{0}{0}=1$};
+					
+					\draw (8.875,14.875) rectangle (11.625,13.5);
+					\node at (10.25,14.1875) {$\binom{1}{0}=1$};
+					
+					\draw (11.625,14.875) rectangle (14.375,13.5);
+					\node at (13,14.1875) {$\binom{1}{1}=1$};
+					
+					\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
+					\node at (11.75,12.8125) {$\binom{2}{1}=2$};
+					
+					\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
+					\node at (8.875,12.8125) {$\binom{2}{0}=1$};
+					
+					\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
+					\node at (14.375,12.8125) {$\binom{2}{2}=1$};
+					
+					\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
+					\node at (13,11.4375) {$\binom{3}{2}=3$};
+					
+					\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
+					\node at (10.25,11.4375) {$\binom{3}{1}=3$};
+					
+					\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
+					\node at (7.5,11.4375) {$\binom{3}{0}=1$};
+					
+					\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
+					\node at (15.75,11.4375) {$\binom{3}{3}=1$};
+				\end{circuitikz}
+			\end{figure}
+	\end{enumerate}
+	\begin{extrataskbox}
+		Entwirf einen Computeralgorithmus, der den Binomialkoeffizienten berechnet, ohne dass dieser die Fakultät benutzt!
+	\end{extrataskbox}
+	\begin{lstlisting}[style=PythonStyle]
+		def binomialCoefficient(n,k):
+			if k == n: return 1
+			elif K == 0: return 1
+			else: return binomialCoefficient(n-1,k-1) + binomialCoefficient(n-1,k)
+	\end{lstlisting}
+	
+	\noindent
+	\begin{minipage}[t]{0.62\textwidth}\vspace{0pt}
+		\begin{definitionbox}[Galtonbrett]
+			Das \textbf{Galtonbrett} ist ein mechanisches Demonstrationsgerät aus der Stochstik, bei welchem kleine Kugeln auf horizontal und dreieckig angeordnete Stäbchen fallen gelassen wird (hier zweidimenional von vorne dargestellt). Bei jedem Aufprall auf ein Stäbchen teilt sich ihr Weg: entweder nach links, oder nach rechts.	
+		\end{definitionbox}
+	\end{minipage}
+    \hfill
+	\begin{minipage}[t]{0.33\textwidth}\vspace{0pt}
+		\centering
+		\includegraphics[width=0.8\linewidth]{galtonbrett}
+		\captionof{figure}{}
+		\label{fig:galtonbrett}
+	\end{minipage}
+
+	\begin{enumerate}
+		\setcounter{enumi}{2}
+		\item Zeichne in das Galtonbrett alle Wege ein, die eine Murmel nehmen kann, wenn sie auf den obersten Stab fallen gelassen wird. Inwiefern unterscheiden sich beide Galtonbretter?\\
+		\begin{multicols}{2}
+			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+				% Definition der Reihen
+				\def\rows{3}
+				
+				% Zähler für die Beschriftung
+				\newcounter{labelcount}
+				
+				% Fächer (Bins) am unteren Ende basierend auf der Reihenanzahl
+				\foreach \i in {0,...,\rows} {
+					\pgfmathsetmacro{\xpos}{\i * 2 - \rows}
+					\draw[thick] (\xpos - 0.4, -\rows - 1.5) rectangle (\xpos + 0.4, -\rows - 0.2);
+					\node at (\xpos, -\rows - 1.8) {\i};
+				}
+				
+				% Dreieckiges Nagelbrett
+				\foreach \y in {0,...,\rows} {
+					\foreach \x in {0,...,\y} {
+						\pgfmathsetmacro{\coordx}{2 * \x - \y}
+						
+						% Nagel zeichnen
+						% Nagel nur bis zur vorletzten Reihe zeichnen
+						\ifnum \y < \rows
+						\filldraw[black] (\coordx, -\y) circle (2.5pt);
+						
+						% Erste fünf Nägel mit a,b,c,d,e beschriften
+						%\stepcounter{labelcount}
+						%\ifnum\value{labelcount}<11
+						%\node[anchor=south east] at (\coordx-0.16,-\y-0.3)
+						%{\alph{labelcount}};
+						%\fi
+						\fi
+						
+						%Wege nach unten zeichnen (auch von der letzten Reihe aus nicht nötig,
+						%daher weiterhin nur bis zur vorletzten Reihe)
+						\ifnum \y < \rows
+						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- node[above left] {l} (\coordx - 1, -\y - 1);
+						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- node[above right] {r} (\coordx + 1, -\y - 1);
+						\fi
+					}
+				}
+			\end{tikzpicture}
+			
+			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+				% Definition der Reihen
+				\def\rows{4}
+				
+				% Zähler für die Beschriftung
+				\newcounter{labelcountzwo}
+				
+				% Fächer (Bins) am unteren Ende basierend auf der Reihenanzahl
+				\foreach \i in {0,...,\rows} {
+					\pgfmathsetmacro{\xpos}{\i * 2 - \rows}
+					\draw[thick] (\xpos - 0.4, -\rows - 1.5) rectangle (\xpos + 0.4, -\rows - 0.2);
+					\node at (\xpos, -\rows - 1.8) {\i};
+				}
+				
+				% Dreieckiges Nagelbrett
+				\foreach \y in {0,...,\rows} {
+					\foreach \x in {0,...,\y} {
+						\pgfmathsetmacro{\coordx}{2 * \x - \y}
+						
+						% Nagel zeichnen
+						% Nagel nur bis zur vorletzten Reihe zeichnen
+						\ifnum \y < \rows
+						\filldraw[black] (\coordx, -\y) circle (2.5pt);
+						
+						% Erste fünf Nägel mit a,b,c,d,e beschriften
+						%\stepcounter{labelcountzwo}
+						%\ifnum\value{labelcountzwo}<11
+						%\node[anchor=south east] at (\coordx-0.16,-\y-0.3)
+						%{\alph{labelcountzwo}};
+						%\fi
+						\fi
+						
+						% Wege nach unten zeichnen (auch von der letzten Reihe aus nicht nötig,
+						% daher weiterhin nur bis zur vorletzten Reihe)
+						\ifnum \y < \rows
+						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- node[above left] {l} (\coordx - 1, -\y - 1);
+						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- node[above right] {r} (\coordx + 1, -\y - 1);
+						\fi
+					}
+				}
+			\end{tikzpicture}
+		\end{multicols}
+		
+		\item Zähle nun die verschiedenen Pfade, die eine Murmel nehmen kann, sodass sie in den darunterliegenden Fächern landet.
