fix: anordnung binomialkoeffizienten war auch in der Lösung falsch, aber lugga ist es beim Überarbeiten nicht aufgefallen

bibliography.bib

@@ -173,3 +173,16 @@
 	date = {2023},
 	note = {Num Pages: 460},
 }
+
+
+@book{georgii_stochastik_2015,
+	title = {Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik},
+	isbn = {978-3-11-035969-5},
+	url = {https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/9783110359701/html},
+	doi = {10.1515/9783110359701},
+	shorttitle = {Stochastik},
+	publisher = {{DE} {GRUYTER}},
+	author = {Georgii, Hans-Otto},
+	urldate = {2026-07-16},
+	date = {2015-12-31},
+}

content/Anhang.tex

@@ -1,5 +1,56 @@
 \section{Arbeitsblatt 1}
-Das Arbeitsblatt beschäftigt sich mit dem pascalschen Dreieck und einer ersten Idee des Galtonbretts.
+Die Schülerinnen und Schüler des Matheclubs befinden sich in der Regel in der 7ten bis zur
+10ten Klasse. Nehmen wir an, dass man ab der 9ten Klasse erst beitreten kann,
+beziehungsweise dieses Thema erst mit Neuntklässlern behandelt. Dann ist es angedacht, die
+Aufgaben Schritt für Schritt aufeinander aufbauen zu lassen. Zunächst sollte jedoch der
+Binomialkoeffizient Formal definiert werden. Das dient dann als Wiederholung oder auch der
+Einführung.\\
+
+Die Verbildlichung des Binomialkoeffizienten und des Pascalschen Dreiecks kann dabei helfen,
+ein mathematisches Verständnis des Binomialkoeffizienten auszubauen mithilfe einer
+rekursiven Vorschrift. Im Zuge dessen, kann zwischen den Blättern „Pascalsches Dreieck“ und
+„Galton x Pascal“ ein kleiner Exkurs zu den binomischen Formeln unternommen werden, in
+welchem genau die Binomialkoeffizienten vorkommen. Hierbei kann man die Verallgemeinerung
+der binomischen Formel aufzeigen und als Vereinfachung dieser darstellen, damit man nicht viel
+auswendig lernen oder anstrengend Klammern ausmultiplizieren muss.\\
+
+Der Einstieg darin ist mit dem einfachen Berechnen des Binomialkoeffizienten gestaltet, wobei
+die zwei Basisfälle $k = 0$ und $k = n$ besonders thematisiert werden, welche für die nachfolgenden
+Aufgaben relevant sind. Da die Berechnung des Binomialkoeffizienten mit der gegebenen Formel
+nicht besonders schwer ist, wird der Fokus eher auf die Basisfälle gelenkt.\\
+
+Aus der Grundschule sind den Schülerinnen und Schülern sicherlich auch die
+Aufgabenpyramiden bekannt, in welchen man ursprünglich mithilfe einer Vorschrift die
+Pyramide von unten nach oben aufbaut. Hierbei wird die Pyramide jedoch von oben nach unten
+aufgebaut mithilfe von Rekursion und ebenfalls dem zurückführen auf vorherberechneten
+Ergebnissen.\\
+
+Die Gleichheit der Pyramide und der Binomialkoeffizienten zeigen auf wie auf verschiedene
+Weisen dasselbe Konstrukt (Pascalsches Dreieck) bestimmt werden können. Außerdem dient
+das gleichzeitig als die oben etwas zu kurz geratene Wiederholung zur Berechnung der
+Binomialkoeffizienten.\\
+
+Die Zusatzaufgabe soll den Ansatz der Rekursion noch einmal verdeutlichen und eine
+Verbindung zum Fach Informatik herstellen. Da man auch mit Computeralgorithmen
+Zufallsexperimente darstellen und durchführen kann.\\
+
+Auf dem nachfolgenden Blatt wird das Galtonbrett kurz und einfach von den Schülerinnen und
+Schülern mithilfe weniger vorgaben modelliert. Sinnvoll ist es, vorher ein wenig das Realmodell
+des Galtonbretts darzustellen. Beispielsweise mithilfe eines echten Galtonbretts für den
+Schreibtisch, welches im Mathe Club einmal umhergereicht wird.\\
+
+Das Einzeichnen der Pfade dient den Schülerinnen und Schülern als Verdeutlichung, wo die
+Kugel entlang geht, und das Abzählen dient dem Ziel alle möglichen Pfade zu erkennen und
+somit ein Verständnis dafür zu entwickeln. Dadurch wird ein mentales Modell entwickelt, in
+welchem man ebenfalls kleine Galtonbretter sich vorstellen kann. Auch der Zusammenhang mit
+der Anzahl möglicher Pfade und dem Pascalschen Dreieck soll dargestellt werden. Hierbei kann
+auch ein \hyperref{https://youtu.be/UCmPmkHqHXk?si=aPdOp5CN0TVNWSuT\&t=186}{}{}{Video} bei welchem
+der Zusammenhang bei großen Schwierigkeiten noch einmal auf eine andere Weise dargestellt
+wird.\\
+
+Die letzte Aufgabe des Blattes soll die Schülerinnen und Schüler in die Richtung der
+Binomialverteilung leiten. Die dabei entstehende Formel kann aber auch mithilfe des gesamten
+Kurses erarbeitet werden.
 
 \includepdf[
 pages=-,
@@ -7,16 +58,25 @@ frame=true,
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 ]{material/ab1.pdf}
-\includepdf[
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-scale=0.70,
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-]{material/ab1_Lös.pdf}
+
 
 
 \section{Arbeitsblatt 2}
-Das zweite Arbeitsblatt ermöglicht die Beschäftigung mit dem Glücksspiel "Plinko". Die Schüler*innen sollen das Spiel kennenlernen und erkennen, warum Glücksspiel so gefährlich ist.
+Dieses Aufgabenblatt soll einen außermathematischen Kontext darstellen, in welchem das
+Galtonbrett zu finden ist. Im Stochastikunterricht werden häufig Glücksspiele analysiert, um
+aufzuzeigen, dass diese in den meisten Fällen nicht fair sind. Bei Plinko ist es genauso und lässt
+sich ebenso einordnen wie die Kontexte und Beispiele aus dem normalen Stochastikunterricht.\\
+
+Zunächst sollen Hypothesen beziehungsweise Vermutungen aufgestellt werden, welche am
+Ende des theoretischen Einblicks in die Binomialverteilung überprüft werden können. Darauf
+zielen diese beiden Arbeitsblätter ab, damit ein Lebensweltbezug für die Schülerinnen und
+Schüler gegeben wird, anhand dessen man das Galtonbrett rechtfertigen kann.\\
+
+Die \hyperref{https://plinko-web-game.netlify.app/}{}{}{Simulation von Plinko} bietet für die Schülerinnen und Schüler zudem ein spaßiger
+und nicht so trockner Einstieg in das Galtonbrett. Sinnvoll für die Durchführung und das
+Überprüfen der Vermutungen könnte die Lehrkraft am Anfand der Stunde die Simulation auf
+Automatisch stellen und dann kann man am Ende des Unterrichts schonmal eine Aussage über
+die Fairness und den Erwartungswert des Spiels treffen.
 
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@@ -26,7 +86,7 @@ pagecommand={\thispagestyle{plain}}
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 \section{Arbeitsblatt 3}
-Im dritten Arbeitsblatt lernen die Schüler*innen das Galtonbrett konkret kennen und beweisen semi-formal den zentralen Grenzwertsatz.
+Im dritten Arbeitsblatt lernen die Schüler*innen das Galtonbrett konkret kennen und beweisen semi-formal den lokalen Grenzwertsatz.
 
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-\includepdf[
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-]{material/ab3_Lös.pdf}

content/Arbeitsmaterialien.tex

@@ -1,19 +1,9 @@
-% 1. Einführung/ Motivation (lustig/ spielerisch)
-% Spiel von Tobi (gibts nicht auch so nen Glücksspiel?)
-% https://plinko-web-game.netlify.app/ : wieso macht man im Schnitt minus?
-% Pachinko-Automat: Wo einwefen für max Gewinn
+Der Einstieg erfolgt über die formale Definition des Binomialkoeffizienten, wobei der Fokus auf den einfachen Berechnungen und den beiden Basisfällen $k=0$ und $k=n$ liegt. Zur visuellen Unterstützung und zum Verständnis rekursiver Abläufe wird das Pascalsche Dreieck herangezogen. Ein kurzer in Form eines Unterrichtsgespräches geführter Exkurs zu den binomischen Formeln zeigt den Jugendlichen zudem praktisch, wie die BinomialkoeAizienten das Ausmultiplizieren von Klammern vereinfachen und das Auswendiglernen überflüssig machen.\\
  
-% 2. Überleitung (interaktiv)
-% Wabenaufgabe und Einführung über Pascallsches Dreieck, überführung Approx durch Normalverteilung: Tobi-AB
+Im weiteren Verlauf wird eine Brücke zu den aus der Grundschule bekannten Zahlenpyramiden geschlagen. Im Gegensatz zum klassischen Aufbau von unten nach oben wird hier eine Pyramide mithilfe von Rekursion von oben nach unten aufgebaut. Dieser Vergleich veranschaulicht, dass dasselbe mathematische Konstrukt (das Pascalsche Dreieck) auf verschiedenen Wegen berechnet werden kann. Eine Zusatzaufgabe zur Rekursion stellt zudem eine Verbindung zur Informatik und der Simulation von Zufallsexperimenten durch Computeralgorithmen her. \\
 
