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Dies ist der zentrale Teil des Dokuments und soll (inhaltlich) den größten Teil des Dokuments ausmachen.
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\subsection{Mathematischer Teil auf Hochsuchschulniveau}
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Das Galton-Brett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom Zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess als Binomialverteilung und Beweisen anschließend den Zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace.
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\begin{definition}[Modell des Galton Brett]{galton}
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Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
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Der Fall einer Kugel durch ein Galton-Brett mit $n \in \mathbb{N}$ Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei $X_i \in \{0, 1\}$.
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Dabei beschreibt \textbf{$X_i = 1$ den Fall nach rechts} in der $i$-ten Reihe und \textbf{$X_i = 0$ den Fall nach links}. Die Wahrscheinlichkeit sei $P(X_i = 1) = p$ und $P(X_i = 0) = 1-p = q$. Bei einem symmetrischen Brett gilt $p = q = 0.5$.
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\end{definition} %Bild?
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Hierbei ist anzumerken, dass jedes $X_i$ Bernoulliverteilt ist, da
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\[
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\Omega = \{1,0\} \quad \text{und} \quad
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P(X_i = x) =
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\begin{cases}
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p & \text{wenn } x=1\\
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1-p & \text{wenn } x=0
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\end{cases}
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\]
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Somit lässt sich auch $X_i \sim \mathcal{B}_{0,5}$ schreiben.\\
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Um jeden Ausgang des Galton-Brettes durchnummeriert von links nach rechts unterscheiden zu können, definieren wir uns eine weitere Zufallsvariable Sn wie folgt:
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\begin{definition}[Zufallsvariable $S_n$]{Sn}
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Die Endposition der Kugel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[S_n = \sum_{i=1}^n X_i\]
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\end{definition}
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Anschließend ist folgendes zu bemerken:
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\begin{satz}[Verteilung der Endposition]{satz:binomialverteilung}
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Die Zufallsvariable $S_n$, ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$.
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Daher gilt $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Nach \cref{def:galton} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulli-verteilten Zufallsexperimenten dar.
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%Ref Cosi
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Daraus folgt, dass das Galton-Brett mit der Zufallsvariable $S_n$ eine Binomialmodell darstellt und somit die Binomialverteilung nach Definition eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
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\end{proof}
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