Ziel des Kapitels ist es, der Leserschaft auf einen Blick die zentralen Ideen zu präsentieren.
In dieser Arbeit widmen wir uns der mathematischen Formalisierung eines faszinierenden Phänomens: Wie verteilen sich zufällige Ereignisse, wenn sie sehr oft wiederholt werden? Als anschauliches Modell dient uns hierfür das Galtonbrett, bei dem Kugeln an Hindernissen zufällig nach links oder rechts fallen.
Beschreiben Sie hier also knapp die mathematische Fragestellung. Es soll klar der mathematische Rahmen umrissen werden und die Fragestellung in den größeren Kontext eingeordnet werden.
%Informell lautet unsere Fragestellung: Lässt sich das exakte, aber für große Zahlen unhandliche Zählverfahren der Kugelwege (Kombinatorik) durch eine einfachere, kontinuierliche Kurve beschreiben?
Falls es einen zentralen Satz gibt, der die Fragestellung beantwortet, dann kann dieser hier auch genannt werden (auch wenn er später nochmal auftaucht und bewiesen wird).
Der mathematische Rahmen bewegt sich dabei im Übergang von der diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie zur stetigen Analysis. Wir modellieren den Fall einer Kugel zunächst als Summe unabhängiger, identisch verteilter Bernoulli-Zufallsvariablen, was direkt zur Binomialverteilung führt. Da die direkten Berechnungen der Binomialkoeffizienten für eine große Anzahl an Reihen (für $n \to\infty$) aufgrund der Fakultäten extrem aufwendig werden, suchen wir nach einer asymptotischen Näherung. Außerdem ist es ein sehr schönes Resultat, dass aus einer Binomialverteilung eine Normalverteilung "entstehen" kann.
Ansonsten soll die Fragestellung zwar klar umrissen werden, aber eher informell beschrieben werden.
Den größeren Kontext bildet die Verknüpfung grundlegender mathematischer Werkzeuge, um genau dies zu beweisen. Wir greifen auf die \emph{Stirling-Approximation} (zur Näherung von Fakultäten) und die \emph{Taylor-Entwicklung} (zur Approximation von Logarithmen) zurück. Diese analytischen Werkzeuge schlagen die Brücke zwischen der diskreten Welt des Pascalschen Dreiecks und der kontinuierlichen Welt der Exponentialfunktion.
Das Herzstück der Arbeit und die formale Antwort auf unsere Fragestellung bildet der \emph{Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace}. Er besagt, dass sich die diskrete Binomialverteilung für große $n$ der stetigen Normalverteilung (der bekannten Gaußschen Glockenkurve) annähert.
Damit wird mathematisch präzise gezeigt, wie ein System aus einfachen, binären Entscheidungen (links oder rechts) bei ausreichend vielen Wiederholungen unweigerlich in ein universelles, kontinuierliches Verteilungsmodell mündet.
Das Galton-Brett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom Zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess als Binomialverteilung und Beweisen anschließend den Zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015}.
\begin{definition}[Modell des Galton Brett]{galton}{nach \cite[S. 252-253]{buchter_elementare_2005}}
Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
Der Fall einer Kugel durch ein Galton-Brett mit $n \in\mathbb{N}$ Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei $X_i \in\{0, 1\}$.
Das Galtonbrett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom Zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess mithilfe einer Binomialverteilung und Beweisen anschließend den zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015}.
\begin{definition}[Modell des Galtonbretts]{galton}{nach \cite[S. 252-253]{buchter_elementare_2005}}
Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Der Fall einer Kugel durch ein Galtonbrett mit $n \in\mathbb{N}$ Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei $X_i \in\{0, 1\}$.
Dabei beschreibt \textbf{$X_i =1$ den Fall nach rechts} in der $i$-ten Reihe und \textbf{$X_i =0$ den Fall nach links}. Die Wahrscheinlichkeit sei $P(X_i =1)= p$ und $P(X_i =0)=1-p = q$. Bei einem symmetrischen Brett gilt $p = q =0.5$.