-% 3. Arbeitsmaterial ZSG (mathematisch Verständnisorientiert)
-% wollen über eine Diskrete Verteilung eine stetige Kurve legen!
-% Die Verteilung ist durch die Fakultät diskret, da diese nur für n\in N definiert ist
-% 1 -> n! -> gamma Funktion -> Sterling Approx geben (Visuell!)
-% 2 -> Vorfaktor "abschätzen"
-% 3 -> potenzen Killen um E funktion zu gewinnen!
-	% ln und umformen (Klassenstufe! -> Anschätzung und Ergebnis vorgeben, nicht rechnen)
-	% Rücksubstitution machen
-Das dritte Arbeitsblatt, \emph{Galton x ZSG Movire-Laplace}, dient dem Beweis des zentralen Grenzwertsatzes von Movire-Laplace. Ziel ist es hierbei explizit nicht, dass die Schüler*innen den Beweis in jedem Detail, wie im Teil "Mathematischer Hintergrund", verstehen aber die Grundlegenden Argumentationen und mathematischen Tricks nachvollziehen. Außerdem ist vor allem das Beweisen etwas, dass im Rahmenlehrplan (\cite{lisum-2022} und \cite{lisum-2023}) nicht gefordert ist, wodurch es sich sehr gut für eine MatheAG oder Zusatzstunde handelt, in der Inhalte über den klassischen Unterricht hinaus behandelt werden.\\
+Der nächste Schritt widmet sich der Modellierung des Galtonbretts. Nach der Demonstration an einem realen Tischmodell (oder digitaler \href{https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm}{Simmulation}) sowie dem Besprechen der Modellannahmen zeichnen die Schülerinnen und Schüler Pfade ein und zählen diese ab. Dies hilft ihnen, ein mentales Modell zu entwickeln und die Verbindung zwischen der Anzahl der Pfade und dem Pascalschen Dreieck zu verstehen. Die letzte Aufgabe führt die Gruppe schließlich kollaborativ an die Binomialverteilung heran, deren Formel gemeinsam im Kurs erarbeitet werden kann.\\
+
+Das dritte Arbeitsblatt, \emph{Galton x LGS Movire-Laplace}, dient dem Beweis des lokalen Grenzwertsatzes von Movire-Laplace. Ziel ist es hierbei explizit nicht, dass die Schüler*innen den Beweis in jedem Detail, wie im Teil "Mathematischer Hintergrund", verstehen aber die Grundlegenden Argumentationen und mathematischen Tricks nachvollziehen. Außerdem ist vor allem das Beweisen etwas, dass im Rahmenlehrplan (\cite{lisum-2022} und \cite{lisum-2023}) nicht gefordert ist, wodurch es sich sehr gut für eine MatheAG oder Zusatzstunde handelt, in der Inhalte über den klassischen Unterricht hinaus behandelt werden.\\
 Für das Arbeitsblatt sollten die Schüler*innen bereits mit der Binomialverteilung, Zufallsvariablen, Logarithmen sowie der e-Funktion vertraut sein und mit etwas Formalismus umgehen können. Tiefgreifende Kenntnisse zur Normalverteilung sind nicht vorausgesetzt und werden auf dem Arbeitsblatt in ausreichender Form wiederholt bzw. können selbständig aufbereitet werden. Es ist empfohlen mindestens das Arbeitsblätt \emph{Pascalsches Dreieck} und optimaler Weise auch noch das Arbeitsblatt \emph{Galton x Plinko} vorher bearbeitet zu haben, um das Konzept des Galtonbrettes und dessen Zusammenhang mit der Binomialverteilung verstanden zu haben.\\
 Auf dem Arbeitsblatt wird die formale Modellierung des Galtonbrettes vorgestellt und soll durch eine Zuordnungsaufgabe durch die Schüler*innen vertieft werden. Im Anschluss soll der Bezug zwischen Binomial- und Normalverteilung wiederholt bzw. erarbeitet werden. Das Kernstück des Arbeitsblattes stellt der Lückentext-Ähnliche Beweis dar. Hier sollen die Schüler einige Mathematische Argumentationen nachvollziehen und einige Umformungen selbst durchführen, um den Beweis nachvollziehen zu können. Sollten die Schüler leistungsschwächer sein oder an einem Punkt fest Stecken gibt es zur Differenzierung Lösungskarten für die Lücken, welche den Schülern in nicht sortierter Reihenfolge zur Verfügung gestellt werden können.

content/Einleitung.tex

@@ -2,7 +2,7 @@ Das Galtonbrett zählt zu den bekanntesten Demonstrationsmodellen der Wahrschein
 
 Aus mathematischer Sicht bildet das Galtonbrett die Binomialverteilung ab, wobei sich die Verteilung mit zunehmender Anzahl an Stiftreihen einer Normalverteilung annähert. Das Verhalten steht in engem Zusammenhang mit dem zentralen Grenzwertsatz. Zur Beschreibung dieser Annäherung spielen außerdem die Fakultätsfunktion sowie die zugehörige Approximation durch die Stirling-Formel eine wichtige Rolle. 
 
-Das Galtonbrett stellt einen hohen didaktischen Wert dar, indem es ein anschauliches Experiment zu Grundkonzepten der Stochastik und Analysis und deren Verknüpfung liefert. Das Modell eignet sich besonders für den Einsatz in der Sekundarstufe II in Mathe-AGs und -clubs, in denen über den Unterricht hinausgehende Inhalte behandelt werden können. Insbesondere die Verbindung von praktischem Experiment, Simulation und theoretischer Herleitung ermöglicht einen vertiefern Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie.
+Das Galtonbrett stellt einen hohen didaktischen Wert dar, indem es ein anschauliches Experiment zu Grundkonzepten der Stochastik und Analysis und deren Verknüpfung liefert. Das Modell eignet sich besonders für den Einsatz in der Sekundarstufe II in Mathe-AGs und -clubs, in denen über den Unterricht hinausgehende Inhalte behandelt werden können. Insbesondere die Verbindung von praktischem Experiment, Simulation und theoretischer Herleitung ermöglicht einen vertieften Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie.
 
 Ziel der Ausarbeitung ist es, die mathematischen Grundlagen des Galtonbretts auf Hochschulniveau darzustellen und deren Zusammenhänge verständlich herzuleiten. Anschließend werden diese Inhalte auf das mathematische Vorwissen der Klassenstufe 10 bis 12 übertragen und didaktisch aufbereitet. Die entstehenden Arbeitsmaterialien ermöglichen den Schüler*innen einen vertieften Einblick in die mathematischen Hintergründe des Galtonbretts.
 

content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 %"ltex.language": "de-DE"
 