+		\scriptsize(Hinweis: Nutze die Beschreibung, dass eine Kugel immer nur  nach rechts (r) oder links (l) fallen kann und schreibe das in Mengenschreibweise, sodass du keinen Pfad vergisst.) \normalsize \\
+		Bsp: Fach 0: $A_0=\{(L,L,L)\} \Rightarrow \text{Pfade}_0=|A_0|=2$
+		\begin{flalign*}
+			&\text{Fach 1: } A_2 = \{(l,l,r), (l,r,l), (r,l,l)\} \implies \text{Pfade}_2 = |A_2| = 3 \\
+			&\text{Fach 2: } A_3 = \{(l,r,r), (r,l,r), (r,r,l)\} \implies \text{Pfade}_3 = |A_3| = 3 \\
+			&\text{Fach 3: } A_4 = \{(r,r,r)\} \implies \text{Pfade}_4 = |A_4| = 1 \\[10pt]
+			&\text{Fach 0: } B_1 = \{(l,l,l,l)\} \implies \text{Pfade}_1 = |B_1| = 1 \\
+			&\text{Fach 1: } B_2 = \{(l,l,l,r), (l,l,r,l), (l,r,l,l), (r,l,l,l)\} \implies \text{Pfade}_2 = |B_2| = 4 \\
+			&\text{Fach 2: } B_3 = \{(l,l,r,r), (l,r,l,r), (l,r,r,l), (r,l,l,r), (r,l,r,l), (r,r,l,l)\} \implies \text{Pfade}_3 = |B_3| = 6 \\
+			&\text{Fach 3: } B_4 = \{(l,r,r,r), (r,l,r,r), (r,r,l,r), (r,r,r,l)\} \implies \text{Pfade}_4 = |B_4| = 4 \\
+			&\text{Fach 4: } B_5 = \{(r,r,r,r)\} \implies \text{Pfade}_5 = |B_5| = 1
+		\end{flalign*}
+		
+		\item Dir ist sicherlich schon aufgefallen, dass die meisten Pfade in die Mitte führen. Untersuche nun die Anzahl der Pfade zu jedem der Stäbchen und vergleiche diese mit dem Pascalschen Dreieck. Was fällt dir auf? \\
+		
+		Die Anzahl, die zu den jeweiligen Stäbchen führen, entspricht genau der Anzahl aus dem Pascalschen Dreieck. 
+		
+		\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariabel $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?\\
+		\[
+			\binom{Ebenen}{k}\cdot (0.5)^{Ebenen}
+		\]
+	\end{enumerate}
+	
+	\label{LastPage}
+\end{document}

material/ab2.tex

@@ -0,0 +1,289 @@
+\documentclass[a4paper]{article}
+\usepackage{array}
+\usepackage{adjustbox}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{caption}
+\usepackage[headsepline, footsepline]{scrlayer-scrpage}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{dsfont}
+\usepackage{float}
+\usepackage{ifthen}
+\usepackage[]{mathtools}
+\usepackage[]{mathbbol}
+\usepackage{multicol}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage[hidelinks]{hyperref}
+\usepackage[]{circuitikz}
+\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
+\usetikzlibrary{circuits.logic.IEC}
+\usepackage{tabularray}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tkz-graph}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{setspace}
+\usepackage{letltxmacro}
+\usepackage{wrapfig}
+
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}
+
+\newcommand{\bpf}[1]{%
+	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
+	\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
+	\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
+}
+
+
+
+\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
+\renewcommand{\figurename}{Grafik}
+\renewcommand{\partname}{Teil}
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
+
+\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}
+
+% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
+\newcounter{commoncounter}[subsection]
+\renewcommand{\thecommoncounter}{\thesection.\arabic{commoncounter}}
+
+\usepackage{xparse}
+
+\newcommand{\answer}[1]{%
+	\ifhmode\newline\newline\fi
+	\foreach \n in {1,...,#1}{\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\vspace{1em}}
+}
+
+
+\newcommand{\currentsection}{}
+\newcommand{\currentsubsection}{}
+
+\LetLtxMacro{\oldsection}{\section}
+\LetLtxMacro{\oldsubsection}{\subsection}
+
+\RenewDocumentCommand{\section}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
+	{ \oldsection*{#3} }% Stern-Variante → unverändert
+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsection[#2]{#3} }% Optionales TOC-Argument
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+		\renewcommand{\currentsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+\RenewDocumentCommand{\subsection}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
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+	}%
+}
+
+
+
+% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
+\AtBeginDocument{\setcounter{commoncounter}{0}}
+
+% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
+\newtcolorbox{definitionbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Definition \thecommoncounter: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!darkgrey,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{satzbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Satz \thecommoncounter: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!yellow,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Zusatzaufgabe: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{merkbox}[1][]{
+	title={Merken: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
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+
+
+
+\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
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+
+\lstdefinestyle{CStyle}{
+	language=C,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
+	keywordstyle=\color{blue}\bfseries, % Schlüsselwörter fett und blau
+	stringstyle=\color{red}, % Strings rot
+	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
+	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
+	numbers=left, % Zeilennummern links
+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
+	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
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+}
+
+
+\lstdefinestyle{ShellStyle}{
+	language=Bash,
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+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
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+}
+
+
+% Umgebung für Listings mit Titel und Zähler
+\newenvironment{codeexample}[1][]{
+	\refstepcounter{commoncounter} % Zähler erhöhen
+	\lstset{
+		style=CSharpStyle,
+		caption={Listing \thecommoncounter: #1}, % Titel mit Zähler
+		label={listing:\thecommoncounter}
+	}
+}{}
+
+\makeatletter
+% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
+\let\c@subsubsection\c@commoncounter
+
+% Anzeige der Nummer angleichen
+\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
+\makeatother
+
+\setlength{\parindent}{0pt}
+
+
+
+\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
+\newcommand{\curtitle}{Galton x Plinko}
+
+\title{\curtitle}
+\author{Fierke, Janik, Weidlich}
+\pagestyle{scrheadings}
+\date{\curdate}
+\begin{document}
+	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
+	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
+	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
+	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
+	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
+	
+	\setcounter{section}{1}
+	\section{\curtitle}
+	
+	{
+		\begin{wrapfigure}{r}{0.2\textwidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=0.7\linewidth]{eurox2.png}
+			
+		\end{wrapfigure}
+		
+		Plinko ist ein Glücksspiel aus den 1980er Jahren. Hierbei lässt man einen Ball von oben auf Stäbchen fallen, die wie eine Pyramide angeordnet sind. Ganz unten gibt es Fächer, bei denen der eingesetzte Geldbetrag abhängig vom Fach mit einem bestimmten Faktor multipliziert wird.
