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content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -47,7 +47,7 @@ Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkenne
 	\[
 	P(S_n = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}
 	\]
-	Nach der Stirling-Formel gilt für große Zahlen näherungsweise $n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung:
+	Nach \cref{satz:stirlingformel} gilt für große Zahlen näherungsweise $n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung:
 	\begin{align}
 			P(S_n = k) &\approx \frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{(\sqrt{2\pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k)(\sqrt{2\pi (n-k)} \left(\frac{(n-k)}{e}\right)^{(n-k)})} p^k q^{n-k} \nonumber \\
 			&= \frac{n^n \sqrt{2\pi n}}{k^k \sqrt{2\pi k} (n-k)^{n-k} \sqrt{2\pi (n-k)}} p^k q^{n-k} \label{eq1:e}\\
@@ -163,9 +163,8 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
 \end{proof}
 \begin{bemerkung}
 	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben. Da auch in abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
-	
-	Wenn wir uns beide Funktionen einmal in GeoGebra plotten, können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x_0=0$ herum sehr ähnlich sind. 
 \end{bemerkung}
+Im Plot können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x_0=0$ herum sehr ähnlich sind. 
 \begin{figure}[H]
 	\centering
 	\begin{tikzpicture}
@@ -218,7 +217,7 @@ Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
 \begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}
 	Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
 	\[
-		n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
+		n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
 	\]
 	Das bedeutet
 	\[

galton.tex

@@ -24,7 +24,7 @@
 	\end{textblock*}
 
 	\begin{textblock*}{3cm}(\dimexpr\paperwidth-3.5cm\relax,1.2cm) 
-		\includegraphics[width=2.5cm]{images/ulogo.pdf}
+		\includegraphics[width=2.5cm]{images/logo_up_math.png}
 	\end{textblock*}
 
     \maketitle