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content/Anhang.tex

@@ -1,5 +1,56 @@
 \section{Arbeitsblatt 1}
-Das Arbeitsblatt beschäftigt sich mit dem pascalschen Dreieck und einer ersten Idee des Galtonbretts.
+Die Schülerinnen und Schüler des Matheclubs befinden sich in der Regel in der 7ten bis zur
+10ten Klasse. Nehmen wir an, dass man ab der 9ten Klasse erst beitreten kann,
+beziehungsweise dieses Thema erst mit Neuntklässlern behandelt. Dann ist es angedacht, die
+Aufgaben Schritt für Schritt aufeinander aufbauen zu lassen. Zunächst sollte jedoch der
+Binomialkoeffizient Formal definiert werden. Das dient dann als Wiederholung oder auch der
+Einführung.\\
+
+Die Verbildlichung des Binomialkoeffizienten und des Pascalschen Dreiecks kann dabei helfen,
+ein mathematisches Verständnis des Binomialkoeffizienten auszubauen mithilfe einer
+rekursiven Vorschrift. Im Zuge dessen, kann zwischen den Blättern „Pascalsches Dreieck“ und
+„Galton x Pascal“ ein kleiner Exkurs zu den binomischen Formeln unternommen werden, in
+welchem genau die Binomialkoeffizienten vorkommen. Hierbei kann man die Verallgemeinerung
+der binomischen Formel aufzeigen und als Vereinfachung dieser darstellen, damit man nicht viel
+auswendig lernen oder anstrengend Klammern ausmultiplizieren muss.\\
+
+Der Einstieg darin ist mit dem einfachen Berechnen des Binomialkoeffizienten gestaltet, wobei
+die zwei Basisfälle $k = 0$ und $k = n$ besonders thematisiert werden, welche für die nachfolgenden
+Aufgaben relevant sind. Da die Berechnung des Binomialkoeffizienten mit der gegebenen Formel
+nicht besonders schwer ist, wird der Fokus eher auf die Basisfälle gelenkt.\\
+
+Aus der Grundschule sind den Schülerinnen und Schülern sicherlich auch die
+Aufgabenpyramiden bekannt, in welchen man ursprünglich mithilfe einer Vorschrift die
+Pyramide von unten nach oben aufbaut. Hierbei wird die Pyramide jedoch von oben nach unten
+aufgebaut mithilfe von Rekursion und ebenfalls dem zurückführen auf vorherberechneten
+Ergebnissen.\\
+
+Die Gleichheit der Pyramide und der Binomialkoeffizienten zeigen auf wie auf verschiedene
+Weisen dasselbe Konstrukt (Pascalsches Dreieck) bestimmt werden können. Außerdem dient
+das gleichzeitig als die oben etwas zu kurz geratene Wiederholung zur Berechnung der
+Binomialkoeffizienten.\\
+
+Die Zusatzaufgabe soll den Ansatz der Rekursion noch einmal verdeutlichen und eine
+Verbindung zum Fach Informatik herstellen. Da man auch mit Computeralgorithmen
+Zufallsexperimente darstellen und durchführen kann.\\
+
+Auf dem nachfolgenden Blatt wird das Galtonbrett kurz und einfach von den Schülerinnen und
+Schülern mithilfe weniger vorgaben modelliert. Sinnvoll ist es, vorher ein wenig das Realmodell
+des Galtonbretts darzustellen. Beispielsweise mithilfe eines echten Galtonbretts für den
+Schreibtisch, welches im Mathe Club einmal umhergereicht wird.\\
+
+Das Einzeichnen der Pfade dient den Schülerinnen und Schülern als Verdeutlichung, wo die
+Kugel entlang geht, und das Abzählen dient dem Ziel alle möglichen Pfade zu erkennen und
+somit ein Verständnis dafür zu entwickeln. Dadurch wird ein mentales Modell entwickelt, in
+welchem man ebenfalls kleine Galtonbretter sich vorstellen kann. Auch der Zusammenhang mit
+der Anzahl möglicher Pfade und dem Pascalschen Dreieck soll dargestellt werden. Hierbei kann
+auch ein \hyperref{https://youtu.be/UCmPmkHqHXk?si=aPdOp5CN0TVNWSuT\&t=186}{}{}{Video} bei welchem
+der Zusammenhang bei großen Schwierigkeiten noch einmal auf eine andere Weise dargestellt
+wird.\\
+
+Die letzte Aufgabe des Blattes soll die Schülerinnen und Schüler in die Richtung der
+Binomialverteilung leiten. Die dabei entstehende Formel kann aber auch mithilfe des gesamten
+Kurses erarbeitet werden.
