fix: Nummerierung vereinheitlich

content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -318,7 +318,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 		=&\frac{2n+1}{2}\ln(\frac{n+1}{n})-1\\
 		=&(2n+1)\cdot\frac{1}{2}\ln\frac{1+\frac{1}{2n+1}}{1-\frac{1}{2n1}}-1
 	\end{align*}
-	Für $-1<x<1$ gilt allgemein
+	Wegen der Potenzreihenentwicklung des Logarithmus gilt für $-1<x<1$ gilt allgemein
 	\begin{align*}
 		\ln(1+x)&=\sum_{i=1}^{\infty}{(-1)^{i+1}\frac{x^i}{i}}\\
 		\ln(1-x)&=\sum_{i=1}^{\infty}{(-1)^{i+1}\frac{(-x)^i}{i}}\\
@@ -363,7 +363,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 		&\left(d_n-\frac{1}{12n}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)}\right)\\
 		<\quad0\quad<\quad&\left(d_n-\frac{1}{12n+1}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)+1}\right)
 	\end{align*}
-	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim d_n$.
+	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim_{n\rightarrow\infty} d_n$.
 	\begin{align*}
 		d_n-\frac{1}{12n}\quad&<\quad c\quad<\quad d_n-\frac{1}{12n+1}\\
 		c+\frac{1}{12n+1}\quad&<\quad d_n\quad<\quad c+\frac{1}{12n}
@@ -382,6 +382,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 		e^c e^{\frac{1}{12n+1}} &< n! \left(\frac{n}{e}\right)^{-n} n^{-\frac{1}{2}} < e^c e^{\frac{1}{12n}} \\
 		e^c \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\frac{1}{12n+1}} &< n! < e^c \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\frac{1}{12n}}
 	\end{align*}
+	Die Ungleichung bleibt aufgrund der Monotonie der $e$-Funktion bestehen.\\
 	Es bleibt zu zeigen, dass
 	\[
 		e^c=\sqrt{2\pi}
@@ -408,7 +409,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 	\begin{align*}
 		&& 0 &< x < \frac{\pi}{2} \\
 		&\Rightarrow & 0 &< \sin x < 1 \\
-		&\Rightarrow & \sin^{2n-1} x &> \sin^{2n} x > \sin^{2n+1} x \\
+		&\Rightarrow & \sin^{2n+1} x &< \sin^{2n} x < \sin^{2n-1} x \\
 		&\Rightarrow & I_{2n-1} &> I_{2n} > I_{2n+1} \\
 		&\Rightarrow & \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} &> \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} > 1 \\
 		&\Rightarrow & \frac{2n+1}{2n} &> \frac{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1) \cdot (2n+1)}{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n)} \cdot \frac{\pi}{2} > 1 \\
@@ -416,7 +417,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 		&\Rightarrow & \frac{\pi}{2} &= \lim \left( \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} \right)^2 \cdot \frac{1}{2n+1} \\
 		&& &= \lim \frac{2^{4n} (n!)^4}{((2n)!)^2 (2n+1)}
 	\end{align*}
-	Es ist also für $\lim_{n\rightarrow\infty}{\alpha_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\beta_n}=0$:
+	Es ist also für zwei gegen $0$ konvergierende Terme  $\lim_{n\rightarrow\infty}{\alpha_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\beta_n}=0$:
 	\begin{align*}
 		n!&=e^c\sqrt{n}n^ne^{-n}e^{\alpha_n}\\
 		(2n)!&=e^c\sqrt{2n}2^{2n}n^{2n}e^{-2n}e^{\beta_n}
@@ -542,7 +543,7 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
 	wobei das Lagrange-Restglied etwa $R_2(x)\sim O(x^3)$, denn
 	\begin{align*}
 		R_2(x)&=\frac{1}{(2+1)!}\cdot(\ln(1-\xi))^{(2+1)}\cdot(x-0)^{(2+1)}\\
-		&=-\frac{1}{3(1-\xi)^3}\cdot x^3\quad\text{für ein }\xi\in(0,x)&&\text{\cref{lem:dreimalableiten}}\\
+		&=-\frac{1}{3(1-\xi)^3}\cdot x^3\quad\text{für ein }\xi\in(0,x)\\
 	\end{align*}
 	wobei nach der Landau-Notation gilt: $a\cdot x^n+b\in O(x^n)$
 	\[

material/ab1.tex

@@ -240,6 +240,7 @@
 	\end{multicols}
 	
 	\begin{enumerate}
+		
 		\item Berechne nun nach folgender Regel:
 		\begin{center}
 			\textit{Die Summe des Steins ist die Summe der darüberliegenden Steine. }
@@ -356,6 +357,7 @@
 	\end{minipage}
 
 	\begin{enumerate}
+		\setcounter{enumi}{2}
 		\item Zeichne in das Galtonbrett alle Wege ein, die eine Murmel nehmen kann, wenn sie auf den obersten Stab fallen gelassen wird. Inwiefern unterscheiden sich beide Galtonbretter?\\
 		\begin{multicols}{2}
 			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]

material/ab2.tex

@@ -227,7 +227,8 @@
 	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
 	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
 	
-	\section[2]{\curtitle}
+	\setcounter{section}{1}
+	\section{\curtitle}
 	
 	{
 		\begin{wrapfigure}{r}{0.2\textwidth}
@@ -260,6 +261,7 @@
 	
 	Mit dem Wissen über das Galtonbrett und seine Verteilung können wir nun fundierte Schlüsse über Plinko ziehen:
 	\begin{enumerate}[itemsep=11pt]
+		\setcounter{enumi}{4}
 		\item Die Wahrscheinlichkeit mit der eine Kugel in Plinko nach links bzw. rechts hüpft ist \hrulefill
 		\item Nenne die Anzahl der Ebenen in Plinko. \hrulefill
 		\item Gib die Anzahl an Faktoren (Fächern) an. \hrulefill

material/ab3.tex

@@ -234,6 +234,7 @@
 	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
 	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
 	
+	\setcounter{section}{2}
 	\section{\curtitle}
 	Das Galtonbrett lässt sich wir folgt formal mathematisch formulieren:
 	\begin{definitionbox}[Modell des Galtonbretts]

material/ab3_Lös.tex

@@ -234,6 +234,7 @@
 	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
 	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
 	
+	\setcounter{section}{2}
 	\section{\curtitle}
 	Das Galtonbrett lässt sich wir folgt formal mathematisch formulieren:
 	\begin{definitionbox}[Modell des Galtonbretts]