\end{definition}%Bild?
\begin{figure}[htbp]
@@ -24,7 +25,10 @@ Das Galton-Brett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialv
\label{fig:galtonXi}
\end{minipage}
\end{figure}
Hierbei ist anzumerken, dass jedes $X_i$ Bernoulliverteilt ist, da
\begin{bemerkung}[$X_i$ Bernoulliverteilt]{XiB}
Hierbei ist anzumerken, dass jedes $X_i$ bernoulliverteilt ist.
\end{bemerkung}
Dies gilt, da
\[
\Omega=\{1,0\}\quad\text{und}\quad
P(X_i = x)=
@@ -33,12 +37,12 @@ Hierbei ist anzumerken, dass jedes $X_i$ Bernoulliverteilt ist, da
1-p &\text{wenn } x=0
\end{cases}
\]
Somit lässt sich auch $X_i \sim\mathcal{B}_{0,5}$ schreiben.\\
Um jeden Ausgang des Galton-Brettes durchnummeriert von links nach rechts unterscheiden zu können, definieren wir uns eine weitere Zufallsvariable Sn wie folgt:
Somit lässt sich auch $X_i \sim\mathcal{B}_{p}$ schreiben.\\
Um jeden Ausgang des Galtonbrettes durchnummeriert von links nach rechts unterscheiden zu können, definieren wir uns eine weitere Zufallsvariable $S_n$ wie folgt:
Die Endposition der Kugel im Fach $k \in\{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[S_n =\sum_{i=1}^n X_i\]
\end{definition}
Um diese Summierte Zufallsvariable genauer zu verstehen betrachten wir zuerst den Binomialkoeffizienten.
Um diese summierte Zufallsvariable genauer zu verstehen betrachten wir zuerst den Binomialkoeffizienten.
Für $n\in\mathbb{N}_0$ und $k\in\{0,\dots,n\}$ definieren wir den \textbf{Binomialkoeffizienten}
\[
@@ -46,7 +50,7 @@ Um diese Summierte Zufallsvariable genauer zu verstehen betrachten wir zuerst de
\]
wobei die Zahl $\binom{n}{k}$ die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen Menge genau $k$-Elemente auszuwählen, angibt.
\end{definition}
Betrachten wir nun den Binomialkoeffizienten in Bezug auf $S_n$, beschreibt dieser exakt die Anzahl der möglichen Pfade durch das Galton-Brett, bei denen die Kugel von $n$ Reihen genau $k$-mal nach rechts (und somit $(n-k)$-mal nach links) fällt. Da jeder dieser einzelnen Pfade aufgrund der Unabhängigkeit der Entscheidungen die Wahrscheinlichkeit $p^k (1-p)^{n-k}$ besitzt, ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Fach $k$ durch Multiplikation. Daher rührt die Binomialverteilung:
Betrachten wir nun den Binomialkoeffizienten in Bezug auf $S_n$, beschreibt dieser exakt die Anzahl der möglichen Pfade durch das Galtonbrett, bei denen die Kugel von $n$ Reihen genau $k$-mal nach rechts (und somit $(n-k)$-mal nach links) fällt. Da jeder dieser einzelnen Pfade aufgrund der Unabhängigkeit der Entscheidungen die Wahrscheinlichkeit $p^k (1-p)^{n-k}$ besitzt, ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Fach $k$ durch Multiplikation. Daher rührt die Binomialverteilung:
Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in[0,1]$$n$-mal, und interessiert sich nur für die Anzahl der erfolgreichen Experimente, so wählt man
\[
@@ -58,37 +62,46 @@ Betrachten wir nun den Binomialkoeffizienten in Bezug auf $S_n$, beschreibt dies
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Zähldichte $Bin_{n,p}(\{k\})$ auf $\{0,...,n\}$ heißt Binomialverteilung zu den Parametern $n, p$.