 
 \includepdf[
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@@ -7,16 +58,25 @@ frame=true,
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+
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 \section{Arbeitsblatt 2}
-Das zweite Arbeitsblatt ermöglicht die Beschäftigung mit dem Glücksspiel "Plinko". Die Schüler*innen sollen das Spiel kennenlernen und erkennen, warum Glücksspiel so gefährlich ist.
+Dieses Aufgabenblatt soll einen außermathematischen Kontext darstellen, in welchem das
+Galtonbrett zu finden ist. Im Stochastikunterricht werden häufig Glücksspiele analysiert, um
+aufzuzeigen, dass diese in den meisten Fällen nicht fair sind. Bei Plinko ist es genauso und lässt
+sich ebenso einordnen wie die Kontexte und Beispiele aus dem normalen Stochastikunterricht.\\
+
+Zunächst sollen Hypothesen beziehungsweise Vermutungen aufgestellt werden, welche am
+Ende des theoretischen Einblicks in die Binomialverteilung überprüft werden können. Darauf
+zielen diese beiden Arbeitsblätter ab, damit ein Lebensweltbezug für die Schülerinnen und
+Schüler gegeben wird, anhand dessen man das Galtonbrett rechtfertigen kann.\\
+
+Die \hyperref{https://plinko-web-game.netlify.app/}{}{}{Simulation von Plinko} bietet für die Schülerinnen und Schüler zudem ein spaßiger
+und nicht so trockner Einstieg in das Galtonbrett. Sinnvoll für die Durchführung und das
+Überprüfen der Vermutungen könnte die Lehrkraft am Anfand der Stunde die Simulation auf
+Automatisch stellen und dann kann man am Ende des Unterrichts schonmal eine Aussage über
+die Fairness und den Erwartungswert des Spiels treffen.
 
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material/ab2.tex

@@ -271,7 +271,7 @@
 			\item Die Kugel landet beim Multiplikator $0,3x$. \hrulefill
 			\item Eine Kugel holt ihren gesetzten Betrag exakt wieder rein. \hrulefill
 			\item Eine Kugel landet in einem der beiden höchsten Faktoren. \hrulefill
-			\item Zwei Kugeln holen mit Einsatz von je 1\$ einen Gewinn von gesamt 4\$. \hrulefill
+%			\item Zwei Kugeln holen mit Einsatz von je 1\$ einen Gewinn von gesamt 4\$. \hrulefill
 		\end{enumerate}
 		\item Bestimme den Erwartungswert, wenn der Einsatz immer 1\$ ist.
 		\item Überprüfe die These: "\textit{Je höher mein Einsatz ist, desto mehr bekomme ich raus.}".