 \subsection{Beweis des zentralen Grenzwertsatzes}
-Das Galtonbrett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess mithilfe einer Binomialverteilung und Beweisen anschließend den zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015}.
+Das Galtonbrett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess mithilfe einer Binomialverteilung und beweisen anschließend den (lokalen) zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015}.
 \begin{definition}[Modell des Galtonbretts]{galton}{nach \cite[S. 252-253]{buchter_elementare_2005}}
 	Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. 
 	Der Fall einer Kugel durch ein Galtonbrett mit $n \in \mathbb{N}$ Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei $X_i \in \{0, 1\}$.
@@ -72,28 +72,29 @@ Anschließend ist folgendes zu bemerken:
 	Daher gilt $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
 \end{satz}
 \begin{proof}
-	Nach \cref{bem:XiB} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulliverteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulliverteilten Zufallsexperimenten dar.
+	Nach \cref{bem:XiB} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulliverteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch bernoulliverteilten Zufallsexperimenten dar.
 	Daraus folgt, dass das Galtonbrett mit der Zufallsvariable $S_n$ ein Binomialmodell nach \cref{def:binModell} darstellt und somit die Binomialverteilung nach \cref{def:binZähldichte} eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$.
 \end{proof}
 Eine weitere in diesem Kontext interessante Verteilung ist die Normalverteilung.
-\begin{definition}[Normalverteilung]
+\begin{definition}[Normalverteilung]{norm}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
 	Sei $X$ eine stetige Zufallsvariable mit Dichte 
-	\[ f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}\]
+	\[ f_\mathcal{N(\mu, \sigma^2)}(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}\]
 	und Parametern $\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0$, wobei $\mu$ den Erwartungswert und $\sigma ^2$ die Varianz von $X$ darstellt, so nennt man $X$ \emph{Normalverteilt} und schreibt:
 	\[ X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma ^2)\]
+	Die Dichte der Normalverteilung wird auch ``Gauß’sche Glockenkurve'' genannt.
 \end{definition}
-Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der Fakultäten sehr aufwendig. An dieser Stelle greift der zentrale Grenzwertsatz, der besagt, dass sich die Binomialverteilung für große $n$ der Normalverteilung annähert. Für große $n$ lässt sich damit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (aufgrund der Standardisierung) deutlich leichter bestimmen. Des Weiteren ist es mathematisch gesehen sehr schön zu sehen, wie eine relativ einfache diskrete Verteilung, wie die Binomialverteilung, mit einer mathematisch persé sehr anders aussehenden Verteilung zusammenhängt. Im Spezialfall der Binomialverteilung wird dies durch den Satz von Moivre-Laplace formalisiert \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015, statistik_verstehen_beweis_2019}.
-\begin{satz}[Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{moivrelaplace}{nach \cite{kosenkova_stochastik_2025}}
-	Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$. Für große $n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $S_n$, durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
+Es ist mathematisch gesehen sehr schön zu sehen, wie eine relativ einfache diskrete Verteilung, wie die Binomialverteilung, mit einer mathematisch per se sehr anders aussehenden Verteilung zusammenhängt. Im Spezialfall der Binomialverteilung wird dies durch den Lokalen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace formalisiert \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015, statistik_verstehen_beweis_2019}.
+\begin{satz}[Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{moivrelaplace}{nach \cite{georgii_stochastik_2015}}
+	Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$. Dann gilt bei einem beliebigen $c>0$ mit $z=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$, dass
 	\[
-		S_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)
+		\lim_{n \to \infty} \mathop{\max}\limits_{k:|z|\leq c} \left|\frac{P(S_n=k)}{f_\mathcal{N}(\mu, \sigma^{2})}(k)\right| = 1
 	\]
-	wobei $\mathbb{E}(X)=\mu$, $Var(X)=\sigma ^2 < \infty$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
 \end{satz}
+In der Literatur wird allgemein vom Satz von Moivre-Laplace gesprochen, wenn die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung gemeint ist \cite{statistik_verstehen_beweis_2019}. Mathematisch präzise muss jedoch zwischen dem globalen und dem lokalen Grenzwertsatz unterschieden werden \cite{georgii_stochastik_2015, kosenkova_stochastik_2025}. Wir beweisen im Folgenden den lokalen Grenzwertsatz, der das (lokale) Annähern des ``oberen Randes'' des Histogramms der Binomialverteilung an die Glockenkurve beschreibt \cite{georgii_stochastik_2015}. Hierbei wird \emph{nicht} die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung bewiesen.
 \begin{proof}
-	Der Beweis folgt zum großen Teil dem Beweis von \cite{statistik_verstehen_beweis_2019} und wurde von den Autoren weiter konkretisiert.\\
+	Der Beweis folgt zum großen Teil dem Beweis von \cite{statistik_verstehen_beweis_2019} und wurde von den Autoren aufgrund der Konkretisierung des Satzes \cite{georgii_stochastik_2015} weiter konkretisiert.\\
 	Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$, sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese drei Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.\\
-	Sei $k \in \{x| x \in\mathbb{N}_0 \land x \leq n\}$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt sowie $\mathbb{E}(X)=\mu$, $Var(X)=\sigma ^2 < \infty$.\\
+	Sei $k \in \{0,1,\dots,n\}$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ durch $c$ begrenzt sowie $\mathbb{E}(S_n)=\mu$, $Var(S_n)=\sigma ^2 < \infty$.\\
 	
 	\textbf{1. Anwendung der Stirling-Formel:} \\
 	Wir beginnen mit der Definition der Binomialwahrscheinlichkeit:
@@ -149,7 +150,7 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
 	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
 	\begin{itemize}
 		\item[(\ref{eq4:1})] Die Approximation verwenden.
-		\item[(\ref{eq4:2})] $n$ Kürzen und die Potenz-/Wurzelgesetze anwenden, um den Bruch zu vereinfachen.
+		\item[(\ref{eq4:2})] $n$ kürzen und die Potenz-/Wurzelgesetze anwenden, um den Bruch zu vereinfachen.
 		\item[(\ref{eq4:3})] Den Kehrwert der Brüche bilden und die Wurzeln zusammenfassen.
 	\end{itemize}
 	Es ist bereits der korrekte konstante Faktor der gaußschen Glockenkurve erkennbar.\\
@@ -193,12 +194,12 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
 		\ln\left(1 - z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) &\sim -z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{\left(z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)^2}{2} + O((-z\gamma)^3) \\
 		&= -z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{z^2 p}{2nq} + O((z\gamma)^3) &&\text{"-" fällt wegen O weg}
 	\end{align*}
-	Setzen wir dies nun zurück in \cref{eq5:3} ein, erhalten wir:
+	Setzen wir dies nun zurück in \cref{eq5:4} ein, erhalten wir:
 	\begin{align}
-		&(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)+O(z^3) \nonumber \\
-		&=(-np - z\sqrt{npq})(z\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{z^2 q}{2np} + O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-nq + z\sqrt{npq}))(-z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{z^2 p}{2nq} + O((z\gamma)^3)) + O(z^3) \nonumber \\
-		&=(-npz\sqrt{\frac{q}{np}}+\frac{npz^2q}{2np}-z^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{q}{np}} + O((z\beta)^3)) + O(z^3) \nonumber\\ &\quad + (nqz\sqrt{\frac{p}{nq}}+\frac{nqz^2p}{2nq}-z^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{p}{nq}} + O((z\gamma)^3))\nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)\label{eq6:1}\\
-		&=(-z\sqrt{\frac{(np)^2q}{np}}+\frac{z^2q}{2}-z^2\sqrt{\frac{npq^2}{np}}+O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (z\sqrt{\frac{(nq)^2p}{nq}}+\frac{z^2p}{2}-z^2\sqrt{\frac{np^2q}{nq}} + O((z\gamma)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3) \label{eq6:2}\\
+		&(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \nonumber \\
+		&=(-np - z\sqrt{npq})(z\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{z^2 q}{2np} + O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-nq + z\sqrt{npq})(-z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{z^2 p}{2nq} + O((z\gamma)^3)) \nonumber \\
+		&=(-npz\sqrt{\frac{q}{np}}+\frac{npz^2q}{2np}-z^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{q}{np}} + O((z\beta)^3)) + O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \nonumber\\ &\quad + (nqz\sqrt{\frac{p}{nq}}+\frac{nqz^2p}{2nq}-z^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{p}{nq}} + O((z\gamma)^3))\nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)\label{eq6:1}\\
+		&\sim(-z\sqrt{\frac{(np)^2q}{np}}+\frac{z^2q}{2}-z^2\sqrt{\frac{npq^2}{np}}+O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (z\sqrt{\frac{(nq)^2p}{nq}}+\frac{z^2p}{2}-z^2\sqrt{\frac{np^2q}{nq}} + O((z\gamma)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3) \label{eq6:2}\\
 		&=(-z\sqrt{npq}-z^2q+\frac{z^2q}{2} + O((z\beta)^3)) + (z\sqrt{npq}-z^2p+\frac{z^2p}{2} + O((z\gamma)^3))\nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)\label{eq6:3} \\
 		&\sim (-z\sqrt{npq}-\frac{z^2q}{2}) + (z\sqrt{npq}-\frac{z^2p}{2})\label{eq6:4}\\
 		&=-\frac{z^2q}{2}-\frac{z^2p}{2} = -\frac{z^2}{2}(p+q) \label{eq6:5}\\
@@ -206,10 +207,10 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
 	\end{align} %(-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)
 	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
 	\begin{itemize}
-		\item[(\ref{eq6:1})] Das Distributivgesetz anwenden.
-		\item[(\ref{eq6:2})] $np$ und $nq$ mithilfe des Quadrates in die Wurzel ziehen, sowie Kürzen und Wurzeln zusammenfassen. Alle Terme mit $z^3$ werden von $O(z^3)$ nach dessen Definition "absorbiert".
+		\item[(\ref{eq6:1})] Das Distributivgesetz anwenden. Alle Terme die zu $O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ passen, werden nach dessen Definition "absorbiert".
+		\item[(\ref{eq6:2})] $np$ und $nq$ mithilfe des Quadrates in die Wurzel ziehen, sowie Kürzen und Wurzeln zusammenfassen. Außerdem gilt trivialerweise, dass $O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$
 		\item[(\ref{eq6:3})] $np$ und $nq$ in den Wurzeln Kürzen und Kommutativgesetz anwenden. 
-		\item[(\ref{eq6:4})] Die Landau Terme können vernachlässigt werden, da diese Terme für $n\rightarrow\infty$ gegen 0 gehen, sofern $z$ beschränkt ist. Betrachte Hierzu \cref{lem:restterme} und \cref{prop:restterme2}.
+		\item[(\ref{eq6:4})] Die Landau Terme können vernachlässigt werden, da diese Terme für $n\rightarrow\infty$ gegen 0 gehen, da $z$ beschränkt ist. Betrachte Hierzu \cref{lem:restterme} und \cref{prop:restterme2}.
 		\item[(\ref{eq6:5})] $-z\sqrt{npq}+z\sqrt{npq}=0$ und Distributivgesetz (invers) anwenden.
 		\item[(\ref{eq6:6})] Es gilt $p+q=1$, da $q = 1-p$ definiert wurde.
 	\end{itemize}
@@ -218,52 +219,52 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
 		P(S_n = k) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{z^2}{2}} \nonumber \\
 		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right)^2}{2}} \label{eq7:1} \\
 		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)} \label{eq7:2} \\
-		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{\left(-\frac{(k-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)} \label{eq7:3}
+		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{\left(-\frac{(k-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)} \label{eq7:3} \\
+		&= f_{\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}(k) \label{eq7:4}
 	\end{align}
 	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
 	\begin{itemize}
 		\item[(\ref{eq7:1})] Rücksubstitution der Standardisierung.
 		\item[(\ref{eq7:2})] Der Bruch wurde quadriert und zusammengefasst.
 		\item[(\ref{eq7:3})] Definition von $\mu$ und $\sigma$ angewendet.
+		\item[(\ref{eq7:4})] Definition der Dichtefunktion angewendet.
 	\end{itemize}
-	Daher konvergiert die Zähldichte einer binomialverteilte Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.
+	Da wir hiermit gezeigt haben, dass $P(S_n = k) \sim f_{\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}(k)$ für alle $k$ gilt, deren standardisierte Abweichung $z$ beschränkt bleibt ($|z| \le c$), folgt daraus direkt die asymptotische Gleichheit. Das bedeutet für den Quotienten aus exakter Wahrscheinlichkeit und approximierter Dichte, dass er im betrachteten Intervall gleichmäßig gegen $1$ konvergiert.\\
+	Zusammenfassend lässt sich festhalten: Die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable nähert sich für $n \to \infty$ im Bereich um den Erwartungswert punktweise der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
 \end{proof}
 \begin{lemma}[Asymptotisches Verschwinden der Taylor-Restterme mit Präfix]{restterme}
-	Seien $p \in (0,1)$, $q = 1-p$ und $z$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei z begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus multipliziert mit ihren jeweiligen Vorfaktoren gilt für $n \rightarrow \infty$:
+	Seien $p \in (0,1)$, $q = 1-p$ und $z=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei $z$ durch ein $c$ begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus multipliziert mit ihren jeweiligen Vorfaktoren gilt für $n \rightarrow \infty$:
 	\[
 	(-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3) \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0
 	\]
-	wobei $\beta = \sqrt{\frac{q}{np}}$ und $\gamma = \sqrt{\frac{p}{nq}}$ definiert sind.
+	wobei $\beta := \sqrt{\frac{q}{np}}$ und $\gamma := \sqrt{\frac{p}{nq}}$ definiert sind.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-	Da $z$ begrenzt ist, gilt: $ \exists M \in \mathbb{N}: |z|<M$.
+	Da $z$ begrenzt ist, gilt: $|z|<c$.
 	Wir betrachten exemplarisch den ersten Summanden (der zweite Verhält sich vollkommen analog). Da $\beta = \sqrt{\frac{q}{np}}$, verhält sich der Restterm dritter Ordnung bezüglich $n$ wie folgt:
 	\[
-	O((z\beta)^3) = O\left(z^3\cdot\left(\sqrt{\frac{q}{np}}\right)^3\right) = O\left(\frac{M^3 q^{3/2}}{p^{3/2}}\cdot\frac{1}{n^{3/2}}\right) = O\left(n^{-3/2}\right)
+	O((z\beta)^3) = O\left(z^3\cdot\left(\sqrt{\frac{q}{np}}\right)^3\right) = O\left(\frac{c^3 q^{3/2}}{p^{3/2}}\cdot\frac{1}{n^{3/2}}\right) = O\left(n^{-3/2}\right)
 	\]
-	Nach der Definition der Landau-Notation existiert für hinreichend große $n$ eine Konstante $C > 0$, sodass der Betrag dieses Restterms durch $C \cdot n^{-3/2}$ nach oben beschränkt ist.
+	Nach der Definition der Landau-Notation existiert für hinreichend große $n$ eine Konstante $M > 0$, sodass der Betrag dieses Restterms durch $M \cdot n^{-3/2}$ nach oben beschränkt ist.
 	Multiplizieren wir dies mit dem Betrag des Vorfaktors, erhalten wir mithilfe der Dreiecksungleichung:
 	\begin{align*}
-		\left| (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O(n^{-3/2}) \right| &\leq (np + |z|\sqrt{npq}) \cdot C \cdot n^{-3/2} \\
-		&= C \cdot np \cdot n^{-3/2} + C \cdot |z|\sqrt{npq} \cdot n^{-3/2} \\
-		&= C \cdot p \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} + C \cdot |z|\sqrt{pq} \cdot \frac{1}{n}
+		\left| (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O(n^{-3/2}) \right| &\leq (np + |z|\sqrt{npq}) \cdot M \cdot n^{-3/2} \\
+		&= M \cdot np \cdot n^{-3/2} + M \cdot |z|\sqrt{npq} \cdot n^{-3/2} \\
+		&= M \cdot p \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} + M \cdot |z|\sqrt{pq} \cdot \frac{1}{n}
 	\end{align*}
-	Da $C, p, q$ und $z$ in diesem Fall von $n$ unabhängige Konstanten sind und $n$ im Nenner unbegrenzt wächst, strebt dieser Ausdruck für $n \to \infty$ gegen:
+	Da $M, p, q$ und $z$ in diesem Fall von $n$ unabhängige Konstanten sind und $n$ im Nenner unbegrenzt wächst, strebt dieser Ausdruck für $n \to \infty$ gegen:
 	\[
 	0 + 0 = 0
 	\]
 	Für den zweiten Term mit $\gamma$ erfolgt der Beweis völlig analog, womit die Summe beider Terme ebenfalls gegen $0$ konvergiert.
 \end{proof}
 