\end{definition}
Anschließend ist folgendes zu bemerken:
\begin{satz}[Verteilung der Endposition]{satz:binomialverteilung}
\begin{satz}[Verteilung der Endposition]{binomialverteilung}
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable $S_n$, lässt sich durch die Binomialverteilung beschreiben.\\
Daher gilt $S_n \sim\mathcal{B}in_{n,p}$
\end{satz}
\begin{proof}
Nach \cref{def:galton} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen $X_i \sim\mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulli-verteilten Zufallsexperimenten dar.
Daraus folgt, dass das Galton-Brett mit der Zufallsvariable $S_n$ eine Binomialmodell \cref{def:binModell} darstellt und somit die Binomialverteilung nach Definition eine Zähldichte definiert \cref{def:binZähldichte}. Daher gilt: $S_n \sim\mathcal{B}in_{n,p}$
Nach \cref{bem:XiB} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen $X_i \sim\mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulli-verteilten Zufallsexperimenten dar.
Daraus folgt, dass das Galtonbrett mit der Zufallsvariable $S_n$ eine Binomialmodell \cref{def:binModell} darstellt und somit die Binomialverteilung nach \cref{def:binZähldichte} eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim\mathcal{B}in_{n,p}$.
\end{proof}
Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung sehr aufwendig. An dieser Stelle greift der Zentrale Grenzwertsatz, der besagt, dass sich die Binomialverteilung für große $n$ der Normalverteilung annähert. Im Spezialfall der Binomialverteilung wird dies durch den Satz von Moivre-Laplace formalisiert \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015, statistik_verstehen_beweis_2019}.
\begin{satz}[Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{moivrelaplace}
Sei $S_n \sim\mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in(0, 1)$ und sei $q =1-p$. Für große $n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass $S_n$ genau den Wert $k$ annimmt, durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
Eine weitere in diesem Kontext interessante Verteilung ist die Normalverteilung.
und Parametern $\mu\in\mathbb{R}, \sigma > 0$, wobei $\mu$ den Erwartungswert und $\sigma^2$ die Varianz von X darstellt, so nennt man X \emph{Normalverteilt} und schreibt:
\[ x \sim\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\]
\end{definition}
Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der Fakultäten sehr aufwendig. An dieser Stelle greift der zentrale Grenzwertsatz, der besagt, dass sich die Binomialverteilung für große $n$ der Normalverteilung annähert. Für große $n$ lässt sich damit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (aufgrund der Standardisierung) deutlich leichter bestimmen. Des weiteren ist es mathematisch gesehen sehr schön zu sehen, wie eine relativ einfache diskrete Verteilung, wie die Binomialverteilung, mit einer mathematisch persé sehr anders aussehenden Verteilung zusammenhängt. Im Spezialfall der Binomialverteilung wird dies durch den Satz von Moivre-Laplace formalisiert \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015, statistik_verstehen_beweis_2019}.
\begin{satz}[Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{moivrelaplace}{nach \cite{kosenkova_stochastik_2025}}
Sei $S_n \sim\mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in(0, 1)$ und sei $q =1-p$. Für große $n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass $S_n$ den Wert $k \in\{x| x \in\mathbb{N}_0\land x \leq n\}$ annimmt, durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
wobei $\mathbb{E}(X)=\mu$, $Var(X)=\sigma^2$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
\end{satz}
\begin{proof}
Der Beweis folgt zum großen Teil dem Beweis von \cite{statistik_verstehen_beweis_2019} und wurde von den Autoren weiter konkretisiert.\\
Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$ sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese 3 Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der Folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.
Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$, sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese drei Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.
\textbf{1. Anwendung der Stirling-Formel:}\\
Wir beginnen mit der Definition der Binomialwahrscheinlichkeit:
\[
P(S_n = k)=\frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}
\]
Nach \cref{satz:stirlingformel} gilt für große Zahlen näherungsweise $n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung:
Nach \cref{satz:stirlingformel} gilt für große Zahlen näherungsweise $n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung:
@@ -96,47 +109,51 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung sehr aufwendi
Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
\begin{itemize}
\item[(\ref{eq1:e})] Hier heben sich die $e$-Potenzen heraus, da $\left(\frac{n}{e}\right)^n = n^n \cdot e^{-n}$ sowie $e^n /(e^k e^{n-k})=1$ gilt.