material/ab2_Lös.tex

@@ -0,0 +1,293 @@
+\documentclass[a4paper]{article}
+\usepackage{array}
+\usepackage{adjustbox}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{caption}
+\usepackage[headsepline, footsepline]{scrlayer-scrpage}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{dsfont}
+\usepackage{float}
+\usepackage{ifthen}
+\usepackage[]{mathtools}
+\usepackage[]{mathbbol}
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+\usepackage[]{circuitikz}
+\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
+\usetikzlibrary{circuits.logic.IEC}
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+\usepackage{letltxmacro}
+\usepackage{wrapfig}
+
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}
+
+\newcommand{\bpf}[1]{%
+	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
+	\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
+	\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
+}
+
+
+
+\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
+\renewcommand{\figurename}{Grafik}
+\renewcommand{\partname}{Teil}
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+
+\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}
+
+% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
+\newcounter{commoncounter}[subsection]
+\renewcommand{\thecommoncounter}{\thesection.\arabic{commoncounter}}
+
+\usepackage{xparse}
+
+\newcommand{\answer}[1]{%
+	\ifhmode\newline\newline\fi
+	\foreach \n in {1,...,#1}{\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\vspace{1em}}
+}
+
+
+\newcommand{\currentsection}{}
+\newcommand{\currentsubsection}{}
+
+\LetLtxMacro{\oldsection}{\section}
+\LetLtxMacro{\oldsubsection}{\subsection}
+
+\RenewDocumentCommand{\section}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
+	{ \oldsection*{#3} }% Stern-Variante → unverändert
+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsection[#2]{#3} }% Optionales TOC-Argument
+		{ \oldsection{#3} }%
+		\renewcommand{\currentsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+\RenewDocumentCommand{\subsection}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
+	{ \oldsubsection*{#3} }%
+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsubsection[#2]{#3} }%
+		{ \oldsubsection{#3} }%
+		\renewcommand{\currentsubsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+
+
+% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
+\AtBeginDocument{\setcounter{commoncounter}{0}}
+
+% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
+\newtcolorbox{definitionbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Definition \thecommoncounter: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!darkgrey,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{satzbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Satz \thecommoncounter: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!yellow,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Zusatzaufgabe: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{merkbox}[1][]{
+	title={Merken: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+
+
+\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\definecolor{codeblue}{rgb}{0,0,0.8}
+\definecolor{codered}{rgb}{0.8,0,0}
+\definecolor{lightgray}{rgb}{0.95,0.95,0.95}
+
+\lstdefinestyle{CStyle}{
+	language=C,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
+	keywordstyle=\color{blue}\bfseries, % Schlüsselwörter fett und blau
+	stringstyle=\color{red}, % Strings rot
+	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
+	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
+	numbers=left, % Zeilennummern links
+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
+	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
+	captionpos=below,
+	showstringspaces=false,
+	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
+}
+
+
+\lstdefinestyle{ShellStyle}{
+	language=Bash,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
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+	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
+	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
+	numbers=left, % Zeilennummern links
+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
+	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
+	captionpos=below,
+	showstringspaces=false,
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+}
+
+
+% Umgebung für Listings mit Titel und Zähler
+\newenvironment{codeexample}[1][]{
+	\refstepcounter{commoncounter} % Zähler erhöhen
+	\lstset{
+		style=CSharpStyle,
+		caption={Listing \thecommoncounter: #1}, % Titel mit Zähler
+		label={listing:\thecommoncounter}
+	}
+}{}
+
+\makeatletter
+% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
+\let\c@subsubsection\c@commoncounter
+
+% Anzeige der Nummer angleichen
+\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
+\makeatother
+
+\setlength{\parindent}{0pt}
+
+
+
+\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
+\newcommand{\curtitle}{Galton x Plinko}
+
+\title{\curtitle}
+\author{Fierke, Janik, Weidlich}
+\pagestyle{scrheadings}
+\date{\curdate}
+\begin{document}
+	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
+	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
+	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
+	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
+	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
+	
+	\setcounter{section}{1}
+	\section{\curtitle}
+	
+	{
+		\begin{wrapfigure}{r}{0.2\textwidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=0.7\linewidth]{eurox2.png}
+			
+		\end{wrapfigure}
+		
+		Plinko ist ein Glücksspiel aus den 1980er Jahren. Hierbei lässt man einen Ball von oben auf Stäbchen fallen, die wie eine Pyramide angeordnet sind. Ganz unten gibt es Fächer, bei denen der eingesetzte Geldbetrag abhängig vom Fach mit einem bestimmten Faktor multipliziert wird.
+		
+		\begin{enumerate}
+			
+			\item Probiert dich auf der Webseite {\color{blue}\hyperref{https://plinko-web-game.netlify.app/}{}{}{plinko-web-game.netlify.app}} einmal aus! 