-Folgende Proposition ist leicht aus dem oberen Beweis ableitbar (aufgrund der Abschätzung mit $n^{-3/2}$ und der Betrachtung von z als beschränkt) und wird daher nicht separat bewiesen.
+Folgende Proposition ist leicht aus dem oberen Beweis ableitbar (aufgrund der Abschätzung mit $n^{-3/2}$ und der Betrachtung von $z$ als beschränkt) und wird daher nicht separat bewiesen.
 \begin{proposition}[Asymptotisches Verschwinden der Taylor-Restterme ohne Präfix]{restterme2}
-	Seien $p \in (0,1)$, $q = 1-p$ und $z$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei $z$ begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus gilt für $n \rightarrow \infty$:
+	Seien $p \in (0,1)$, $q = 1-p$ und $z$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei $z$ durch ein $c$ begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus gilt für $n \rightarrow \infty$:
 	\[
 	O((z\beta)^3) + O((z\gamma)^3) \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0
 	\]
-	\[
-	O(z^3) \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0
-	\]
 	wobei $\beta = \sqrt{\frac{q}{np}}$ und $\gamma = \sqrt{\frac{p}{nq}}$ definiert sind.
 \end{proposition}
 
@@ -365,7 +366,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 		&\left(d_n-\frac{1}{12n}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)}\right)\\
 		<\quad0\quad<\quad&\left(d_n-\frac{1}{12n+1}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)+1}\right)
 	\end{align*}
-	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim_{n\rightarrow\infty} d_n$.
+	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monoton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim_{n\rightarrow\infty} d_n$.
 	\begin{align*}
 		d_n-\frac{1}{12n}\quad&<\quad c\quad<\quad d_n-\frac{1}{12n+1}\\
 		c+\frac{1}{12n+1}\quad&<\quad d_n\quad<\quad c+\frac{1}{12n}
@@ -487,7 +488,7 @@ Der Beweis entspricht im wesentlichen dem 2006 von Wolfgang Kössler geführten
 %\end{proof}
 
 \subsection{Taylor-Approximation}
-Um eine Taylorpproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. Da $\ln(1-x)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist, ist diese Aussage trivial.
+Um eine Taylorapproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. Da $\ln(1-x)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist, ist diese Aussage trivial.
 \begin{proposition}{dreimalableiten}
 	$f(x)=\ln(1-x)$ ist mindestens dreimal differenzierbar.
 \end{proposition}
@@ -508,7 +509,7 @@ Bevor wir die Approximation  nachweisen, ist eine formale Definition des Satzes
 \begin{bemerkung}
 	Das Lagrange-Restglied ist in den meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n+1$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$.
 	
