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content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -66,6 +66,65 @@ Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkenne
 
 
 % Teilsortiert:
+\subsection{Pascalsches Dreieck}
+Das Pascalsche Dreieck ist ein geometrisches Dreieck aus Zahlen, das sich unendlich nach unten fortsetzt und dabei die Binomialkoeffizienten repräsentiert.
+\begin{definition}[Binomialkoeffizienten]{binomialkoeffizienten}
+	Für $n\in\mathbb{N}_0$ und $k\in\{0,\dots,n\}$ definieren wir den \textbf{Binomialkoeffizienten}
+	\[
+		\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
+	\]
+	wobei die Zahl $\binom{n}{k}$ die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen menge genau $k$-Elemente auszuwählen, angibt.
+\end{definition}
+Aus dieser Definition entwickeln wir das Pascalsche Dreieck.
+\begin{definition}[Pascalsches Dreieck]{pascaldreieck}
+	Das \textbf{Pascalsche Dreieck} ist das unendliche Zahlenschema
+	\[
+		P=(p_{n,k})_{n\in\mathbb{N}_0,0\leq k\leq n}
+	\]
+	mit
+	\[
+		p_{n,k}=\binom{n}{k}
+	\]
+\end{definition}
+Die ersten Zeilen des Pascalschen Dreiecks lauten
+\[
+\begin{array}{ccccccccc}
+	&&&&1\\
+	&&&1&&1\\
+	&&1&&2&&1\\
+	&1&&3&&3&&1\\
+	1&&4&&6&&4&&1
+\end{array}
+\]
+\begin{satz}[Pascalsche Rekursion]
+	Für $n\geq1$ und $1\leq k\leq n-1$ gilt
+	\[
+		\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
+	\]
+\end{satz}
+\begin{bemerkung}
+	Diese Beziehung erklärt die Entstehung jeder inneren Zahl als Summe der beiden darüberliegenden Zahlen.
+\end{bemerkung}
+\begin{proof}
+	Sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Wähle $x\in M$ fest.
+	
+	Wir zählen die $k$-elementigen Teilmengen von M.
+	\begin{itemize}
+		\item Enthält eine Teilmenge das Element $x$, dann müssen noch $k-1$ Elemente aus den $n-1$ verbleibenden Elementen gewählt werden. Wir erhalten
+		\[
+			\binom{n-1}{k-1}
+		\]
+		\item Enthält eine Teilmenge das $x$ nicht, werden $k$ Elemente aus den verbleibenden $n-1$ Elementen gewählt, also
+		\[
+			\binom{n-1}{k}
+		\]
+	\end{itemize}
+	Aufrund der Disjunkteit beider Fälle und der Erfassung aller $k$-elementigen Teilmengen, folgt
+	\[
+		\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
+	\]
+\end{proof}
+
 \subsection{Taylor-Approximation}
 Um eine Taylorpproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist.
 \begin{lemma}{dreimalableiten}