\item[(\ref{eq1:aufteilen})] Hier lässt sich die Gleichung intelligent aufteilen und etwas umstellen durch die Potenzgesetze, da gilt: $n^n = n^k \cdot n^{n-k}$ Außerdem lässt sich einmal $\sqrt{2\pi}$ Kürzen.
\item[(\ref{eq1:zusammenfassen})] Ist das Resultat nach dem Sortieren der Brüche anhand der Exponenten
\item[(\ref{eq1:aufteilen})] Hier lässt sich die Gleichung intelligent aufteilen und etwas umstellen durch die Potenzgesetze, da gilt: $n^n = n^k \cdot n^{n-k}$. Außerdem lässt sich einmal $\sqrt{2\pi}$ Kürzen.
\item[(\ref{eq1:zusammenfassen})] Ist das Resultat nach dem Sortieren der Brüche anhand der Exponenten.
\end{itemize}
\textbf{2. Substitution und Approximation der Wurzeln:}\\
Um das breiter werden der Verteilung und das Abwandern des Erwartungswertes zu verhindern standardisieren wir die Zufallsvariable, indem wir
In diesem Teil des Beweises werden O-Notationen verwendet und ein grundlegendes Verständnis dieser vorausgesetzt.\\
Um das Breiter werden der Verteilung und das Abwandern des Erwartungswertes zu verhindern standardisieren wir die Zufallsvariable, indem wir
Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
\begin{itemize}
\item[(\ref{eq3:einsetzen})] Formeln für $k$ und $n-k$ einsetzen
\item[(\ref{eq3:umstellen})] Distributivgesetz anwenden und nach Potenz von $n$ sortieren
\item[(\ref{eq3:absch})]$n^2$ geht für $n\rightarrow\infty$ schneller nach unendlich als die linearen Restterme. Folglich sind diese für die Abschätzung gegen unendlich vernachlässigbar.
\item[(\ref{eq3:einsetzen})] Die Formeln für $k$ und $n-k$ einsetzen.
\item[(\ref{eq3:umstellen})] Das Distributivgesetz anwenden und nach der Potenz von $n$ sortieren.
\item[(\ref{eq3:absch})]$n^2$ geht für $n\rightarrow\infty$ schneller nach unendlich als die linearen Restterme. Folglich sind diese für die Abschätzung gegen unendlich im folgenden vernachlässigbar.
\end{itemize}
Setzen wir dieses Ergebnis nun in das Zwischenergebnis von \cref{eq1:zusammenfassen} ein erhalten wir folgendes:
Setzen wir dieses Ergebnis nun in das Zwischenergebnis von \cref{eq1:zusammenfassen} ein, so erhalten wir folgendes:
Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
\begin{itemize}
\item[(\ref{eq4:1})] Approximation verwenden
\item[(\ref{eq4:2})]$n$ Kürzen und Potenz-/Wurzelgesetze anwenden um Bruch zu vereinfachen
\item[(\ref{eq4:3})] Kehrwert der Brüche Bilden und Wurzeln zusammenfassen
\item[(\ref{eq4:1})] Die Approximation verwenden.
\item[(\ref{eq4:2})]$n$ Kürzen und die Potenz-/Wurzelgesetze anwenden, um den Bruch zu vereinfachen.
\item[(\ref{eq4:3})] Den Kehrwert der Brüche bilden und die Wurzeln zusammenfassen.
\end{itemize}
Es ist bereits der korrekte konstante Faktor der Gaußschen Glockenkurve erkennbar.\\
Es ist bereits der korrekte konstante Faktor der gaußschen Glockenkurve erkennbar.\\
\textbf{3. Taylor-Approximation des exponentiellen Teils:}\\
Den restlichen Term formen wir um, indem wir ihn logarithmieren um im Anschluss die Approximationsformel für den Logarithmus verwenden zu können. Diese wird ebenso wie die Stirling-Formel im Anschluss bewiesen.