-	Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^{n+1})$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algortihmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
+	Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^{n+1})$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algorithmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
 	
 	Die Definition des Taylorpolynoms entspringt direkt dem Satz von Taylor, nur ohne das Lagrange-Restglied.
 \end{bemerkung}
@@ -559,7 +560,7 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
 	\]
 \end{proof}
 \begin{bemerkung}
-	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben, welcher durch das Langrange-Restglied beziehungsweise die Landaunotation ausgedrückt wird. Da auch in Abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
+	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben, welcher durch das Lagrange-Restglied beziehungsweise die Landaunotation ausgedrückt wird. Da auch in Abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
 \end{bemerkung}
 Im Plot können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x_0=0$ herum sehr ähnlich sind. 
 \begin{figure}[H]

content/Weiterfuehrende_Ideen.tex

@@ -1,4 +1,7 @@
-Das klassische Galtonbrett ist ein elegantes mechanisches Modell zur Veranschaulichung des zentralen Grenzwertsatzes (ZGS). Die Standardannahme geht dabei von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen aus: jede Kugel trifft an jedem Stift mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0.5$ die Entscheidung, nach links oder rechts zu fallen ohne, dass diese sich gegenseitig beeinflussen. Im Rahmen tiefergehender Recherchen zeigen sich jedoch spannende theoretische, sowie praktische Erweiterungsmöglichkeiten, die weit über das Standardmodell hinausgehen.
+Das klassische Galtonbrett ist ein elegantes mechanisches Modell zur Veranschaulichung des lokalen und zentralen Grenzwertsatzes. Die Standardannahme geht dabei von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen aus: jede Kugel trifft an jedem Stift mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0.5$ die Entscheidung, nach links oder rechts zu fallen ohne, dass diese sich gegenseitig beeinflussen. Im Rahmen tiefergehender Recherchen zeigen sich jedoch spannende theoretische, sowie praktische Erweiterungsmöglichkeiten, die weit über das Standardmodell hinausgehen.
+\paragraph{Zentraler Grenzwertsatz}
+In dieser Arbeit wurde der Fokus auf den lokalen Grenzwertsatz von Movire-Laplace gelegt. Es ist ebenso möglich dieses Resultat weiter zum zentralen Grenzwertsatz von Movire-Laplace zu erweitern. Hiermit lässt sich zeigen, dass sich die Binomialverteilung mithilfe der Normalverteilung approximieren lässt \cite{kosenkova_stochastik_2025}.
+
 \paragraph{Unabhängigkeit}
 In der Realität ist die strikte Unabhängigkeit aufeinanderfolgender Schritte oft eine Idealisierung. Physikalisch gesehen könnte eine Kugel den Stift in leichte Schwingungen versetzen oder Drall mitnehmen, was die Wahrscheinlichkeit für den nächsten Schritt beeinflusst. Mathematisch lässt sich diese Voraussetzung jedoch lockern, indem statt Zufallsvariablen Martingale betrachtet werden. Unter bestimmten Voraussetzungen greif hier dann der Martingal-Zentralgrenzwertsatz, wodurch wieder die Normalverteilung angenähert wird \cite{posedel_martingale_2025}.
 

content/Zeitplan.tex

@@ -1,7 +1,13 @@
 Da sich das Themengebiet über einige Niveau- und Klassenstufen des Brandenburger Rahmenlehrplanes streckt \cite{lisum-2023}, und das Galtonbrett sich auch sehr gut eignet, auf verschiedenen Komplexitätsstuufen zu unterrichten, schlagen wir folgende Unterteilung vor:\\
 
 Ab 10. Klasse:\\
-Eine Grundlegende Auseinandersetzung mit dem Galtonbrett und den Zusammenhang mit der Binomialverteilung und dem Pascallschem Dreieck, lässt sich wunderbar ohne höhere mathematische Inhalte erarbeiten. Hierzu eignen sich insbesondere das  Arbeitsblatt \emph{Galton x Pascal} (c.a. 25 min) und \emph{Galton x Plinko} (c.a. 25 min). Wir würden auch empfehlen beide zu bearbeiten. Wenn eine ausblicksartige Auseinandersetzung im Zusammenhang mit der Normalverteilung gewünscht ist (ohne in die mathematischen Details dieser einzutauchen) kann hierzu auch noch Aufgabe 1 bis Aufgabe 3 des Arbeitsblattes \emph{Galton x ZSG Movire-Laplace} (c.a. 15min) mit eingebunden werden.\\
+Eine Grundlegende Auseinandersetzung mit dem Galtonbrett und den Zusammenhang mit der Binomialverteilung und dem Pascallschem Dreieck, lässt sich wunderbar ohne höhere mathematische Inhalte erarbeiten. Hierzu eignen sich insbesondere das  Arbeitsblatt \emph{Galton x Pascal} (c.a. 25 min) und \emph{Galton x Plinko} (c.a. 25 min). Wir würden auch empfehlen beide zu bearbeiten. Wenn eine ausblicksartige Auseinandersetzung im Zusammenhang mit der Normalverteilung gewünscht ist (ohne in die mathematischen Details dieser einzutauchen) kann hierzu auch noch Aufgabe 1 bis Aufgabe 3 des Arbeitsblattes \emph{Galton x ZSG Movire-Laplace} (c.a. 15min) mit eingebunden werden. Als Ablauf empfehlen wir folgendes Vorgehen:\\
+
+\emph{Galton x Plinko }(Seite 1) $\rightarrow$ \emph{Galton x Pascal} $\rightarrow$ \emph{Galton x Plinko} (Seite 2)\\
+$\overset{optional}{\rightarrow}$ \emph{Galton x LGS} (Aufgabe 1 bis 3)
 
 Ab 12. Klasse:\\
-Um eine tiefgreifende Auseinandersetzung mit dem Galtonbrett zu ermöglichen empfehlen wir alle drei Arbeitsblätter anzubieten. Wir empfehlen mit dem Arbeitsblatt \emph{Galton x Pascal} (c.a. 25 min) zu beginnen, daran das Arbeitsblatt \emph{Galton x Plinko} (c.a. 25 min) anzuschließen und das Arbeitsblatt \emph{Galton x ZSG Movire-Laplace} (c.a. 40min) zum Abschluss zu benutzen. Das Arbeitsblatt \emph{Galton x Plinko} ist hierbei als optional zu betrachten und dient lediglich der vertiefenden Auseinandersetzung mit dem Galtonbrett und der Motivation. 
+Um eine tiefgreifende Auseinandersetzung mit dem Galtonbrett zu ermöglichen empfehlen wir alle drei Arbeitsblätter anzubieten. Als verkürzte Variante ließe sich hier auch das Arbeitsblatt \emph{Galton x Plinko} auslassen. Daher empfehlen wir folgenden Progression:\\
+\emph{Galton x Plinko} (Seite 1) $\rightarrow$ \emph{Galton x Pascal} $\rightarrow$ \emph{Galton x Plinko} (Seite 2) $\rightarrow$ \emph{Galton x LGS} \\
+oder\\
+\emph{Galton x Pascal} $\rightarrow$ \emph{Galton x LGS} \\

galton.tex

@@ -5,6 +5,9 @@
 \usepackage{pgfplots}
 \usepackage{pdfpages}
 
+\usepackage{tabularx}               % Automatische Breitenanpassung & Umbrüche
+\usepackage{booktabs}               % Für professionelle Tabellenlinien (optional)
+
 \usepackage{Matheclub}
 
 \addbibresource{bibliography.bib}

material/ab1.tex

@@ -215,32 +215,41 @@
 	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
 	
 	\section{\curtitle}
-	\begin{figure}[H]
-		\centering
-		% Erstes Bild
-		\begin{minipage}[t]{0.7\textwidth}
-			\centering
-			Im Stochastik Unterricht ist dir sicherlich schon einmal die 
-			Formel des Binomialkoeffizienten (Abb. \ref{fig:bino}) begegnet. 
+	
+	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
 	\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
-				Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen.
-			\end{definitionbox}
-		\end{minipage}
-		\hfill
-		% Zweites Bild
-		\begin{minipage}[t]{0.25\textwidth}
-			\centering
+		Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen:
 		\[
 		\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
 		\]
-			\caption{Formel Binomialkoeffizienten}
-			\label{fig:bino}
-		\end{minipage}
-	\end{figure}
+	\end{definitionbox}
 	
-	
-	
-	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
+%	\begin{figure}[H]
+%		\centering
+%		% Erstes Bild
+%		\begin{minipage}[t]{0.7\textwidth}
+%			\centering
+%			Im Stochastik Unterricht ist dir sicherlich schon einmal die 
+%			Formel des Binomialkoeffizienten (Abb. \ref{fig:bino}) begegnet. 
+%			\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
+%				Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen.
+%			\end{definitionbox}
+%		\end{minipage}
+%		\hfill
+%		% Zweites Bild
+%		\begin{minipage}[t]{0.25\textwidth}
+%			\centering
+%			\[
+%			\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
+%			\]
+%			\caption{Formel Binomialkoeffizienten}
+%			\label{fig:bino}
+%		\end{minipage}
+%	\end{figure}
+%	
+%	
+%	
+%	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schon einmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
 	
 	
 	Zum Warmwerden berechnen wir:
@@ -335,22 +344,22 @@
 					\node at (12.25,14.1875) {$\binom{1}{1}=$};
 					
 					\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
-					\node at (10.875,12.8125) {$\binom{2}{0}=$};
+					\node at (10.875,12.8125) {$\binom{2}{1}=$};
 					
 					\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
-					\node at (8.125,12.8125) {$\binom{2}{1}=$};
+					\node at (8.125,12.8125) {$\binom{2}{0}=$};
 					
 					\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
 					\node at (13.625,12.8125) {$\binom{2}{2}=$};
 					
 					\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
-					\node at (12.25,11.4375) {$\binom{3}{0}=$};
+					\node at (12.25,11.4375) {$\binom{3}{2}=$};
 					
 					\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
 					\node at (9.5,11.4375) {$\binom{3}{1}=$};
 					
 					\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
-					\node at (6.75,11.4375) {$\binom{3}{2}=$};
+					\node at (6.75,11.4375) {$\binom{3}{0}=$};
 					
