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Reviewed-on: #4
versehentlich zwei commits für main auch hier 👀

content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -66,6 +66,65 @@ Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkenne
 
 
 % Teilsortiert:
+\subsection{Pascalsches Dreieck}
+Das Pascalsche Dreieck ist ein geometrisches Dreieck aus Zahlen, das sich unendlich nach unten fortsetzt und dabei die Binomialkoeffizienten repräsentiert.
+\begin{definition}[Binomialkoeffizienten]{binomialkoeffizienten}
+	Für $n\in\mathbb{N}_0$ und $k\in\{0,\dots,n\}$ definieren wir den \textbf{Binomialkoeffizienten}
+	\[
+		\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
+	\]
+	wobei die Zahl $\binom{n}{k}$ die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen menge genau $k$-Elemente auszuwählen, angibt.
+\end{definition}
+Aus dieser Definition entwickeln wir das Pascalsche Dreieck.
+\begin{definition}[Pascalsches Dreieck]{pascaldreieck}
+	Das \textbf{Pascalsche Dreieck} ist das unendliche Zahlenschema
+	\[
+		P=(p_{n,k})_{n\in\mathbb{N}_0,0\leq k\leq n}
+	\]
+	mit
+	\[
+		p_{n,k}=\binom{n}{k}
+	\]
+\end{definition}
+Die ersten Zeilen des Pascalschen Dreiecks lauten
+\[
+\begin{array}{ccccccccc}
+	&&&&1\\
+	&&&1&&1\\
+	&&1&&2&&1\\
+	&1&&3&&3&&1\\
+	1&&4&&6&&4&&1
+\end{array}
+\]
+\begin{satz}[Pascalsche Rekursion]
+	Für $n\geq1$ und $1\leq k\leq n-1$ gilt
+	\[
+		\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
+	\]
+\end{satz}
+\begin{bemerkung}
+	Diese Beziehung erklärt die Entstehung jeder inneren Zahl als Summe der beiden darüberliegenden Zahlen.
+\end{bemerkung}
+\begin{proof}
+	Sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Wähle $x\in M$ fest.
+	
+	Wir zählen die $k$-elementigen Teilmengen von M.
+	\begin{itemize}
+		\item Enthält eine Teilmenge das Element $x$, dann müssen noch $k-1$ Elemente aus den $n-1$ verbleibenden Elementen gewählt werden. Wir erhalten
+		\[
+			\binom{n-1}{k-1}
+		\]
+		\item Enthält eine Teilmenge das $x$ nicht, werden $k$ Elemente aus den verbleibenden $n-1$ Elementen gewählt, also
+		\[
+			\binom{n-1}{k}
+		\]
+	\end{itemize}
+	Aufrund der Disjunkteit beider Fälle und der Erfassung aller $k$-elementigen Teilmengen, folgt
+	\[
+		\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
+	\]
+\end{proof}
+
 \subsection{Taylor-Approximation}
 Um eine Taylorpproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist.
 \begin{lemma}{dreimalableiten}
@@ -214,6 +273,7 @@ Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
 \end{satz}
 
 \subsection{Stirling-Approximation}
+Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vorallem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
 \begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}
 	Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
 	\[