Den restlichen Term formen wir um, indem wir ihn logarithmieren, um im Anschluss die Approximationsformel für den Logarithmus verwenden zu können. Diese wird ebenso wie die Stirling-Formel im Anschluss bewiesen.
@@ -146,18 +163,18 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung sehr aufwendi
\end{align}
Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
\begin{itemize}
\item[(\ref{eq5:1})]logarithmieren
\item[(\ref{eq5:1})]Den Logarithmus anwenden.
\item[(\ref{eq5:2})] Logarithmengesetze für Potenzen anwenden.
\item[(\ref{eq5:3})] Gleichheit für $k$ aus der Standardisierung einsetzen: $k = np + z\sqrt{npq}$.
\item[(\ref{eq5:4})] Distributivgesetz für $-1$ anwenden und Brüche durch Aufteilen der Addition und Einfügen der multiplikativen Identität $\frac{\sqrt{np}}{\sqrt{np}}$ (selbes für $nq$) vereinfachen.
\end{itemize}
\cref{def:taylorpolynom} beweist die Taylor-Approximation für den Logarithmus: $ln(1-\alpha)\approx-\alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ und $ln(1+\alpha)\approx\alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$. Hierbei steht $O(\alpha^3)$ für die Landau-Notation.
Wir definieren
Die \cref{def:taylorpolynom} beweist die Taylor-Approximation für den Logarithmus: $ln(1-\alpha)=-\alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ und $ln(1+\alpha)\sim\alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ für $\alpha\in(-\infty, 1)$. Hierbei steht $O(\alpha^3)$ für die Landau-Notation.
Wir definieren:
\[
\beta :=\sqrt{\frac{q}{np}}; \quad
\gamma :=\sqrt{\frac{p}{nq}}
\]
Um diese Approximation zu verwenden, muss sicher sein, dass $-1 <|\alpha| < 1$. Das heißt, dass $\forall z \in\mathbb{R}:-1\overset{n\rightarrow\infty}{<} |z\cdot\beta|\overset{n\rightarrow\infty}{<}1$. (Für $z\cdot\gamma$ analog) Hierbei genügt die Abschätzung gegen unendlich, da wir die Annäherung nur für große Zahlen beweisen wollen.\\
Um diese Approximation zu verwenden, muss sicher sein, dass $-1 <|\alpha| < 1$. Das heißt, dass $\forall z \in\mathbb{R}:\lim_{n\rightarrow\infty}-1 < |z\cdot\beta|<1$. (Für $z\cdot\gamma$ analog) Hierbei genügt die Abschätzung gegen unendlich, da wir die Annäherung nur für große Zahlen beweisen wollen.\\
Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
\begin{itemize}
\item[(\ref{eq6:1})] Distributivgesetz
\item[(\ref{eq6:1})] Das Distributivgesetz anwenden.
\item[(\ref{eq6:2})]$np$ und $nq$ mithilfe des Quadrates in die Wurzel ziehen, sowie Kürzen und Wurzeln zusammenfassen. Alle Terme mit $z^3$ werden von $O(z^3)$ nach dessen Definition "absorbiert".
\item[(\ref{eq6:3})]$np$ und $nq$ in den Wurzeln Kürzen und Kommutativgesetz anwenden
\item[(\ref{eq6:4})] Die Landau Terme können vernachlässigt werden, da diese Terme für $n\rightarrow\infty$ gegen 0 gehen. Betrachte Hierzu \cref{lem:restterme} und \cref{prop:restterme2}.
\item[(\ref{eq6:5})]$-z\sqrt{npq}+z\sqrt{npq}=0$ und Distributivgesetz (invers)
\item[(\ref{eq6:6})]$p+q=1$ da $q =1-p$ definiert wurde.
\item[(\ref{eq6:3})]$np$ und $nq$ in den Wurzeln Kürzen und Kommutativgesetz anwenden.
\item[(\ref{eq6:4})] Die Landau Terme können vernachlässigt werden, da diese Terme für $n\rightarrow\infty$ gegen 0 gehen, sofern $z$ beschränkt ist. Betrachte Hierzu \cref{lem:restterme} und \cref{prop:restterme2}.