+
+		\begin{enumerate}
+			
+			\item Probiert dich auf der Webseite {\color{blue}\hyperref{https://plinko-web-game.netlify.app/}{}{}{plinko-web-game.netlify.app}} einmal aus! 
+			
+
+		\end{enumerate}
+	}
+	
+	\begin{enumerate}
+		\setcounter{enumi}{1}
+		\item Stell eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Multiplikatoren liegen.
+		\answer{4}
+		
+		\item Stelle eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Multiplikatoren liegen.
+		\answer{4}
+		
+		\item Stelle eine Vermutung auf, wieso an den Rändern aller Fächer die größten Multiplikatoren liegen.
+		\answer{4}
+		
+		\item Stelle Vermutungen auf, ob man auf lange Sicht gewinnt oder verliert. 
+		\answer{4}
+	\end{enumerate}
+	\newpage
+	
+	\section{Galton x Plinko Teil 2}
+	Mit dem Wissen über das Galtonbrett und seine Verteilung können wir nun fundierte Schlüsse über Plinko ziehen. Website: \url{https://plinko-web-game.netlify.app/}
+	\begin{enumerate}[itemsep=11pt]
+		\item Bestimme die Wahrscheinlichkeit, die eine Kugel in Plinko hat, dass Sie nach links oder Rechts hüpft? \hrulefill
+		\item Nenne die Anzahl der Ebenen in Plinko. \small(Hinweis: beginne bei 0 an zu zählen) \normalsize
+		\hrulefill
+		\item Gib die Anzahl an Faktoren (Fächern) an. \hrulefill
+		\item Gib nun eine Formel an, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine Kugel im Fach $k$ landet. \small (Hinweis: Galton x Pascal) \normalsize \hrulefill
+		\item Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
+		\begin{enumerate}[label=\alph*),itemsep=11pt]
+			\item Die Kugel landet beim Multiplikator $0,3 \times$. \hrulefill
+			\item Eine Kugel holt ihren gesetzten Betrag exakt wieder rein. \hrulefill
+			\item Eine Kugel landet in einem der beiden höchsten Multiplikatoren. \hrulefill
+		\end{enumerate}
+		\item Bestimme den Erwartungswert, wenn der Einsatz immer 1\$ ist.
+		\answer{3}
+		\item Überprüfe die These: "\textit{Je höher mein Einsatz ist, desto mehr bekomme ich raus.}".
+		\answer{3}
+
+	\end{enumerate}
+
+	
+	\label{LastPage}
+\end{document}

material/ab2_Lös.tex

@@ -0,0 +1,293 @@
+\documentclass[a4paper]{article}
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+\usepackage[hidelinks]{hyperref}
+\usepackage[]{circuitikz}
+\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
+\usetikzlibrary{circuits.logic.IEC}
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+\usepackage{listings}
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+\usepackage{setspace}
+\usepackage{letltxmacro}
+\usepackage{wrapfig}
+
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}
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+\newcommand{\bpf}[1]{%
+	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
+	\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
+	\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
+}
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+
+\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
+\renewcommand{\figurename}{Grafik}
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+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
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+\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}
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+% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
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+\usepackage{xparse}
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+\newcommand{\answer}[1]{%
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+\newcommand{\currentsection}{}
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+\makeatletter
+% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
+\let\c@subsubsection\c@commoncounter
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+% Anzeige der Nummer angleichen
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+\setlength{\parindent}{0pt}
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+\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
+\newcommand{\curtitle}{Galton x Plinko}
+
+\title{\curtitle}
+\author{Fierke, Janik, Weidlich}
+\pagestyle{scrheadings}
+\date{\curdate}
+\begin{document}
+	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
+	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
+	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
+	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
+	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
+	
+	\setcounter{section}{1}
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+	
+	{
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+			
+		\end{wrapfigure}
+		
+		Plinko ist ein Glücksspiel aus den 1980er Jahren. Hierbei lässt man einen Ball von oben auf Stäbchen fallen, die wie eine Pyramide angeordnet sind. Ganz unten gibt es Fächer, bei denen der eingesetzte Geldbetrag abhängig vom Fach mit einem bestimmten Faktor multipliziert wird.
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+		\begin{enumerate}
+			
+			\item Probiert dich auf der Webseite {\color{blue}\hyperref{https://plinko-web-game.netlify.app/}{}{}{plinko-web-game.netlify.app}} einmal aus! 
+			
+			
+		\end{enumerate}
+	}
+	
+	\begin{enumerate}
+		\setcounter{enumi}{1}
+		\item Stell eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Faktoren liegen.\\
+		\textit{\color{olive}Weil in der Mitte die meisten Kugeln hinfallen werden.}\\
+		
+		\item Stell eine Vermutung auf, wieso die Faktoren an den Randfächern am größten sind.\\
+		\textit{\color{olive}Weil dort die wenigsten Kugeln hinfallen werden.}\\
+		
+		\item Argumentiere, wieso man auf lange Sicht verliert oder gewinnt.\\
+		\textit{\color{olive}individuell}
+	\end{enumerate}
+	
+	Mit dem Wissen über das Galtonbrett und seine Verteilung können wir nun fundierte Schlüsse über Plinko ziehen:
+	\begin{enumerate}[itemsep=11pt]
+		\setcounter{enumi}{4}
+		\item Die Wahrscheinlichkeit mit der eine Kugel in Plinko nach links bzw. rechts hüpft ist \textit{\color{olive}50\%}
+		\item Nenne die Anzahl der Ebenen in Plinko. \textit{\color{olive}16}
+		\item Gib die Anzahl an Faktoren (Fächern) an. \textit{\color{olive}17}
+		\item Gib nun eine Zufallsvariable $X\sim \text{Bin}_{n,p}$ an.\\ \textit{\color{olive}$X\sim\text{Bin}_{16,0,5}$ mit $\mathbb{P}(X=k)=\binom{16}{k}\cdot 0.5^{16}$, wobei $k=\{0,\dots,16\}$}
+		\item Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
+		\begin{enumerate}[label=\alph*),itemsep=11pt]
+			\item Die Kugel landet beim Multiplikator $0,3x$. \textit{\color{olive}Faktor $0,3x$  entspricht dem Fach 8.\\
+			$\mathbb{P}(X=8)=\binom{16}{8}\cdot 0.5^{16}=0.196380615234375\approx19,6\%$}
+			\item Eine Kugel holt ihren gesetzten Betrag exakt wieder rein. \textit{\color{olive}Die Kugel trifft ein Fach mit dem Faktor $1x$, also Fach 6 oder 10.\\
+			$\mathbb{P}(X=6)+\mathbb{P}(X=10)=\left(\binom{16}{6}+\binom{16}{10}\right)\cdot 0.5^{16}=0.244384765625\approx24,4\%$} 
+			\item Eine Kugel landet in einem der beiden höchsten Faktoren. \textit{\color{olive}Die Kugel trifft Fach 0 oder 16.\\$\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=16)=\left(\binom{16}{0}+\binom{16}{16}\right)\cdot 0.5^{16}=0.000030517578125\approx0,003\%$}
+			%			\item Zwei Kugeln holen mit Einsatz von je 1\$ einen Gewinn von gesamt 4\$. \hrulefill
+		\end{enumerate}
+		\item Bestimme den Erwartungswert, wenn der Einsatz immer 1\$ ist.