+			
+			
+		\end{enumerate}
+	}
+	
+	\begin{enumerate}
+		\setcounter{enumi}{1}
+		\item Stell eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Faktoren liegen.\\
+		\textit{\color{olive}Weil in der Mitte die meisten Kugeln hinfallen werden.}\\
+		
+		\item Stell eine Vermutung auf, wieso die Faktoren an den Randfächern am größten sind.\\
+		\textit{\color{olive}Weil dort die wenigsten Kugeln hinfallen werden.}\\
+		
+		\item Argumentiere, wieso man auf lange Sicht verliert oder gewinnt.\\
+		\textit{\color{olive}individuell}
+	\end{enumerate}
+	
+	Mit dem Wissen über das Galtonbrett und seine Verteilung können wir nun fundierte Schlüsse über Plinko ziehen:
+	\begin{enumerate}[itemsep=11pt]
+		\setcounter{enumi}{4}
+		\item Die Wahrscheinlichkeit mit der eine Kugel in Plinko nach links bzw. rechts hüpft ist \textit{\color{olive}50\%}
+		\item Nenne die Anzahl der Ebenen in Plinko. \textit{\color{olive}16}
+		\item Gib die Anzahl an Faktoren (Fächern) an. \textit{\color{olive}17}
+		\item Gib nun eine Zufallsvariable $X\sim \text{Bin}_{n,p}$ an.\\ \textit{\color{olive}$X\sim\text{Bin}_{16,0,5}$ mit $\mathbb{P}(X=k)=\binom{16}{k}\cdot 0.5^{16}$, wobei $k=\{0,\dots,16\}$}
+		\item Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
+		\begin{enumerate}[label=\alph*),itemsep=11pt]
+			\item Die Kugel landet beim Multiplikator $0,3x$. \textit{\color{olive}Faktor $0,3x$  entspricht dem Fach 8.\\
+			$\mathbb{P}(X=8)=\binom{16}{8}\cdot 0.5^{16}=0.196380615234375\approx19,6\%$}
+			\item Eine Kugel holt ihren gesetzten Betrag exakt wieder rein. \textit{\color{olive}Die Kugel trifft ein Fach mit dem Faktor $1x$, also Fach 6 oder 10.\\
+			$\mathbb{P}(X=6)+\mathbb{P}(X=10)=\left(\binom{16}{6}+\binom{16}{10}\right)\cdot 0.5^{16}=0.244384765625\approx24,4\%$} 
+			\item Eine Kugel landet in einem der beiden höchsten Faktoren. \textit{\color{olive}Die Kugel trifft Fach 0 oder 16.\\$\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=16)=\left(\binom{16}{0}+\binom{16}{16}\right)\cdot 0.5^{16}=0.000030517578125\approx0,003\%$}
+			%			\item Zwei Kugeln holen mit Einsatz von je 1\$ einen Gewinn von gesamt 4\$. \hrulefill
+		\end{enumerate}
+		\item Bestimme den Erwartungswert, wenn der Einsatz immer 1\$ ist.
+		\textit{\color{olive}\begin{align*}
+				\mathbb{E}(X)&=110\$\cdot\mathbb{P}(X=0)+41\$\cdot\mathbb{P}(X=1)+\dots+41\$\cdot\mathbb{P}(X=15)+110\$\cdot\mathbb{P}(X=16)-1\$\\
+				&=-0.0101165771484375 
+		\end{align*}}
+		\item Überprüfe die These: "\textit{Je höher mein Einsatz ist, desto mehr bekomme ich raus.}".
+		\textit{\color{olive}Zum Einen ist die These richtig, da man bei einem Hauptgewinn mehr gewinnt, als wenn
+			man weniger gesetzt hätte. Man kann jedoch auch deutlich mehr verlieren. Unter
+			Betrachtung des Erwartungswertes werden die Auszahlungssummen gemäß des
+			Einsatzes mutlipliziert. Das heißt $k\cdot\mathbb{E}(X)$ wenn $k$ der Einsatz ist. Da $\mathbb{E}(X)<0\Rightarrow k\cdot\mathbb{E}(X)<\mathbb{E}(X)\text{ wenn }k>1$}
+		
+	\end{enumerate}
+	
+	
+	\label{LastPage}
+\end{document}