\item[(\ref{eq6:5})]$-z\sqrt{npq}+z\sqrt{npq}=0$ und Distributivgesetz (invers) anwenden.
\item[(\ref{eq6:6})] Es gilt$p+q=1$, da $q =1-p$ definiert wurde.
\end{itemize}
Da $e^{ln(l)}= l$ setzen wir nun $e^{-\frac{z^2}{2}}$ in \cref{eq4:3} ein kommen wir zum finalen Ergebnis:
Da $e^{ln(l)}= l$ setzen wir nun $e^{-\frac{z^2}{2}}$ in \cref{eq4:3} ein, kommen wir zum finalen Ergebnis:
Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
\begin{itemize}
\item[(\ref{eq7:1})] Rücksubstitution der Standardisierung.
\item[(\ref{eq7:2})] Der Bruch wurde quadriert und zusammengefasst.
\item[(\ref{eq7:3})] Definition der Standardnormalverteilung angewendet.
\end{itemize}
Daher konvergiert eine Binomialverteilte Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.
\end{proof}
\begin{lemma}[Asymptotisches Verschwinden der Taylor-Restterme mit Präfix]{restterme}
Seien $p \in(0,1)$, $q =1-p$ und $z \in\mathbb{R}$ fest gewählt. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus multipliziert mit ihren jeweiligen Vorfaktoren gilt für $n \rightarrow\infty$:
Seien $p \in(0,1)$, $q =1-p$ und $z$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei z begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus multipliziert mit ihren jeweiligen Vorfaktoren gilt für $n \rightarrow\infty$:
wobei $\beta=\sqrt{\frac{q}{np}}$ und $\gamma=\sqrt{\frac{p}{nq}}$ definiert sind.
\end{lemma}
\begin{proof}
Wir betrachten exemplarisch den ersten Summanden (der zweite verhält sich vollkommen analog). Da $\beta=\sqrt{\frac{q}{np}}$, verhält sich der Restterm dritter Ordnung bezüglich $n$ wie folgt:
Da $z$ begrenzt ist, gilt: $\exists M \in\mathbb{N}: |z|<M$.
Wir betrachten exemplarisch den ersten Summanden (der zweite Verhält sich vollkommen analog). Da $\beta=\sqrt{\frac{q}{np}}$, verhält sich der Restterm dritter Ordnung bezüglich $n$ wie folgt:
Nach der Definition der Landau-Notation existiert für hinreichend große $n$ eine Konstante $C > 0$, sodass der Betrag dieses Restterms durch $C \cdot n^{-3/2}$ nach oben beschränkt ist.
Multiplizieren wir dies mit dem Betrag des Vorfaktors, erhalten wir mithilfe der Dreiecksungleichung:
&= C \cdot np \cdot n^{-3/2} + C \cdot |z|\sqrt{npq}\cdot n^{-3/2}\\
&= C \cdot p \cdot\frac{1}{\sqrt{n}} + C \cdot |z|\sqrt{pq}\cdot\frac{1}{n}
\end{align*}
Da $C, p, q$ und $z$ von $n$ unabhängige Konstanten sind und $n$ im Nenner unbegrenzt wächst, strebt dieser Ausdruck für $n \to\infty$ gegen:
Da $C, p, q$ und $z$ in diesem Fall von $n$ unabhängige Konstanten sind und $n$ im Nenner unbegrenzt wächst, strebt dieser Ausdruck für $n \to\infty$ gegen:
\[
0+0=0
\]
Für den zweiten Term mit $\gamma$ erfolgt der Beweis völlig analog, womit die Summe beider Terme ebenfalls gegen $0$ konvergiert.
\end{proof}
Folgende Proposition ist leicht aus dem oberen Beweis ableitbar (aufgrund der Abschätzung mit $n^{-3/2}$ und der Betrachtung von z als beliebig aber fest) und wird daher nicht separat bewiesen.