+		\textit{\color{olive}\begin{align*}
+				\mathbb{E}(X)&=110\$\cdot\mathbb{P}(X=0)+41\$\cdot\mathbb{P}(X=1)+\dots+41\$\cdot\mathbb{P}(X=15)+110\$\cdot\mathbb{P}(X=16)-1\$\\
+				&=-0.0101165771484375 
+		\end{align*}}
+		\item Überprüfe die These: "\textit{Je höher mein Einsatz ist, desto mehr bekomme ich raus.}".
+		\textit{\color{olive}Zum Einen ist die These richtig, da man bei einem Hauptgewinn mehr gewinnt, als wenn
+			man weniger gesetzt hätte. Man kann jedoch auch deutlich mehr verlieren. Unter
+			Betrachtung des Erwartungswertes werden die Auszahlungssummen gemäß des
+			Einsatzes mutlipliziert. Das heißt $k\cdot\mathbb{E}(X)$ wenn $k$ der Einsatz ist. Da $\mathbb{E}(X)<0\Rightarrow k\cdot\mathbb{E}(X)<\mathbb{E}(X)\text{ wenn }k>1$}
+		
+	\end{enumerate}
+	
+	
+	\label{LastPage}
+\end{document}

material/ab3.tex

@@ -0,0 +1,413 @@
+\documentclass[a4paper]{article}
+\usepackage{array}
+\usepackage{adjustbox}
+\usepackage{bm}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{caption}
+\usepackage[headsepline, footsepline]{scrlayer-scrpage}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{dsfont}
+\usepackage{float}
+\usepackage{ifthen}
+\usepackage[]{mathtools}
+\usepackage[]{mathbbol}
+\usepackage{multicol}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage[hidelinks]{hyperref}
+\usepackage[]{circuitikz}
+\usepackage{soul}
+\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
+\usetikzlibrary{circuits.logic.IEC}
+\usepackage{tabularray}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tkz-graph}
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{setspace}
+\usepackage{letltxmacro}
+\usepackage{wrapfig}
+
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}
+
+\newcommand{\bpf}[1]{%
+	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
+	\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
+	\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
+}
+
+
+
+\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
+\renewcommand{\figurename}{Grafik}
+\renewcommand{\partname}{Teil}
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
+
+\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}
+
+% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
+\newcounter{commoncounter}[subsection]
+\renewcommand{\thecommoncounter}{\thesection.\arabic{commoncounter}}
+
+\usepackage{xparse}
+
+\newcommand{\answer}[1]{%
+	\ifhmode\newline\newline\fi
+	\foreach \n in {1,...,#1}{\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\vspace{1em}}
+}
+
+
+\newcommand{\currentsection}{}
+\newcommand{\currentsubsection}{}
+
+\LetLtxMacro{\oldsection}{\section}
+\LetLtxMacro{\oldsubsection}{\subsection}
+
+\RenewDocumentCommand{\section}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
+	{ \oldsection*{#3} }% Stern-Variante → unverändert
+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsection[#2]{#3} }% Optionales TOC-Argument
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+		\renewcommand{\currentsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+\RenewDocumentCommand{\subsection}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
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+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsubsection[#2]{#3} }%
+		{ \oldsubsection{#3} }%
+		\renewcommand{\currentsubsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+
+
+% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
+\AtBeginDocument{\setcounter{commoncounter}{0}}
+
+% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
+\newtcolorbox{definitionbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Definition \thecommoncounter: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!darkgrey,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Zusatzaufgabe: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{merkbox}[1][]{
+	title={Merken: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\definecolor{SatzColor}{RGB}{66,133,244} 
+\newtcolorbox{satzbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Satz \thecommoncounter: #1},
+	colback=SatzColor!5,
+	colframe=white!75!SatzColor,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newcommand{\antwortbox}[1][4cm]{%
+	\raisebox{-0.4\height}{\fbox{\rule{0pt}{3em}\hspace{#1}}}%
+}
+
+\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\definecolor{codeblue}{rgb}{0,0,0.8}
+\definecolor{codered}{rgb}{0.8,0,0}
+\definecolor{lightgray}{rgb}{0.95,0.95,0.95}
+
+\lstdefinestyle{CStyle}{
+	language=C,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
+	keywordstyle=\color{blue}\bfseries, % Schlüsselwörter fett und blau
+	stringstyle=\color{red}, % Strings rot
+	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
+	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
+	numbers=left, % Zeilennummern links
+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
+	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
+	captionpos=below,
+	showstringspaces=false,
+	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
+}
+
+
+\lstdefinestyle{ShellStyle}{
+	language=Bash,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
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+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
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+	captionpos=below,
+	showstringspaces=false,
+	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
+}
+
+
+% Umgebung für Listings mit Titel und Zähler
+\newenvironment{codeexample}[1][]{
+	\refstepcounter{commoncounter} % Zähler erhöhen
+	\lstset{
+		style=CSharpStyle,
+		caption={Listing \thecommoncounter: #1}, % Titel mit Zähler
+		label={listing:\thecommoncounter}
+	}
+}{}
+
+\makeatletter
+% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
+\let\c@subsubsection\c@commoncounter
+
+% Anzeige der Nummer angleichen
+\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
+\makeatother
+
+\setlength{\parindent}{0pt}
+
+\sethlcolor{black!10} % Farbe des "Textmarkers"
+
+\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
+\newcommand{\curtitle}{Galton x LGS}
+
+\title{\curtitle}
+\author{Fierke, Janik, Weidlich}
+\pagestyle{scrheadings}
+\date{\curdate}
+\begin{document}
+	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
+	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
+	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
+	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
+	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
+	
+	\setcounter{section}{2}
+	\section{\curtitle}
+	Das Galtonbrett lässt sich wie folgt formal mathematisch formulieren:
+	\begin{definitionbox}[Modell des Galtonbretts]
+		Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
+		Der Fall einer Murmel durch ein Galtonbrett mit \hl{$\bm{n \in \mathbb{N}}$} Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei \hl{$\bm{X_i \in \{0, 1\}}$}.
