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%"ltex.language": "de-DE"
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Dies ist der zentrale Teil des Dokuments und soll (inhaltlich) den größten Teil des Dokuments ausmachen.
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\subsection{Beweis des zentralen Grenzwertsatzes}
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Das Galton-Brett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom Zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess als Binomialverteilung und Beweisen anschließend den Zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace.
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\begin{definition}[Modell des Galton Brett]{galton}
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Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
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Der Fall einer Kugel durch ein Galton-Brett mit $n \in \mathbb{N}$ Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei $X_i \in \{0, 1\}$.
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Dabei beschreibt \textbf{$X_i = 1$ den Fall nach rechts} in der $i$-ten Reihe und \textbf{$X_i = 0$ den Fall nach links}. Die Wahrscheinlichkeit sei $P(X_i = 1) = p$ und $P(X_i = 0) = 1-p = q$. Bei einem symmetrischen Brett gilt $p = q = 0.5$.
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\end{definition} %Bild?
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Hierbei ist anzumerken, dass jedes $X_i$ Bernoulliverteilt ist, da
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\[
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\Omega = \{1,0\} \quad \text{und} \quad
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P(X_i = x) =
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\begin{cases}
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p & \text{wenn } x=1\\
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1-p & \text{wenn } x=0
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\end{cases}
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\]
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Somit lässt sich auch $X_i \sim \mathcal{B}_{0,5}$ schreiben.\\
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Um jeden Ausgang des Galton-Brettes durchnummeriert von links nach rechts unterscheiden zu können, definieren wir uns eine weitere Zufallsvariable Sn wie folgt:
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\begin{definition}[Zufallsvariable $S_n$]{Sn}
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Die Endposition der Kugel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[S_n = \sum_{i=1}^n X_i\]
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\end{definition}
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Anschließend ist folgendes zu bemerken:
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\begin{satz}[Verteilung der Endposition]{satz:binomialverteilung}
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Die Zufallsvariable $S_n$, ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$.
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Daher gilt $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Nach \cref{def:galton} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulli-verteilten Zufallsexperimenten dar.
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%Ref Cosi
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Daraus folgt, dass das Galton-Brett mit der Zufallsvariable $S_n$ eine Binomialmodell darstellt und somit die Binomialverteilung nach Definition eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
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\end{proof}
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Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkennen, dass bei $n\rightarrow\infty$ Kugeln sich die Verteilung der Kugeln in der Auffangung der Verteilung der Glockenkurve der Normalverteilung annähert. %"Verteilung" Fachlick Korrekt?
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\begin{satz}[Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{satz:moivrelaplace}
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Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$. Für große $n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass $S_n$ genau den Wert $k$ annimmt, durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
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\[
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P(S_n = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} \exp\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)
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\]
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$ sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese 3 Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der Folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.
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\textbf{1. Anwendung der Stirling-Formel:} \\
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Wir beginnen mit der Definition der Binomialwahrscheinlichkeit:
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\[
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P(S_n = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}
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\]
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Nach der Stirling-Formel gilt für große Zahlen näherungsweise $n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung:
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\begin{align}
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P(S_n = k) &\approx \frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{(\sqrt{2\pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k)(\sqrt{2\pi (n-k)} \left(\frac{(n-k)}{e}\right)^{(n-k)})} p^k q^{n-k} \nonumber \\
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&= \frac{n^n \sqrt{2\pi n}}{k^k \sqrt{2\pi k} (n-k)^{n-k} \sqrt{2\pi (n-k)}} p^k q^{n-k} \label{eq1:e}\\
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&= \frac{\sqrt{n} \cdot n^k \cdot n^{n-k}}{\sqrt{2\pi} \sqrt{k} \sqrt{(n-k)} k^k (n-k)^{n-k}} p^k q^{n-k} \label{eq1:aufteilen}\\
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&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \label{eq1:zusammenfassen}
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\end{align}
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Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
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\begin{itemize}
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\item[(\ref{eq1:e})] Hier heben sich die $e$-Potenzen heraus, da $\left(\frac{n}{e}\right)^n = n^n \cdot e^{-n}$ sowie $e^n / (e^k e^{n-k}) = 1$ gilt.