Folgende Proposition ist leicht aus dem oberen Beweis ableitbar (aufgrund der Abschätzung mit $n^{-3/2}$ und der Betrachtung von z als beschränkt) und wird daher nicht separat bewiesen.
\begin{proposition}[Asymptotisches Verschwinden der Taylor-Restterme ohne Präfix]{restterme2}
Seien $p \in(0,1)$, $q =1-p$ und $z \in\mathbb{R}$ fest gewählt. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus gilt für $n \rightarrow\infty$:
Seien $p \in(0,1)$, $q =1-p$ und $z$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei $z$ begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus gilt für $n \rightarrow\infty$:
@@ -246,57 +266,70 @@ Folgende Proposition ist leicht aus dem oberen Beweis ableitbar (aufgrund der Ab
wobei $\beta=\sqrt{\frac{q}{np}}$ und $\gamma=\sqrt{\frac{p}{nq}}$ definiert sind.
\end{proposition}
% Teilsortiert:
\subsection{Pascalsches Dreieck}
Das Pascalsche Dreieck ist ein geometrisches Dreieck aus Zahlen, das sich unendlich nach unten fortsetzt und dabei die Binomialkoeffizienten repräsentiert. Aus \cref{def:binomialkoeffizienten} entwickeln wir das Pascalsche Dreieck.
Das \textbf{Pascalsche Dreieck} ist das unendliche Zahlenschema
\subsection{Stirling-Approximation}
Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vorallem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
@@ -327,7 +360,7 @@ Nun haben wir nachgewiesen, dass die Funktion $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar
\begin{bemerkung}
Mit einem Blick auf die Funktion und wie ihre Ableitungen gebildet werden, ist leicht zu erkennen, dass $\ln(x-1)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist.
\end{bemerkung}
Bevor wir die Approximation nachweisen ist eine formale Definition des Satzes von Taylor und dem Taylorpolynom nötig, wobei letzteres aus dem Satz von Taylor folgt.
Bevor wir die Approximation nachweisen, ist eine formale Definition des Satzes von Taylor und dem Taylorpolynom nötig, wobei letzteres aus dem Satz von Taylor folgt.
\begin{satz}[Satz von Taylor]{taylor}{\cite{enders_analysis_2024}}
Seien $n\in\mathbb{N}_0, f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion und $x_0\in[a,b]$.
@@ -342,7 +375,7 @@ Bevor wir die Approximation nachweisen ist eine formale Definition des Satzes v
\end{satz}
\begin{bemerkung}
Das Lagrange-Restglied ist in dein meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$.
Das Lagrange-Restglied ist in den meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$.
Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^n)$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algortihmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
@@ -378,7 +411,7 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
\begin{align*}
\ln(1-x)&=-x-\frac{x^2}{2}+R_2(x)
\end{align*}
wobei das Lagrange-Restglied etwa $R_2(x)\approx O(x^3)$, denn
wobei das Lagrange-Restglied etwa $R_2(x)\sim O(x^3)$, denn
@@ -426,7 +459,7 @@ Im Plot können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x
\end{tikzpicture}
\caption{Darstellung der Funktionen $\ln(1-x)$ und $-x-\frac{x^2}{2}$}
\end{figure}
Würden wir die Entwicklung weiterführen, approximiert die violette Funktion (unser Taylorpolynom) die orangene Funktion $(\ln(1-x))$ immer weiter. Graphisch lässt sich erkennen, dass für Werte im Intervall $I(-0.5,0.5)$ die Funktion $\ln(1-x)\approx-x\frac{-x}{2}$ plus ein kleiner Fehler ist.
Würden wir die Entwicklung weiterführen, approximiert die violette Funktion (unser Taylorpolynom) die orangene Funktion $(\ln(1-x))$ immer weiter. Graphisch lässt sich erkennen, dass für Werte im Intervall $I(-0.5,0.5)$ die Funktion $\ln(1-x)\sim-x\frac{-x}{2}$ plus ein kleiner Fehler ist.