+		Dabei beschreibt \hl{$\bm{X_i = 1}$} den Fall nach rechts in der $i$-ten Reihe und \hl{$\bm{X_i = 0}$} den Fall nach links. Die Wahrscheinlichkeit sei $P(X_i = 1) = p$ und $P(X_i = 0) = 1-p = q$. Bei einem symmetrischen Brett gilt $p = q = 0.5$.\\
+		Die Endposition der Murmel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[\colorbox{black!10}{$\displaystyle \bm{S_n=\sum_{i=1}^n X_i}$}\] Hierbei ist $S_n$ Binomialverteilt.
+	\end{definitionbox}
+	
+	\textbf{\underline{Aufgabe 1:}} Um die Definition genauer zu verstehten, ordne die in der Definition hervorgehobenen Teile den Folgenden Abbildungen des Galtonbrettes zu:
+	\begin{figure}[H]
+		\centering
+		% Erstes Bild
+		\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=\linewidth]{../images/AB3_Galton.png}
+			\caption{Darstellung des Galtonbretts nach Brünner (2025)}
+			\label{fig:galton}
+		\end{minipage}
+		\hfill
+		% Zweites Bild
+		\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=\linewidth]{../images/AB3_X.png}
+			\caption{Darstellung des Falls einer Murmel im Galtonbrett.}
+			\label{fig:galtonXi}
+		\end{minipage}
+	\end{figure}
+	\textbf{\underline{Aufgabe 2:}} Sobald sehr viele Murmeln durch das Galtonbrett gewandert sind, entsteht eine Verteilung, wie in Grafik 3 für ein symmetrisches Brett dargestellt wird.
+	\begin{enumerate}
+		\item Probiere das ganze selbst einmal auf folgender Website aus: \url{https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm}.\\ Was fällt dir auf? \\ \textit{Achtung: stelle p = 0,5 für ein symmetrisches Brett ein!}
+		\answer{1}
+		\item Recherchiere selbstständig und zeichne den Graphen der Dichtefunktion der Normalverteilung über die Verteilung des Galtonbrettes ein:
+		\begin{figure}[H]
+			\centering
+			\includegraphics[width=0.8\linewidth]{../images/AB3_GaltonVersuche.png}
+			\caption{Galtonbrett nach c.a. 7000 durchgefallenen Murmeln nach Brünner (2025)}
+		\end{figure}
+		\item Wiederhole oder Recherchiere selbstständig die Eigenschaften der Normalverteilung und Vergleiche diese mit der Binomialverteilung (die Verteilung des Galtonbrettes):
+		\begin{table}[H]
+			\centering
+			\begin{tabularx}{\textwidth}{|X|X|}
+				\hline
+				\centering\textbf{Normalverteilung} &
+				\centering\arraybackslash\textbf{Binomialverteilung} \\
+				\hline
+				\rule{0pt}{85pt} &
+				\rule{0pt}{85pt} \\
+				\hline
+			\end{tabularx}
+		\end{table}
+	\end{enumerate}
+	Wir wollen nun das schöne mathematische Phänomen, welches sich in Aufgabe 2.2 offenbart, genauer betrachten. Hierzu formulieren wir dies zuerst mathematisch formal sauber:
+	\begin{satzbox}[Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]
+		Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit. (Beispielsweise bei einem Galtonbrett)\\
+		Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Glockenkurve (Dichtefunktion der Normalverteilung) annähern:
+		\[
+			P(S_n=k) \sim f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k)
+		\]
+		wobei $\mathbb{E}(S_n)=\mu$, $Var(S_n)=\sigma ^2$ und $ z = \frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
+	\end{satzbox}
+	Diesen Satz wollen wir nun semiformal beweisen.\\
+	\textbf{\underline{Aufgabe 3:}} Fülle die Lücken im Beweis aus. Wenn du dir unsicher bist kannst du dir alle fehlenden Textbausteine auf dem Zusatzblatt ansehen.
+	\begin{enumerate}
+		\item Bevor wir den Satz beweisen, ist es wichtig, die Aussage zu verstehen. Formuliere die Kernaussage den Satzes kurz in eigenen Worten:
+			\answer{3}
+		\item Zuerst muss uns nochmal klar werden, was unser Ausgangspunkt und und das Ziel ist:\\
+				Ausgangspunkt: $P(S_n = k) = $ \antwortbox[6cm] \vspace{1em} \\
+				Ziel: $f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}=$ \antwortbox[6cm]
+		\item Wir wollen die Zähldichte der Binomialverteilung (diskrete Verteilung) mithilfe der Dichte einer einer stetige Verteilung approximieren. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der reellen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
+		
+		Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion (für $\Gamma(x+1)$) abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$ ein:
+		\begin{figure}[H]
+			\centering
+			\begin{tikzpicture}
+				\begin{axis}[
+					domain=0.1:4.5,
+					samples=300,
+					axis lines=middle,
+					xlabel={$x$},
+					ylabel={$y$},
+					xmin=0,
+					xmax=6,
+					ymin=0,
+					ymax=26,
+					grid=both,
+					legend pos=north east
+					]
+					\addplot[
+					blue,
+					thick
+					]
+					{sqrt(2*pi)*((x+1/2)^(x+1/2))*exp(-(x+1/2))};
+					\addlegendentry{$\Gamma(x+1)$}
+				\end{axis}
+			\end{tikzpicture}
+		\end{figure}
+		Mithilfe dieser Funktion lässt sich die Fakultät leicht approximieren. Diese Approximation nennt sich Stirling-Approximation und besagt:
+		\[
+			n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sim \Gamma(n+1)
+		\] %Stimmt das mit dem Gamma?