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\item[(\ref{eq1:aufteilen})] Hier lässt sich die Gleichung intelligent aufteilen und etwas umstellen durch die Potenzgesetze, da gilt: $n^n = n^k \cdot n^{n-k}$ Außerdem lässt sich einmal $\sqrt{2\pi}$ Kürzen.
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\item[(\ref{eq1:zusammenfassen})] Ist das Resultat nach dem Sortieren der Brüche anhand der Exponenten
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\end{itemize}
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%weiter
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...
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\end{proof}
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% Teilsortiert:
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\subsection{Gamma-Funktion}
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% wird für Beweis der Stirling-Approximation gebraucht
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Zum nachfolgenden Betrachtung und des Beweises der Stirling-Approximation betrachten wir nun die Gamma-Funktion, auch \textbf{Eulersches Integral zweiter Gattung} genannt. Sie erweitert die Fakultätsfunktion von den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ auf reelle und komplexe Zahlen (mit einigen Ausnahmen). Hier betrachten wir der Einfachheit halber nur die Gamma-Funktion in $\mathbb{R}$.
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\begin{definition}[Gamma-Funktion]{gammafunktion}
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Sei $x>0\in\mathbb{R}$, dann ist die \textbf{Gamma-Funktion} definiert durch
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\begin{align*}
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\Gamma(x):\mathbb{R^+}&\rightarrow\mathbb{R}\\
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x&\mapsto\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
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\end{align*}
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\end{definition}
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Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
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\begin{satz}[Vergleich mit der Fakultät]{fakultaetgammafunktion}
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Für $n\in\mathbb{N}$ gilt:
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\[
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\Gamma(n+1)=n!
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\]
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\end{satz}
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\subsection{Stirling-Approximation}
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\begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}
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Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
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\[
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n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
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\]
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Das bedeutet
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\[
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\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}=1
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\]
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Der Ausgangspunkt ist die nach \cref{def:gammafunktion} definierte \textbf{Gamma-Funktion}
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\[
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\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
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\]
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Wir schreiben den Integranden als Exponentialfunktion, dann haben wir
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\[
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t^{x-1}e^{-t} = \exp((x-1)\ln t-t)
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\]
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also ist
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\[
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\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}\exp((x-1)\ln t-t) dt
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\]
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Setze $t=xu$ und $f(u)=\ln u - u$, dann erhalten wir
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\begin{align}
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\Gamma(x)&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-xu} du\\
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&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}\exp(x(\ln u-u)) du\\
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&=x^x\cdot \int_{0}^{\infty} e^{xf(u)}du
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\end{align}
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Für große \(x\) wird das Integral durch die Umgebung des kritischen Punktes von \(f\) dominiert. Diese erhält man aus
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\[
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f'(u)=\frac{1}{u}-1=0 \quad \Rightarrow \quad u=1.
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\]
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Weiter gilt
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\[
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f''(u)=-\frac{1}{u^2}, \quad \text{also } f''(1)=-1.
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\]
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Damit besitzt \(f\) bei \(u=1\) einen stationären Punkt, und wir entwickeln \(f\) dort bis zur zweiten Ordnung:
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\[
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f(u)\approx f(1)+\frac{f''(1)}{2}(u-1)^2
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= -1 - \frac{(u-1)^2}{2}.
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\]
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Einsetzen liefert die lokale Approximation
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\[
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\Gamma(x)\approx x^x e^{-x}\cdot\int_0^\infty \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du.
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\]
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Da der Hauptbeitrag aus einer Umgebung von $u=1$ stammt, kann das Integral asymptotisch auf $\mathbb{R}$ erweitert werden.
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\[
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\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du
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= \sqrt{\frac{2\pi}{x}}.
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\]
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Damit erhält man
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\[
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\Gamma(x)\sim \sqrt{2\pi}\, x^{x-\frac12} e^{-x}.
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\]
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\end{proof}
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