fierke/galtonbrett
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fix: sim is now approx

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Elias Fierke
2026-06-03 15:20:16 +02:00
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commit 1715d0ab78
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@@ -47,7 +47,7 @@ Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkenne
\[ \[
P(S_n = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} P(S_n = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}
\] \]
Nach \cref{satz:stirlingformel} gilt für große Zahlen näherungsweise $n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung: Nach \cref{satz:stirlingformel} gilt für große Zahlen näherungsweise $n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung:
\begin{align} \begin{align}
P(S_n = k) &\approx \frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{(\sqrt{2\pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k)(\sqrt{2\pi (n-k)} \left(\frac{(n-k)}{e}\right)^{(n-k)})} p^k q^{n-k} \nonumber \\ P(S_n = k) &\approx \frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{(\sqrt{2\pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k)(\sqrt{2\pi (n-k)} \left(\frac{(n-k)}{e}\right)^{(n-k)})} p^k q^{n-k} \nonumber \\
&= \frac{n^n \sqrt{2\pi n}}{k^k \sqrt{2\pi k} (n-k)^{n-k} \sqrt{2\pi (n-k)}} p^k q^{n-k} \label{eq1:e}\\ &= \frac{n^n \sqrt{2\pi n}}{k^k \sqrt{2\pi k} (n-k)^{n-k} \sqrt{2\pi (n-k)}} p^k q^{n-k} \label{eq1:e}\\
@@ -89,7 +89,7 @@ Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
\begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel} \begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}
Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
\[ \[
n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
\] \]
Das bedeutet Das bedeutet
\[ \[