 					\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
 					\node at (15,11.4375) {$\binom{3}{3}=$};
@@ -364,7 +373,7 @@
 	\noindent
 	\begin{minipage}[t]{0.62\textwidth}\vspace{0pt}
 		\begin{definitionbox}[Galtonbrett]
-			Das \textbf{Galtonbrett} ist ein mechanisches Demonstrationsgerät aus der Stochstik, bei welchem kleine Kugeln auf horizontal und dreieckig angeordnete Stäbchen fallen gelassen wird (hier zweidimenional von vorne dargestellt). Bei jedem Aufprall auf ein Stäbchen teilt sich ihr Weg: entweder nach links, oder nach rechts.	
+			Das \textbf{Galtonbrett} ist ein mechanisches Demonstrationsgerät aus der Stochastik, bei welchem kleine Kugeln auf horizontal und dreieckig angeordnete Stäbchen fallen gelassen wird (hier zweidimensional von vorne dargestellt). Bei jedem Aufprall auf ein Stäbchen teilt sich ihr Weg: entweder nach links, oder nach rechts.	
 		\end{definitionbox}
 	\end{minipage}
     \hfill
@@ -470,13 +479,13 @@
 		
 		\item Zähle nun die verschiedenen Pfade, die eine Murmel nehmen kann, sodass sie in den darunterliegenden Fächern landet.
 		\scriptsize(Hinweis: Nutze die Beschreibung, dass eine Kugel immer nur  nach rechts (r) oder links (l) fallen kann und schreibe das in Mengenschreibweise, sodass du keinen Pfad vergisst.) \normalsize \\
-		Bsp: Fach 0: $A_0=\{(L,L,L)\} \Rightarrow \text{Pfade}_0=|A_0|=2$
+		Bsp: Fach 0: $A_0=\{(l,l,l)\} \Rightarrow \text{Pfade}_0=|A_0|=2$
 		\vspace{85pt}
 		
 		\item Dir ist sicherlich schon aufgefallen, dass die meisten Pfade in die Mitte führen. Untersuche nun die Anzahl der Pfade zu jedem der Stäbchen und vergleiche diese mit dem Pascalschen Dreieck. Was fällt dir auf? 
 		\vspace{85pt}
 		
-		\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariabel $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?
+		\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariable $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?
 	\end{enumerate}
 	
 	\label{LastPage}

material/ab1_Lös.tex

@@ -234,32 +234,13 @@
 	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
 	
 	\section{\curtitle}
-	\begin{figure}[H]
-		\centering
-		% Erstes Bild
-		\begin{minipage}[t]{0.7\textwidth}
-			\centering
-			Im Stochastik Unterricht ist dir sicherlich schon einmal die 
-			Formel des Binomialkoeffizienten (Abb. \ref{fig:bino}) begegnet. 
+	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
 	\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
-				Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen.
-			\end{definitionbox}
-		\end{minipage}
-		\hfill
-		% Zweites Bild
-		\begin{minipage}[t]{0.25\textwidth}
-			\centering
+		Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen:
 		\[
 		\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
 		\]
-			\caption{Formel Binomialkoeffizienten}
-			\label{fig:bino}
-		\end{minipage}
-	\end{figure}
-	
-	
-	
-	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
+	\end{definitionbox}
 	
 	
 	Zum Warmwerden berechnen wir:
@@ -354,34 +335,34 @@
 				\begin{circuitikz}[x=0.8cm,y=0.8cm]
 					
 					\draw (10.25,16.25) rectangle (13,14.875);
-					\node at (10.875,15.5625) {$\binom{0}{0}=1$};
+					\node at (11.75,15.5625) {$\binom{0}{0}=1$};
 					
 					\draw (8.875,14.875) rectangle (11.625,13.5);
-					\node at (9.5,14.1875) {$\binom{1}{0}=1$};
+					\node at (10.25,14.1875) {$\binom{1}{0}=1$};
 					
 					\draw (11.625,14.875) rectangle (14.375,13.5);
-					\node at (12.25,14.1875) {$\binom{1}{1}=1$};
+					\node at (13,14.1875) {$\binom{1}{1}=1$};
 					
 					\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
-					\node at (10.875,12.8125) {$\binom{2}{0}=1$};
+					\node at (11.75,12.8125) {$\binom{2}{1}=2$};
 					
 					\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
-					\node at (8.125,12.8125) {$\binom{2}{1}=2$};
+					\node at (8.875,12.8125) {$\binom{2}{0}=1$};
 					
 					\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
-					\node at (13.625,12.8125) {$\binom{2}{2}=1$};
+					\node at (14.375,12.8125) {$\binom{2}{2}=1$};
 					
 					\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
-					\node at (12.25,11.4375) {$\binom{3}{0}=1$};
+					\node at (13,11.4375) {$\binom{3}{2}=3$};
 					
 					\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
-					\node at (9.5,11.4375) {$\binom{3}{1}=3$};
+					\node at (10.25,11.4375) {$\binom{3}{1}=3$};
 					
 					\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
-					\node at (6.75,11.4375) {$\binom{3}{2}=3$};
+					\node at (7.5,11.4375) {$\binom{3}{0}=1$};
 					
 					\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
-					\node at (15,11.4375) {$\binom{3}{3}=1$};
+					\node at (15.75,11.4375) {$\binom{3}{3}=1$};
 				\end{circuitikz}
 			\end{figure}
 	\end{enumerate}

material/ab2.tex

@@ -249,32 +249,38 @@
 	
 	\begin{enumerate}
 		\setcounter{enumi}{1}
-		\item Stell eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Faktoren liegen.
-		\answer{3}
+		\item Stell eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Multiplikatoren liegen.
+		\answer{4}
 		
-		\item Stell eine Vermutung auf, wieso die Faktoren an den Randfächern am größten sind.
-		\answer{3}
+		\item Stelle eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Multiplikatoren liegen.
+		\answer{4}
 		
-		\item Argumentiere, wieso man auf lange Sicht verliert oder gewinnt.
-		\answer{3}
+		\item Stelle eine Vermutung auf, wieso an den Rändern aller Fächer die größten Multiplikatoren liegen.
+		\answer{4}
+		
+		\item Stelle Vermutungen auf, ob man auf lange Sicht gewinnt oder verliert. 
+		\answer{4}
 	\end{enumerate}
+	\newpage
 	
-	Mit dem Wissen über das Galtonbrett und seine Verteilung können wir nun fundierte Schlüsse über Plinko ziehen:
+	\section{Galton x Plinko Teil 2}
+	Mit dem Wissen über das Galtonbrett und seine Verteilung können wir nun fundierte Schlüsse über Plinko ziehen. Website: \url{https://plinko-web-game.netlify.app/}
 	\begin{enumerate}[itemsep=11pt]
-		\setcounter{enumi}{4}
-		\item Die Wahrscheinlichkeit mit der eine Kugel in Plinko nach links bzw. rechts hüpft ist \hrulefill
-		\item Nenne die Anzahl der Ebenen in Plinko. \hrulefill
+		\item Bestimme die Wahrscheinlichkeit, die eine Kugel in Plinko hat, dass Sie nach links oder Rechts hüpft? \hrulefill
+		\item Nenne die Anzahl der Ebenen in Plinko. \small(Hinweis: beginne bei 0 an zu zählen) \normalsize
+		\hrulefill
 		\item Gib die Anzahl an Faktoren (Fächern) an. \hrulefill
-		\item Gib nun eine Zufallsvariable $X\sim \text{Bin}_{n,p}$ an. \hrulefill
+		\item Gib nun eine Formel an, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine Kugel im Fach $k$ landet. \small (Hinweis: Galton x Pascal) \normalsize \hrulefill
 		\item Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
 		\begin{enumerate}[label=\alph*),itemsep=11pt]
-			\item Die Kugel landet beim Multiplikator $0,3x$. \hrulefill
+			\item Die Kugel landet beim Multiplikator $0,3 \times$. \hrulefill
 			\item Eine Kugel holt ihren gesetzten Betrag exakt wieder rein. \hrulefill
-			\item Eine Kugel landet in einem der beiden höchsten Faktoren. \hrulefill
-			\item Zwei Kugeln holen mit Einsatz von je 1\$ einen Gewinn von gesamt 4\$. \hrulefill
+			\item Eine Kugel landet in einem der beiden höchsten Multiplikatoren. \hrulefill
 		\end{enumerate}
 		\item Bestimme den Erwartungswert, wenn der Einsatz immer 1\$ ist.
+		\answer{3}
 		\item Überprüfe die These: "\textit{Je höher mein Einsatz ist, desto mehr bekomme ich raus.}".
+		\answer{3}
 