\subsection{Gamma-Funktion}
% wird für Beweis der Stirling-Approximation gebraucht
Zum nachfolgenden Betrachtung und des Beweises der Stirling-Approximation betrachten wir nun die Gamma-Funktion, auch \textbf{Eulersches Integral zweiter Gattung} genannt. Sie erweitert die Fakultätsfunktion von den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ auf reelle und komplexe Zahlen (mit einigen Ausnahmen). Hier betrachten wir der Einfachheit halber nur die Gamma-Funktion in $\mathbb{R}$.
@@ -446,71 +479,14 @@ Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
\]
\end{satz}
\subsection{Stirling-Approximation}
Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vorallem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
Das Galtonbrett ist ein bekanntes Modell zur Veranschaulichung der Normalverteilung der Stochastik. Es demonstriert visuell, wie aus einer Vielzahl von zufälligen unabhängigen Einzelereignissen eine feste mathematische Gesetzmäßigkeit entsteht. Naiv betrachtet ist es nicht auf dem ersten Blick deutlich, dass aus der eigentlichen Binomialverteilung die gaußsche Glockenkurve der Normalverteilung entsteht.
Das Galtonbrett wurde von dem britischen Naturforscher und Universalgelehrten Sir Francis Galton (1822–1911) erfunden. Galton war ein Cousin von Charles Darwin und interessierte sich stark für die Vererbung menschlicher Eigenschaften, wie Körpergröße oder Intelligenz \cite{buchter_elementare_2005}. Er stellte auch fest, dass diese Eigenschaften in einer Bevölkerung fast immer einer Glockenkurve der Normalverteilung folgten. Galton suchte nach einem mechanischen Weg, um zu demonstrieren, wie die Vermischung vieler zufälliger genetischer Beiträge der Eltern in der nächsten Generation wieder genau dieselbe Verteilung von Mustern hervorbringt \cite{pearl-mackenzie-2018}. Das Brett diente ihm also ursprünglich als biologisches Analogiemodell für die Vererbung, bevor es zu einem Standardwerkzeug der mathematischen Didaktik wurde, um den zentralen Grenzwertsatz zu visualisieren. Das erste Mal hat Sir Francis Galtin das Brett am 17.02.1874 bei einer Vorlesung in der Royal Society vorgestellt \cite{kit-2022}.
Das grundlegende Prinzip des Galtonbretts ist über die 150 Jahre hinweg völlig gleichgeblieben, doch seine Anwendung und Form haben sich stark gewandelt.
\begin{itemize}
\item Der Anfang in den 1870er Jahren mit Galtons originalem Apparate war nicht viel mehr als ein klobiger, hölzerner Kästen mit Glasscheiben. Als "Kugeln" verwendete er oft Bohnen (weshalb es im Englischen auch Bean Machine genannt wurde).
\item Im 20ten Jahrhundert fand das mathematische Prinzip schnell Einzug in die Unterhaltungsindustrie. In Fernsehshows wurde es weltberühmt – so etwa als das Spiel "Plinko" in der US-amerikanischen Show The Price Is Right \cite{pearl-mackenzie-2018} oder in der deutschen Adaption "Der Preis ist heiß".
\item Heute gibt es das Galtonbrett als präzise gefertigte Schreibtisch-Gadgets im Taschenformat, bei denen Tausende winziger Stahlkugeln in lasergeschnittenen Kunststoffrillen laufen. Zudem wird das Brett heute in Schulen und Universitäten meistens digital als Computersimulation wie bei \hyperref{https://www.geogebra.org/m/eayfksqh}{}{}{Galtonbrett mit variabler Wahrscheinlichkeit – GeoGebra} oder \hyperref{https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm}{}{}{Galtonbrettsimulation} genutzt, bei der man Parameter, wie die Fallwahrscheinlichkeit nach links oder rechts, flexibel verändern kann.
Da Sie ja umfangreich recherchiert haben, werden Sie deutlich mehr Material haben, als Sie in diesem Dokument unterbringen können. Hier können Sie Ihre weiterführenden Ideen kurz darstellen. Vergessen Sie nicht, auch hier die Quellen anzugeben!
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% Vorraussetzungen entspannter betrachten:
% Martingale central limit theorem + Mixing Condition -> Normalverteilung.
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