+		Setzen wir das in die Gleichung für $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir nach umstellen:
+		\[
+			P(S_n = k) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}
+		\]
+		\item Aus dieser Formel lässt sich nun leicht schon einmal der Vorfaktor der Glockenkurve erschließen. Hierzu und zu Vereinfachung weiterer Rechnungen standardisieren wir $S_n$. Dies entspricht auch einer einfachen Substitution und daher vollkommen legitim. Hierzu definieren wir:
+		\[
+			Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sigma(S_n)}
+		\]
+		nimmt $Z_n$ die folgenden Werte an:
+		\[
+			z= \antwortbox[6cm]
+		\]
+		Nach dem Umstellen nach $k$ und $n-k$ folgt dann:
+		\[
+			k= \antwortbox[6cm]
+		\]
+		\[
+			n-k= \antwortbox[6cm]
+		\]
+		Multiplizieren wir nun diese beiden Ausdrücke miteinander erhalten wir:
+		\[
+			k(n-k)= n^2pq + (nz\sqrt{nqp}(q-p)-z^2npq)
+		\]
+		Da wir uns nur für eine große Anzahl an Durchführungen also große $n$ ($n\rightarrow \infty$) interessieren, ist beobachtbar, dass für große n der lineare Teil kaum noch einen Einfluss auf den Term hat. Daher kann dieser in diesem Fall weggelassen werden. Daher gilt:
+		\[
+			k(n-k) \sim n^2pq
+		\]
+		Setzen wir dies nun in unsere diskrete Variante von $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir den passenden Vorfaktor:
+		\begin{align*}
+			P(S_n = k) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \\
+			&\sim \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
+			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
+			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
+			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k}
+		\end{align*}
+		\item Zum Schluss müssen wir noch die $e$-Funktion mit in die Gleichung bekommen. Das können wir machen, indem wir die Identität ausnutzen: $x = e^{ln(x)}$. Also gilt insbesondere, dass:
+		\[
+			 P(S_n=k)= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \Leftrightarrow e^{ln(P(S_n = k))} \sim e^{ln\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k}\right)}
+		\]
+		Beschreibe kurz, was genau die obere Gleichung aussagt und wieso wir einfach die $e$-Funktion und den (natürlichen)Logarithmus anwenden können!
+		\answer{3}
+		
+		Im Folgenden betrachten wir erst mal nur den Ausdruck im $ln()$ welchen wir mithilfe der Logarithmengesetze umformen können:
+		\[
+			\ln\left( \left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \right) = (-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)
+		\]
+		Nenne die Rechengesetze und Substitutionen, welche vermutlich für diese Umformung genutzt wurden!
+		\answer{3}
+		
+		Diese Darstellung des Termes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Taylor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
+		\[
+			ln(1-\alpha) \sim -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}
+		\]
+		\[
+			ln(1+\alpha) \sim \alpha-\frac{\alpha^2}{2}
+		\]
+		Mithilfe einiger Umformungen entfallen dadurch die sich ähnlich sehenden Terme, was zu folgendem, erstaunlichem, Resultat führt:
+		\[
+			(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \sim -\frac{z^2}{2}
+		\]
+		\begin{extrataskbox}
+			Rechne dieses Resultat nach!
+		\end{extrataskbox}
+		Setzen wir dieses Ergebnis nun wieder in unsere letzte Version von $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir das, was wir beweisen wollten:
+		\begin{align*}
+			P(S_n = k) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{z^2}{2}} \\
+			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
+			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
+			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
+			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}
+		\end{align*}
+		Daher nähert sich die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
+	\end{enumerate}
+	\label{LastPage}
+\end{document}

material/ab3_Lös.tex

@@ -0,0 +1,443 @@
+\documentclass[a4paper]{article}
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+\newcommand{\bpf}[1]{%
+	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
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+}
+
+
+
+\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
+\renewcommand{\figurename}{Grafik}
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+% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
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+
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+% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
+\AtBeginDocument{\setcounter{commoncounter}{0}}
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+% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
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+	title={Definition \thecommoncounter: #1},
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+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
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+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
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+
+\newtcolorbox{merkbox}[1][]{
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+	colback=white,
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+	after skip=10pt
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+
+\definecolor{SatzColor}{RGB}{66,133,244} 
+\newtcolorbox{satzbox}[1][]{
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+	title={Satz \thecommoncounter: #1},
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+
+\newcommand{\antwortbox}[1][4cm]{%
+	\raisebox{-0.4\height}{\fbox{\rule{0pt}{3em}\hspace{#1}}}%
+}
+
+\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
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+
+\lstdefinestyle{CStyle}{
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+	keywordstyle=\color{blue}\bfseries, % Schlüsselwörter fett und blau
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+
+
+\lstdefinestyle{ShellStyle}{
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+}
+
+
+% Umgebung für Listings mit Titel und Zähler
+\newenvironment{codeexample}[1][]{
+	\refstepcounter{commoncounter} % Zähler erhöhen
+	\lstset{
+		style=CSharpStyle,
+		caption={Listing \thecommoncounter: #1}, % Titel mit Zähler
+		label={listing:\thecommoncounter}
+	}
+}{}
+
+\makeatletter
+% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
+\let\c@subsubsection\c@commoncounter
+
+% Anzeige der Nummer angleichen
+\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
+\makeatother
+
+\setlength{\parindent}{0pt}
+
+\sethlcolor{black!10} % Farbe des "Textmarkers"
+
+\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
+\newcommand{\curtitle}{ZSG Movire-Laplace}
+
+\title{\curtitle}
+\author{Fierke, Janik, Weidlich}
+\pagestyle{scrheadings}
+\date{\curdate}
+\begin{document}
+	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
+	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
+	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
+	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
+	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
+	
+	\setcounter{section}{2}
+	\section{\curtitle}
+	Das Galtonbrett lässt sich wir folgt formal mathematisch formulieren:
+	\begin{definitionbox}[Modell des Galtonbretts]
+		Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
+		Der Fall einer Murmel durch ein Galtonbrett mit \hl{$\bm{n \in \mathbb{N}}$} Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei \hl{$\bm{X_i \in \{0, 1\}}$}.
