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In dieser Arbeit widmen wir uns der mathematischen Formalisierung eines faszinierenden Phänomens: Wie verteilen sich zufällige Ereignisse, wenn sie sehr oft wiederholt werden? Als anschauliches Modell dient uns hierfür das Galton-Brett, bei dem Kugeln an Hindernissen zufällig nach links oder rechts fallen.
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%Informell lautet unsere Fragestellung: Lässt sich das exakte, aber für große Zahlen unhandliche Zählverfahren der Kugelwege (Kombinatorik) durch eine einfachere, kontinuierliche Kurve beschreiben?
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Der mathematische Rahmen bewegt sich dabei im Übergang von der diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie zur stetigen Analysis. Wir modellieren den Fall einer Kugel zunächst als Summe unabhängiger, identisch verteilter Bernoulli-Zufallsvariablen, was direkt zur Binomialverteilung führt. Da die direkten Berechnungen der Binomialkoeffizienten für eine große Anzahl an Reihen (für $n \to \infty$) aufgrund der Fakultäten extrem aufwendig werden, suchen wir nach einer asymptotischen Näherung. Außerdem ist es ein sehr schönes Resultat, dass aus einer Binomialverteilung eine Normalverteilung "entstehen" kann.
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Den größeren Kontext bildet die Verknüpfung grundlegender mathematischer Werkzeuge, um genau dies zu beweisen. Wir greifen auf die \emph{Stirling-Approximation} (zur Näherung von Fakultäten) und die \emph{Taylor-Entwicklung} (zur Approximation von Logarithmen) zurück. Diese analytischen Werkzeuge schlagen die Brücke zwischen der diskreten Welt des Pascalschen Dreiecks und der kontinuierlichen Welt der Exponentialfunktion.
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Das Herzstück der Arbeit und die formale Antwort auf unsere Fragestellung bildet der \emph{Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace}. Er besagt, dass sich die diskrete Binomialverteilung für große $n$ der stetigen Normalverteilung (der bekannten Gaußschen Glockenkurve) annähert.
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Damit wird mathematisch präzise gezeigt, wie ein System aus einfachen, binären Entscheidungen (links oder rechts) bei ausreichend vielen Wiederholungen unweigerlich in ein universelles, kontinuierliches Verteilungsmodell mündet. |