 	\end{enumerate}
 

material/ab2_Lös.tex

@@ -0,0 +1,293 @@
+\documentclass[a4paper]{article}
+\usepackage{array}
+\usepackage{adjustbox}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{caption}
+\usepackage[headsepline, footsepline]{scrlayer-scrpage}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{dsfont}
+\usepackage{float}
+\usepackage{ifthen}
+\usepackage[]{mathtools}
+\usepackage[]{mathbbol}
+\usepackage{multicol}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage[hidelinks]{hyperref}
+\usepackage[]{circuitikz}
+\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
+\usetikzlibrary{circuits.logic.IEC}
+\usepackage{tabularray}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tkz-graph}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{setspace}
+\usepackage{letltxmacro}
+\usepackage{wrapfig}
+
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}
+
+\newcommand{\bpf}[1]{%
+	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
+	\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
+	\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
+}
+
+
+
+\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
+\renewcommand{\figurename}{Grafik}
+\renewcommand{\partname}{Teil}
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
+
+\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}
+
+% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
+\newcounter{commoncounter}[subsection]
+\renewcommand{\thecommoncounter}{\thesection.\arabic{commoncounter}}
+
+\usepackage{xparse}
+
+\newcommand{\answer}[1]{%
+	\ifhmode\newline\newline\fi
+	\foreach \n in {1,...,#1}{\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\vspace{1em}}
+}
+
+
+\newcommand{\currentsection}{}
+\newcommand{\currentsubsection}{}
+
+\LetLtxMacro{\oldsection}{\section}
+\LetLtxMacro{\oldsubsection}{\subsection}
+
+\RenewDocumentCommand{\section}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
+	{ \oldsection*{#3} }% Stern-Variante → unverändert
+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsection[#2]{#3} }% Optionales TOC-Argument
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+		\renewcommand{\currentsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+\RenewDocumentCommand{\subsection}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
+	{ \oldsubsection*{#3} }%
+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsubsection[#2]{#3} }%
+		{ \oldsubsection{#3} }%
+		\renewcommand{\currentsubsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+
+
+% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
+\AtBeginDocument{\setcounter{commoncounter}{0}}
+
+% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
+\newtcolorbox{definitionbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Definition \thecommoncounter: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!darkgrey,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{satzbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Satz \thecommoncounter: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!yellow,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Zusatzaufgabe: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{merkbox}[1][]{
+	title={Merken: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+
+
+\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\definecolor{codeblue}{rgb}{0,0,0.8}
+\definecolor{codered}{rgb}{0.8,0,0}
+\definecolor{lightgray}{rgb}{0.95,0.95,0.95}
+
+\lstdefinestyle{CStyle}{
+	language=C,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
+	keywordstyle=\color{blue}\bfseries, % Schlüsselwörter fett und blau
+	stringstyle=\color{red}, % Strings rot
+	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
+	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
+	numbers=left, % Zeilennummern links
+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
+	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
+	captionpos=below,
+	showstringspaces=false,
+	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
+}
+
+
+\lstdefinestyle{ShellStyle}{
+	language=Bash,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
+	keywordstyle=\color{black}, % Schlüsselwörter fett und blau
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+	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
+	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
+	numbers=left, % Zeilennummern links
+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
+	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
+	captionpos=below,
+	showstringspaces=false,
+	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
+}
+
+
+% Umgebung für Listings mit Titel und Zähler
+\newenvironment{codeexample}[1][]{
+	\refstepcounter{commoncounter} % Zähler erhöhen
+	\lstset{
+		style=CSharpStyle,
+		caption={Listing \thecommoncounter: #1}, % Titel mit Zähler
+		label={listing:\thecommoncounter}
+	}
+}{}
+
+\makeatletter
+% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
+\let\c@subsubsection\c@commoncounter
+
+% Anzeige der Nummer angleichen
+\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
+\makeatother
+
+\setlength{\parindent}{0pt}
+
+
+
+\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
+\newcommand{\curtitle}{Galton x Plinko}
+
+\title{\curtitle}
+\author{Fierke, Janik, Weidlich}
+\pagestyle{scrheadings}
+\date{\curdate}
+\begin{document}
+	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
+	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
+	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
+	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
+	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
+	
+	\setcounter{section}{1}
+	\section{\curtitle}
+	
+	{
+		\begin{wrapfigure}{r}{0.2\textwidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=0.7\linewidth]{eurox2.png}
+			
+		\end{wrapfigure}
+		
+		Plinko ist ein Glücksspiel aus den 1980er Jahren. Hierbei lässt man einen Ball von oben auf Stäbchen fallen, die wie eine Pyramide angeordnet sind. Ganz unten gibt es Fächer, bei denen der eingesetzte Geldbetrag abhängig vom Fach mit einem bestimmten Faktor multipliziert wird.
+		
+		\begin{enumerate}
+			
+			\item Probiert dich auf der Webseite {\color{blue}\hyperref{https://plinko-web-game.netlify.app/}{}{}{plinko-web-game.netlify.app}} einmal aus! 
+			
+			
+		\end{enumerate}
+	}
+	
+	\begin{enumerate}
+		\setcounter{enumi}{1}
+		\item Stell eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Faktoren liegen.\\
+		\textit{\color{olive}Weil in der Mitte die meisten Kugeln hinfallen werden.}\\
+		
+		\item Stell eine Vermutung auf, wieso die Faktoren an den Randfächern am größten sind.\\
+		\textit{\color{olive}Weil dort die wenigsten Kugeln hinfallen werden.}\\
+		
+		\item Argumentiere, wieso man auf lange Sicht verliert oder gewinnt.\\
+		\textit{\color{olive}individuell}
+	\end{enumerate}
+	
+	Mit dem Wissen über das Galtonbrett und seine Verteilung können wir nun fundierte Schlüsse über Plinko ziehen:
+	\begin{enumerate}[itemsep=11pt]
+		\setcounter{enumi}{4}
+		\item Die Wahrscheinlichkeit mit der eine Kugel in Plinko nach links bzw. rechts hüpft ist \textit{\color{olive}50\%}
+		\item Nenne die Anzahl der Ebenen in Plinko. \textit{\color{olive}16}
+		\item Gib die Anzahl an Faktoren (Fächern) an. \textit{\color{olive}17}
+		\item Gib nun eine Zufallsvariable $X\sim \text{Bin}_{n,p}$ an.\\ \textit{\color{olive}$X\sim\text{Bin}_{16,0,5}$ mit $\mathbb{P}(X=k)=\binom{16}{k}\cdot 0.5^{16}$, wobei $k=\{0,\dots,16\}$}
+		\item Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
+		\begin{enumerate}[label=\alph*),itemsep=11pt]
+			\item Die Kugel landet beim Multiplikator $0,3x$. \textit{\color{olive}Faktor $0,3x$  entspricht dem Fach 8.\\
+			$\mathbb{P}(X=8)=\binom{16}{8}\cdot 0.5^{16}=0.196380615234375\approx19,6\%$}
+			\item Eine Kugel holt ihren gesetzten Betrag exakt wieder rein. \textit{\color{olive}Die Kugel trifft ein Fach mit dem Faktor $1x$, also Fach 6 oder 10.\\
+			$\mathbb{P}(X=6)+\mathbb{P}(X=10)=\left(\binom{16}{6}+\binom{16}{10}\right)\cdot 0.5^{16}=0.244384765625\approx24,4\%$} 
+			\item Eine Kugel landet in einem der beiden höchsten Faktoren. \textit{\color{olive}Die Kugel trifft Fach 0 oder 16.\\$\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=16)=\left(\binom{16}{0}+\binom{16}{16}\right)\cdot 0.5^{16}=0.000030517578125\approx0,003\%$}
+			%			\item Zwei Kugeln holen mit Einsatz von je 1\$ einen Gewinn von gesamt 4\$. \hrulefill
+		\end{enumerate}
+		\item Bestimme den Erwartungswert, wenn der Einsatz immer 1\$ ist.
+		\textit{\color{olive}\begin{align*}
+				\mathbb{E}(X)&=110\$\cdot\mathbb{P}(X=0)+41\$\cdot\mathbb{P}(X=1)+\dots+41\$\cdot\mathbb{P}(X=15)+110\$\cdot\mathbb{P}(X=16)-1\$\\
+				&=-0.0101165771484375 
+		\end{align*}}
+		\item Überprüfe die These: "\textit{Je höher mein Einsatz ist, desto mehr bekomme ich raus.}".
+		\textit{\color{olive}Zum Einen ist die These richtig, da man bei einem Hauptgewinn mehr gewinnt, als wenn
+			man weniger gesetzt hätte. Man kann jedoch auch deutlich mehr verlieren. Unter
+			Betrachtung des Erwartungswertes werden die Auszahlungssummen gemäß des
+			Einsatzes mutlipliziert. Das heißt $k\cdot\mathbb{E}(X)$ wenn $k$ der Einsatz ist. Da $\mathbb{E}(X)<0\Rightarrow k\cdot\mathbb{E}(X)<\mathbb{E}(X)\text{ wenn }k>1$}
+		
+	\end{enumerate}
+	
+	
+	\label{LastPage}
+\end{document}

material/ab3.tex

@@ -221,7 +221,7 @@
 \sethlcolor{black!10} % Farbe des "Textmarkers"
 
 \newcommand{\curdate}{09.07.2026}
-\newcommand{\curtitle}{Galton x ZSG Movire-Laplace}
+\newcommand{\curtitle}{Galton x LGS}
 