+		Dabei beschreibt \hl{$\bm{X_i = 1}$} den Fall nach rechts in der $i$-ten Reihe und \hl{$\bm{X_i = 0}$} den Fall nach links. Die Wahrscheinlichkeit sei $P(X_i = 1) = p$ und $P(X_i = 0) = 1-p = q$. Bei einem symmetrischen Brett gilt $p = q = 0.5$.\\
+		Die Endposition der Murmel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[\colorbox{black!10}{$\displaystyle \bm{S_n=\sum_{i=1}^n X_i}$}\] Hierbei ist $S_n$ Binomialverteilt.
+	\end{definitionbox}
+	
+	\textbf{\underline{Aufgabe 1:}} Um die Definition genauer zu verstehten, ordne die in der Definition hervorgehobenen Teile den Folgenden Abbildungen des Galtonbrettes zu:
+	\begin{figure}[H]
+		\centering
+		% Erstes Bild
+		\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=\linewidth]{../images/AB3_Galton_L.png}
+			\caption{Darstellung des Galtonbretts nach Brünner (2025)}
+			\label{fig:galton}
+		\end{minipage}
+		\hfill
+		% Zweites Bild
+		\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=\linewidth]{../images/AB3_X_L.png}
+			\caption{Darstellung des Falls einer Murmel im Galtonbrett.}
+			\label{fig:galtonXi}
+		\end{minipage}
+	\end{figure}
+	\textbf{\underline{Aufgabe 2:}} Sobald sehr viele Murmeln durch das Galtonbrett gewandert sind, entsteht eine Verteilung, wie in Grafik 3 für ein symmetrisches Brett dargestellt wird.
+	\begin{enumerate}
+		\item Probiere das ganze selbst einmal auf folgender Website aus: \url{https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm}.\\ Was fällt dir auf? \\ \textit{Achtung: stelle p = 0,5 für ein symmetrisches Brett ein!}\\
+		Die Verteilung entspricht einer Binomialverteilung.
+		\item Recherchiere selbstständig und zeichne den Graphen der Normalverteilung über die Verteilung des Galtonbrettes ein:
+		\begin{figure}[H]
+			\centering
+			\includegraphics[width=0.8\linewidth]{../images/AB3_GaltonVersuche_L.png}
+			\caption{Galtonbrett nach c.a. 7000 durchgefallenen Murmeln nach Brünner (2025)}
+		\end{figure}
+		\item Wiederhole oder Recherchiere selbstständig die Eigenschaften der Normalverteilung und Vergleiche diese mit der Binomialverteilung (die Verteilung des Galtonbrettes):
+		\begin{table}[H]
+			\centering
+			\begin{tabularx}{\textwidth}{|X|X|}
+				\hline
+				\centering\textbf{Normalverteilung} &
+				\centering\arraybackslash\textbf{Binomialverteilung} \\
+				\hline
+				Stetig & Diskret \\
+				Parameter $\mu, \sigma$ & Parameter n, p\\
+				Glockenkurve & Histogramm \\
+				$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ & $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$\\
+				\hline
+			\end{tabularx}
+		\end{table}
+	\end{enumerate}
+	\vspace{4em}
+	Wir wollen nun das schöne mathematische Phänomen, welches sich in Aufgabe 2.2 offenbart, genauer betrachten. Hierzu formulieren wir dies zuerst mathematisch formal sauber:
+	\begin{satzbox}[Lokaler Grenzwertsatz von de Movire-Laplace]
+		Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit. (Beispielsweise bei einem Galtonbrett)\\
+		Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Glockenkurve (Dichtefunktion der Normalverteilung) annähern:
+		\[
+		P(S_n=k) \sim f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k)
+		\]
+		wobei $\mathbb{E}(S_n)=\mu$, $Var(S_n)=\sigma ^2$ und $ z = \frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
+	\end{satzbox}
+	Diesen Satz wollen wir nun Semi-Formal beweisen.\\
+	\textbf{\underline{Aufgabe 3:}} Fülle die Lücken im Beweis aus. Wenn du dir unsicher bist kannst du dir alle fehlenden Textbausteine auf dem Zusatzblatt ansehen.
+	\begin{enumerate}
+		\item Bevor wir den Satz beweisen, ist es wichtig, die Aussage zu verstehen. Formuliere die Kernaussage den Satzes kurz in eigenen Worten:\\
+		Die Binomialverteilung lässt sich mithilfe der Normalverteilung für eine hohe Anzahl an Durchführungen approximieren.
+		\vspace{3em}
+		\item Zuerst muss uns nochmal klar werden, was unser Ausgangspunkt und und das Ziel ist:
+		\vspace{3em}
+		Ausgangspunkt: $P(S_n = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$ \vspace{2em} \\
+		Ziel: $f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)}$ \vspace{3em}
+		\item Wir wollen die Zähldichte der Binomialverteilung (diskrete Verteilung) mithilfe der Dichte einer einer stetige Verteilung approximieren. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
+		
+		Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4\}$ ein:
+		\begin{figure}[H]
+			\centering
+			\begin{tikzpicture}
+				\begin{axis}[
+					domain=0.1:4.5,
+					samples=300,
+					axis lines=middle,
+					xlabel={$x$},
+					ylabel={$y$},
+					xmin=0,
+					xmax=5,
+					ymin=0,
+					ymax=26,
+					grid=both,
+					legend pos=north west 
+					]
+					
+					\addplot[
+					blue,
+					thick
+					]
+					{sqrt(2*pi)*((x+1/2)^(x+1/2))*exp(-(x+1/2))};
+					\addlegendentry{$\Gamma(x+1)$}
+					
+					\addplot[
+					only marks,
+					mark=*,
+					mark options={fill=red, draw=red, scale=1.2}
+					]
+					coordinates {
+						(0, 1)  
+						(1, 1)  
+						(2, 2)  
+						(3, 6)  
+						(4, 24)
+					};
+					\addlegendentry{Fakultät $x!$}
+					
+				\end{axis}
+			\end{tikzpicture}
+		\end{figure}
+		Mithilfe dieser Funktion lässt sich die Fakultät leicht approximieren. Diese Approximation nennt sich Sterling Approximation und besagt:
+		\[
+		n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sim \Gamma(n)
+		\]
+		Setzen wir das in die Gleichung für $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir nach umstellen:
+		\[
+		P(S_n = k) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}
+		\]
+		\item Aus dieser Formel lässt sich nun leicht schon einmal der Vorfaktor der Glockenkurve erschließen. Hierzu und zu Vereinfachung weiterer Rechnungen standardisieren wir $S_n$. Dies entspricht auch einer einfachen Substitution und daher vollkommen legitim. Hierzu definieren wir:
+		\[
+			Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sigma(S_n)}
+		\]
+		nimmt $Z_n$ die folgenden Werte an:
+		\[
+		z= \frac{k-np}{\sqrt{npq}}
+		\]
+		\vspace{3em}
+		Nach dem Umstellen nach $k$ und $n-k$ folgt dann:
+		\[
+		k= np + z\sqrt{npq}
+		\]
+		\vspace{3em}
+		\[
+		n-k= nq - z\sqrt{npq}
+		\]
+		\vspace{3em}
+		Multiplizieren wir nun diese beiden Ausdrücke miteinander erhalten wir:
+		\[
+		k(n-k)= n^2pq + (nz\sqrt{nqp}(q-p)-z^2npq)
+		\]
+		Da wir uns nur für eine große Anzahl an Durchführungen also große $n$ ($n\rightarrow \infty$) interessieren, ist beobachtbar, dass für große n der lineare Teil kaum noch einen Einfluss auf den Term hat. Daher kann dieser in diesem Fall weggelassen werden. Daher gilt:
+		\[
+		k(n-k) \sim n^2pq
+		\]
+		Setzen wir dies nun in unsere diskrete Variante von $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir den passenden Vorfaktor:
