fix: Nummerierung vereinheitlich

content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -318,7 +318,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 		=&\frac{2n+1}{2}\ln(\frac{n+1}{n})-1\\
 		=&(2n+1)\cdot\frac{1}{2}\ln\frac{1+\frac{1}{2n+1}}{1-\frac{1}{2n1}}-1
 	\end{align*}
-	Für $-1<x<1$ gilt allgemein
+	Wegen der Potenzreihenentwicklung des Logarithmus gilt für $-1<x<1$ gilt allgemein
 	\begin{align*}
 		\ln(1+x)&=\sum_{i=1}^{\infty}{(-1)^{i+1}\frac{x^i}{i}}\\
 		\ln(1-x)&=\sum_{i=1}^{\infty}{(-1)^{i+1}\frac{(-x)^i}{i}}\\
@@ -363,7 +363,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 		&\left(d_n-\frac{1}{12n}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)}\right)\\
 		<\quad0\quad<\quad&\left(d_n-\frac{1}{12n+1}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)+1}\right)
 	\end{align*}
-	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim d_n$.
+	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim_{n\rightarrow\infty} d_n$.
 	\begin{align*}
 		d_n-\frac{1}{12n}\quad&<\quad c\quad<\quad d_n-\frac{1}{12n+1}\\
 		c+\frac{1}{12n+1}\quad&<\quad d_n\quad<\quad c+\frac{1}{12n}
@@ -382,6 +382,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 		e^c e^{\frac{1}{12n+1}} &< n! \left(\frac{n}{e}\right)^{-n} n^{-\frac{1}{2}} < e^c e^{\frac{1}{12n}} \\
 		e^c \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\frac{1}{12n+1}} &< n! < e^c \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\frac{1}{12n}}
 	\end{align*}
+	Die Ungleichung bleibt aufgrund der Monotonie der $e$-Funktion bestehen.\\
 	Es bleibt zu zeigen, dass
 	\[
 		e^c=\sqrt{2\pi}
@@ -408,7 +409,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 	\begin{align*}
 		&& 0 &< x < \frac{\pi}{2} \\
 		&\Rightarrow & 0 &< \sin x < 1 \\
-		&\Rightarrow & \sin^{2n-1} x &> \sin^{2n} x > \sin^{2n+1} x \\
+		&\Rightarrow & \sin^{2n+1} x &< \sin^{2n} x < \sin^{2n-1} x \\
 		&\Rightarrow & I_{2n-1} &> I_{2n} > I_{2n+1} \\
 		&\Rightarrow & \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} &> \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} > 1 \\
 		&\Rightarrow & \frac{2n+1}{2n} &> \frac{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1) \cdot (2n+1)}{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n)} \cdot \frac{\pi}{2} > 1 \\
@@ -416,7 +417,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 		&\Rightarrow & \frac{\pi}{2} &= \lim \left( \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} \right)^2 \cdot \frac{1}{2n+1} \\
 		&& &= \lim \frac{2^{4n} (n!)^4}{((2n)!)^2 (2n+1)}
 	\end{align*}
-	Es ist also für $\lim_{n\rightarrow\infty}{\alpha_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\beta_n}=0$:
+	Es ist also für zwei gegen $0$ konvergierende Terme  $\lim_{n\rightarrow\infty}{\alpha_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\beta_n}=0$:
 	\begin{align*}
 		n!&=e^c\sqrt{n}n^ne^{-n}e^{\alpha_n}\\
 		(2n)!&=e^c\sqrt{2n}2^{2n}n^{2n}e^{-2n}e^{\beta_n}
@@ -542,7 +543,7 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
 	wobei das Lagrange-Restglied etwa $R_2(x)\sim O(x^3)$, denn
 	\begin{align*}
 		R_2(x)&=\frac{1}{(2+1)!}\cdot(\ln(1-\xi))^{(2+1)}\cdot(x-0)^{(2+1)}\\
-		&=-\frac{1}{3(1-\xi)^3}\cdot x^3\quad\text{für ein }\xi\in(0,x)&&\text{\cref{lem:dreimalableiten}}\\
+		&=-\frac{1}{3(1-\xi)^3}\cdot x^3\quad\text{für ein }\xi\in(0,x)\\
 	\end{align*}
 	wobei nach der Landau-Notation gilt: $a\cdot x^n+b\in O(x^n)$
 	\[