 \title{\curtitle}
 \author{Fierke, Janik, Weidlich}
@@ -236,7 +236,7 @@
 	
 	\setcounter{section}{2}
 	\section{\curtitle}
-	Das Galtonbrett lässt sich wir folgt formal mathematisch formulieren:
+	Das Galtonbrett lässt sich wie folgt formal mathematisch formulieren:
 	\begin{definitionbox}[Modell des Galtonbretts]
 		Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
 		Der Fall einer Murmel durch ein Galtonbrett mit \hl{$\bm{n \in \mathbb{N}}$} Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei \hl{$\bm{X_i \in \{0, 1\}}$}.
@@ -267,7 +267,7 @@
 	\begin{enumerate}
 		\item Probiere das ganze selbst einmal auf folgender Website aus: \url{https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm}.\\ Was fällt dir auf? \\ \textit{Achtung: stelle p = 0,5 für ein symmetrisches Brett ein!}
 		\answer{1}
-		\item Recherchiere selbstständig und zeichne den Graphen der Normalverteilung über die Verteilung des Galtonbrettes ein:
+		\item Recherchiere selbstständig und zeichne den Graphen der Dichtefunktion der Normalverteilung über die Verteilung des Galtonbrettes ein:
 		\begin{figure}[H]
 			\centering
 			\includegraphics[width=0.8\linewidth]{../images/AB3_GaltonVersuche.png}
@@ -288,25 +288,25 @@
 		\end{table}
 	\end{enumerate}
 	Wir wollen nun das schöne mathematische Phänomen, welches sich in Aufgabe 2.2 offenbart, genauer betrachten. Hierzu formulieren wir dies zuerst mathematisch formal sauber:
-	\begin{satzbox}[Zentraler Grenzwertsatz von de Movire-Laplace]
+	\begin{satzbox}[Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]
 		Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit. (Beispielsweise bei einem Galtonbrett)\\
-		Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
+		Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Glockenkurve (Dichtefunktion der Normalverteilung) annähern:
 		\[
-			S_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)
+			P(S_n=k) \sim f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k)
 		\]
-		wobei $\mathbb{E}(X)=\mu$, $Var(X)=\sigma ^2$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
+		wobei $\mathbb{E}(S_n)=\mu$, $Var(S_n)=\sigma ^2$ und $ z = \frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
 	\end{satzbox}
-	Diesen Satz wollen wir nun Semi-Formal beweisen.\\
+	Diesen Satz wollen wir nun semiformal beweisen.\\
 	\textbf{\underline{Aufgabe 3:}} Fülle die Lücken im Beweis aus. Wenn du dir unsicher bist kannst du dir alle fehlenden Textbausteine auf dem Zusatzblatt ansehen.
 	\begin{enumerate}
 		\item Bevor wir den Satz beweisen, ist es wichtig, die Aussage zu verstehen. Formuliere die Kernaussage den Satzes kurz in eigenen Worten:
 			\answer{3}
 		\item Zuerst muss uns nochmal klar werden, was unser Ausgangspunkt und und das Ziel ist:\\
 				Ausgangspunkt: $P(S_n = k) = $ \antwortbox[6cm] \vspace{1em} \\
-				Ziel: $\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}=$ \antwortbox[6cm]
-		\item Wir wollen die Binomialverteilung als diskrete Verteilung in eine stetige Verteilung überführen. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
+				Ziel: $f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}=$ \antwortbox[6cm]
+		\item Wir wollen die Zähldichte der Binomialverteilung (diskrete Verteilung) mithilfe der Dichte einer einer stetige Verteilung approximieren. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der reellen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
 		
-		Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$ ein:
+		Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion (für $\Gamma(x+1)$) abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$ ein:
 		\begin{figure}[H]
 			\centering
 			\begin{tikzpicture}
@@ -328,21 +328,21 @@
 					thick
 					]
 					{sqrt(2*pi)*((x+1/2)^(x+1/2))*exp(-(x+1/2))};
-					\addlegendentry{$\Gamma(x)$}
+					\addlegendentry{$\Gamma(x+1)$}
 				\end{axis}
 			\end{tikzpicture}
 		\end{figure}
-		Mithilfe dieser Funktion lässt sich die Fakultät leicht approximieren. Diese Approximation nennt sich Sterling Approximation und besagt:
+		Mithilfe dieser Funktion lässt sich die Fakultät leicht approximieren. Diese Approximation nennt sich Stirling-Approximation und besagt:
 		\[
-			n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sim \Gamma(n)
+			n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sim \Gamma(n+1)
 		\] %Stimmt das mit dem Gamma?
 		Setzen wir das in die Gleichung für $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir nach umstellen:
 		\[
 			P(S_n = k) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}
 		\]
-		\item Aus dieser Formel lässt sich nun leicht schon einmal der Vorfaktor der Normalverteilung erschließen. Hierzu und zu Vereinfachung weiterer Rechnungen standardisieren wir $S_n$. Dies entspricht auch einer einfachen Substitution und daher vollkommen legitim. Hierzu definieren wir:
+		\item Aus dieser Formel lässt sich nun leicht schon einmal der Vorfaktor der Glockenkurve erschließen. Hierzu und zu Vereinfachung weiterer Rechnungen standardisieren wir $S_n$. Dies entspricht auch einer einfachen Substitution und daher vollkommen legitim. Hierzu definieren wir:
 		\[
-			Z_n = Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sigma(S_n)}
+			Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sigma(S_n)}
 		\]
 		nimmt $Z_n$ die folgenden Werte an:
 		\[
@@ -385,14 +385,14 @@
 		Nenne die Rechengesetze und Substitutionen, welche vermutlich für diese Umformung genutzt wurden!
 		\answer{3}
 		
-		Diese Darstellung des Thermes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Tailor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
+		Diese Darstellung des Termes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Taylor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
 		\[
 			ln(1-\alpha) \sim -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}
 		\]
 		\[
 			ln(1+\alpha) \sim \alpha-\frac{\alpha^2}{2}
 		\]
-		Mithilfe einiger Umformungen zufallen dadurch die sich ähnlich sehenden Terme, was zu folgendem, erstaunlichem, Resultat führt:
+		Mithilfe einiger Umformungen entfallen dadurch die sich ähnlich sehenden Terme, was zu folgendem, erstaunlichem, Resultat führt:
 		\[
 			(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \sim -\frac{z^2}{2}
 		\]
@@ -407,7 +407,7 @@
 			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
 			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}
 		\end{align*}
-		Daher konvergiert eine Binomialverteilte Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.
+		Daher nähert sich die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
 	\end{enumerate}
 	\label{LastPage}
 \end{document}

material/ab3_Lös.tex

@@ -291,13 +291,13 @@
 	\end{enumerate}
 	\vspace{4em}
 	Wir wollen nun das schöne mathematische Phänomen, welches sich in Aufgabe 2.2 offenbart, genauer betrachten. Hierzu formulieren wir dies zuerst mathematisch formal sauber:
-	\begin{satzbox}[Zentraler Grenzwertsatz von de Movire-Laplace]
+	\begin{satzbox}[Lokaler Grenzwertsatz von de Movire-Laplace]
 		Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit. (Beispielsweise bei einem Galtonbrett)\\
-		Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
+		Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Glockenkurve (Dichtefunktion der Normalverteilung) annähern:
 		\[
-		S_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)
+		P(S_n=k) \sim f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k)
 		\]
-		wobei $\mathbb{E}(X)=\mu$, $Var(X)=\sigma ^2$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
+		wobei $\mathbb{E}(S_n)=\mu$, $Var(S_n)=\sigma ^2$ und $ z = \frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
 	\end{satzbox}
 	Diesen Satz wollen wir nun Semi-Formal beweisen.\\
 	\textbf{\underline{Aufgabe 3:}} Fülle die Lücken im Beweis aus. Wenn du dir unsicher bist kannst du dir alle fehlenden Textbausteine auf dem Zusatzblatt ansehen.
@@ -308,8 +308,8 @@
 		\item Zuerst muss uns nochmal klar werden, was unser Ausgangspunkt und und das Ziel ist:
 		\vspace{3em}
 		Ausgangspunkt: $P(S_n = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$ \vspace{2em} \\
-		Ziel: $\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)}$ \vspace{3em}
-		\item Wir wollen die Binomialverteilung als diskrete Verteilung in eine stetige Verteilung überführen. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
+		Ziel: $f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)}$ \vspace{3em}
+		\item Wir wollen die Zähldichte der Binomialverteilung (diskrete Verteilung) mithilfe der Dichte einer einer stetige Verteilung approximieren. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
 		
 		Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4\}$ ein:
 		\begin{figure}[H]
@@ -334,7 +334,7 @@
 					thick
 					]
 					{sqrt(2*pi)*((x+1/2)^(x+1/2))*exp(-(x+1/2))};
-					\addlegendentry{Fortsetzung}
+					\addlegendentry{$\Gamma(x+1)$}
 					
 					\addplot[
 					only marks,
@@ -361,9 +361,9 @@
 		\[
 		P(S_n = k) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}
 		\]
-		\item Aus dieser Formel lässt sich nun leicht schon einmal der Vorfaktor der Normalverteilung erschließen. Hierzu und zu Vereinfachung weiterer Rechnungen standardisieren wir $S_n$. Dies entspricht auch einer einfachen Substitution und daher vollkommen legitim. Hierzu definieren wir:
+		\item Aus dieser Formel lässt sich nun leicht schon einmal der Vorfaktor der Glockenkurve erschließen. Hierzu und zu Vereinfachung weiterer Rechnungen standardisieren wir $S_n$. Dies entspricht auch einer einfachen Substitution und daher vollkommen legitim. Hierzu definieren wir:
 		\[
-		Z_n = Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sigma(S_n)}
+			Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sigma(S_n)}
 		\]
 		nimmt $Z_n$ die folgenden Werte an:
 		\[
@@ -437,7 +437,7 @@
 			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)} \vspace{1em} \\
 			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}
 		\end{align*}
-		Daher konvergiert eine Binomialverteilte Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.
+		Daher nährt sich die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
 	\end{enumerate}
 	\label{LastPage}
 \end{document}