+		\begin{align*}
+			P(S_n = k) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \\
+			&\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{n^2pq}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \vspace{1em} \\
+			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{npq}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \\
+			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k}
+		\end{align*}
+		\item Zum Schluss müssen wir noch die $e$-Funktion mit in die Gleichung bekommen. Das können wir machen, indem wir die Identität ausnutzen: $x = e^{ln(x)}$. Also gilt insbesondere, dass:
+		\[
+		P(S_n=k)= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \Leftrightarrow e^{ln(P(S_n = k))} \sim e^{ln\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k}\right)}
+		\]
+		Beschreibe kurz, was genau die obere Gleichung aussagt und wieso wir einfach die $e$-Funktion und den (natürlichen)Logarithmus anwenden können!\\
+		Da $e(ln(x))=x$ können wir diese Identität auf beide Seiten der Gleichung anwenden, ohne das Ergebnis zu verändern. Der Logarithmus ist nur für $x>0$ definiert, das bereitet hier aber keine Probleme, da $0<P(S_n=k)<=1$ gilt (weil Binomialverteilung).
+		\newpage
+		\vspace{2em}
+		Im Folgenden betrachten wir erst mal nur den Ausdruck im $ln()$ welchen wir mithilfe der Logarithmengesetze umformen können:
+		\[
+		\ln\left( \left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \right) = (-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)
+		\]
+		Nenne die Rechengesetze und Substitutionen, welche vermutlich für diese Umformung genutzt wurden!\\
+		\[
+			ln(A\cdot B) = ln(A) + ln(B)
+		\]
+		\[
+			ln(A^x) = x\cdot ln(A)
+		\]
+		Sowie die Substitutionen von k und n-k.
+		\vspace{3em}
+		
+		Diese Darstellung des Thermes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Tailor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
+		\[
+		ln(1-\alpha) \sim -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}
+		\]
+		\[
+		ln(1+\alpha) \sim \alpha-\frac{\alpha^2}{2}
+		\]
+		Mithilfe einiger Umformungen zufallen dadurch die sich ähnlich sehenden Terme, was zu folgendem, erstaunlichem, Resultat führt:
+		\[
+		(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \sim -\frac{z^2}{2}
+		\]
+		\begin{extrataskbox}
+			Rechne dieses Resultat nach! Siehe Mathematischer Hintergrund.
+		\end{extrataskbox}
+		Setzen wir dieses Ergebnis nun wieder in unsere letzte Version von $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir das, was wir beweisen wollten:
+		\begin{align*}
+			P(S_n = k) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{z^2}{2}} \\
+			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right)^2}{2}} \vspace{1em} \\
+			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)} \vspace{1em} \\
+			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}
+		\end{align*}
+		Daher nährt sich die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
+	\end{enumerate}
+	\label{LastPage}
+\end{document}

material/ab3_Zusatzblatt.tex

@@ -0,0 +1,252 @@
+\documentclass[a4paper]{article}
+\usepackage{array}
+\usepackage{adjustbox}
+\usepackage{bm}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
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+\usepackage[headsepline, footsepline]{scrlayer-scrpage}
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+\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
+\usetikzlibrary{circuits.logic.IEC}
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+\usepackage{wrapfig}
+
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}
+
+\newcommand{\bpf}[1]{%
+	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
+	\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
+	\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
+}
+
+
+
+\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
+\renewcommand{\figurename}{Grafik}
+\renewcommand{\partname}{Teil}
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+
+\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}
+
+% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
+\newcounter{commoncounter}[subsection]
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+
+\usepackage{xparse}
+
+\newcommand{\answer}[1]{%
+	\ifhmode\newline\newline\fi
+	\foreach \n in {1,...,#1}{\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\vspace{1em}}
+}
+
+
+\newcommand{\currentsection}{}
+\newcommand{\currentsubsection}{}
+
+\LetLtxMacro{\oldsection}{\section}
+\LetLtxMacro{\oldsubsection}{\subsection}
+
+\RenewDocumentCommand{\section}{s o m}{%
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+
+
+% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
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+
+% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
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+	}%
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+
+\makeatletter
+% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
+\let\c@subsubsection\c@commoncounter
+
+% Anzeige der Nummer angleichen
+\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
+\makeatother
+
+\setlength{\parindent}{0pt}
+
+\sethlcolor{black!10} % Farbe des "Textmarkers"
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+\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
+\newcommand{\curtitle}{ZSG Movire Laplace}
+
+\title{\curtitle}
+\author{Fierke, Janik, Weidlich}
+\pagestyle{scrheadings}
+\date{\curdate}
+\begin{document}
+	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
+	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
+	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
+	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
+	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
+	
+	\section{\curtitle}
+	Dieses Dokument liefert die Textbausteine für Aufgabe 3 von dem Arbeitsblatt: ``ZSG Movire-Laplace''
+	\vspace{3em} \\
+	\schnipsel[6cm]{$\frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[6cm]{$\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[6cm]{$\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[6cm]{$np + z\sqrt{npq}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[6cm]{$nq - z\sqrt{npq}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[8cm]{$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{n^2pq}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[8cm]{$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{npq}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[8cm]{$\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right)^2}{2}}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[8cm]{$\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)}$}
+	\label{LastPage}
+\end{document}