458 lines
14 KiB
TeX
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TeX
\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage{array}
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\usepackage{adjustbox}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{caption}
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\usepackage[headsepline, footsepline]{scrlayer-scrpage}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{dsfont}
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\usepackage{float}
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\usepackage{ifthen}
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\usepackage[]{mathtools}
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\usepackage[]{mathbbol}
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\usepackage{multicol}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage[hidelinks]{hyperref}
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\usepackage[]{circuitikz}
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\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
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\usetikzlibrary{circuits.logic.IEC}
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\usepackage{tabularray}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{tkz-graph}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage{setspace}
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\usepackage{letltxmacro}
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\usepackage{wrapfig}
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\usetikzlibrary{calc}
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\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}
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\newcommand{\bpf}[1]{%
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\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
|
|
\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
|
|
\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
|
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}
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\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
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\renewcommand{\figurename}{Grafik}
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\renewcommand{\partname}{Teil}
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\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
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\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}
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% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
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\newcounter{commoncounter}[subsection]
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\renewcommand{\thecommoncounter}{\thesection.\arabic{commoncounter}}
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\usepackage{xparse}
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|
\newcommand{\answer}[1]{%
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\ifhmode\newline\newline\fi
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\foreach \n in {1,...,#1}{\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\vspace{1em}}
|
|
}
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\newcommand{\currentsection}{}
|
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\newcommand{\currentsubsection}{}
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\LetLtxMacro{\oldsection}{\section}
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|
\LetLtxMacro{\oldsubsection}{\subsection}
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\RenewDocumentCommand{\section}{s o m}{%
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\IfBooleanTF{#1}%
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{ \oldsection*{#3} }% Stern-Variante → unverändert
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{%
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\IfValueTF{#2}%
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{ \oldsection[#2]{#3} }% Optionales TOC-Argument
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{ \oldsection{#3} }%
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|
\renewcommand{\currentsection}{#3}%
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}%
|
|
}
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\RenewDocumentCommand{\subsection}{s o m}{%
|
|
\IfBooleanTF{#1}%
|
|
{ \oldsubsection*{#3} }%
|
|
{%
|
|
\IfValueTF{#2}%
|
|
{ \oldsubsection[#2]{#3} }%
|
|
{ \oldsubsection{#3} }%
|
|
\renewcommand{\currentsubsection}{#3}%
|
|
}%
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|
}
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% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
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\AtBeginDocument{\setcounter{commoncounter}{0}}
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% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
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|
\newtcolorbox{definitionbox}[1][]{
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|
before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
|
|
title={Definition \thecommoncounter: #1},
|
|
colback=white,
|
|
colframe=white!75!darkgrey,
|
|
fonttitle=\bfseries,
|
|
boxrule=0.6mm,
|
|
coltitle=black,
|
|
rounded corners,
|
|
before skip=10pt,
|
|
after skip=10pt
|
|
}
|
|
|
|
\newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
|
|
% before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
|
|
title={Zusatzaufgabe: #1},
|
|
colback=white,
|
|
colframe=white!75!red,
|
|
fonttitle=\bfseries,
|
|
boxrule=0.6mm,
|
|
coltitle=black,
|
|
rounded corners,
|
|
before skip=10pt,
|
|
after skip=10pt
|
|
}
|
|
|
|
\newtcolorbox{merkbox}[1][]{
|
|
title={Merken: #1},
|
|
colback=white,
|
|
colframe=white!75!red,
|
|
fonttitle=\bfseries,
|
|
boxrule=0.6mm,
|
|
coltitle=black,
|
|
rounded corners,
|
|
before skip=10pt,
|
|
after skip=10pt
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
|
|
\definecolor{codeblue}{rgb}{0,0,0.8}
|
|
\definecolor{codered}{rgb}{0.8,0,0}
|
|
\definecolor{lightgray}{rgb}{0.95,0.95,0.95}
|
|
|
|
\lstdefinestyle{CStyle}{
|
|
language=C,
|
|
basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
|
|
keywordstyle=\color{blue}\bfseries, % Schlüsselwörter fett und blau
|
|
stringstyle=\color{red}, % Strings rot
|
|
commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
|
|
backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
|
|
numbers=left, % Zeilennummern links
|
|
numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
|
|
numberstyle=\color{gray}\texttt,
|
|
stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
|
|
frame=single, % Rahmen um den Code
|
|
tabsize=4, % Tabulatorgröße
|
|
breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
|
|
captionpos=below,
|
|
showstringspaces=false,
|
|
xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\lstdefinestyle{ShellStyle}{
|
|
language=Bash,
|
|
basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
|
|
keywordstyle=\color{black}, % Schlüsselwörter fett und blau
|
|
stringstyle=\color{black}, % Strings rot
|
|
commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
|
|
backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
|
|
numbers=left, % Zeilennummern links
|
|
numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
|
|
numberstyle=\color{gray}\texttt,
|
|
stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
|
|
frame=single, % Rahmen um den Code
|
|
tabsize=4, % Tabulatorgröße
|
|
breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
|
|
captionpos=below,
|
|
showstringspaces=false,
|
|
xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
|
|
}
|
|
|
|
|
|
% Umgebung für Listings mit Titel und Zähler
|
|
\newenvironment{codeexample}[1][]{
|
|
\refstepcounter{commoncounter} % Zähler erhöhen
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|
\lstset{
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|
style=CSharpStyle,
|
|
caption={Listing \thecommoncounter: #1}, % Titel mit Zähler
|
|
label={listing:\thecommoncounter}
|
|
}
|
|
}{}
|
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|
\makeatletter
|
|
% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
|
|
\let\c@subsubsection\c@commoncounter
|
|
|
|
% Anzeige der Nummer angleichen
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|
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
|
|
\makeatother
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|
\setlength{\parindent}{0pt}
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|
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|
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|
\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
|
|
\newcommand{\curtitle}{Pascalsches Dreieck}
|
|
|
|
\title{\curtitle}
|
|
\author{Fierke, Janik, Weidlich}
|
|
\pagestyle{scrheadings}
|
|
\date{\curdate}
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|
\begin{document}
|
|
\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
|
|
\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
|
|
\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
|
|
\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
|
|
\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
|
|
|
|
\section{\curtitle}
|
|
Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
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|
\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
|
|
Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen:
|
|
\[
|
|
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
|
|
\]
|
|
\end{definitionbox}
|
|
|
|
Zum Warmwerden berechnen wir:
|
|
\begin{multicols}{3}
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|
$\binom{3}{0}=$ \hrulefill\\\\
|
|
$\binom{3}{3}=$ \hrulefill\\\\
|
|
$\binom{7}{3}=$ \hrulefill\\\\
|
|
|
|
$\binom{5}{0}=$ \hrulefill\\\\
|
|
$\binom{5}{5}=$ \hrulefill\\\\
|
|
$\binom{4}{2}=$ \hrulefill\\\\
|
|
|
|
|
|
$\binom{n}{0}=$ \hrulefill { }für $n\in\mathbb{N}$\\\\
|
|
$\binom{n}{n}=$ \hrulefill { }für $n\in\mathbb{N}$\\\\
|
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Berechne nun nach folgender Regel:
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\begin{center}
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|
\textit{Die Summe des Steins ist die Summe der darüberliegenden Steine. }
|
|
\end{center}
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|
\begin{figure}[!ht]
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\centering
|
|
\begin{circuitikz}[x=0.8cm,y=0.8cm]
|
|
|
|
% oberste Reihe
|
|
\draw[dashed,gray!60] (8.875,16.25) rectangle (10.25,14.875);
|
|
\node[text=gray!60] at (9.55,15.5625) {0};
|
|
|
|
\draw (10.25,16.25) rectangle (13,14.875);
|
|
\node[anchor=center] at (11.6,15.5625) {1};
|
|
|
|
\draw[dashed,gray!60] (13,16.25) rectangle (14.375,14.875);
|
|
\node[text=gray!60] at (13.75,15.5625) {0};
|
|
|
|
% zweite Reihe
|
|
\draw[dashed,gray!60] (7.5,14.875) rectangle (8.875,13.5);
|
|
\node[text=gray!60] at (8.175,14.1875) {0};
|
|
|
|
\draw (8.875,14.875) rectangle (11.625,13.5);
|
|
|
|
\draw (11.625,14.875) rectangle (14.375,13.5);
|
|
|
|
\draw[dashed,gray!60] (14.375,14.875) rectangle (15.75,13.5);
|
|
\node[text=gray!60] at (15,14.1875) {0};
|
|
|
|
% dritte Reihe
|
|
\draw[dashed,gray!60] (6.125,13.5) rectangle (7.5,12.125);
|
|
\node[text=gray!60] at (6.8,12.8125) {0};
|
|
|
|
\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
|
|
|
|
\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
|
|
|
|
\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
|
|
|
|
\draw[dashed,gray!60] (15.75,13.5) rectangle (17.125,12.125);
|
|
\node[text=gray!60] at (16.375,12.8125) {0};
|
|
|
|
% unterste Reihe
|
|
\draw[dashed,gray!60] (4.75,12.125) rectangle (6.125,10.75);
|
|
\node[text=gray!60] at (5.425,11.4375) {0};
|
|
|
|
\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
|
|
|
|
\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
|
|
|
|
\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
|
|
|
|
\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
|
|
|
|
\draw[dashed,gray!60] (17.125,12.125) rectangle (18.5,10.75);
|
|
\node[text=gray!60] at (17.875,11.4375) {0};
|
|
|
|
\end{circuitikz}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\item Berechne die Steine der Pyramide:
|
|
\begin{figure}[!ht]
|
|
\centering
|
|
\begin{circuitikz}[x=0.8cm,y=0.8cm]
|
|
|
|
\draw (10.25,16.25) rectangle (13,14.875);
|
|
\node at (10.875,15.5625) {$\binom{0}{0}=$};
|
|
|
|
\draw (8.875,14.875) rectangle (11.625,13.5);
|
|
\node at (9.5,14.1875) {$\binom{1}{0}=$};
|
|
|
|
\draw (11.625,14.875) rectangle (14.375,13.5);
|
|
\node at (12.25,14.1875) {$\binom{1}{1}=$};
|
|
|
|
\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
|
|
\node at (10.875,12.8125) {$\binom{2}{0}=$};
|
|
|
|
\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
|
|
\node at (8.125,12.8125) {$\binom{2}{1}=$};
|
|
|
|
\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
|
|
\node at (13.625,12.8125) {$\binom{2}{2}=$};
|
|
|
|
\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
|
|
\node at (12.25,11.4375) {$\binom{3}{0}=$};
|
|
|
|
\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
|
|
\node at (9.5,11.4375) {$\binom{3}{1}=$};
|
|
|
|
\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
|
|
\node at (6.75,11.4375) {$\binom{3}{2}=$};
|
|
|
|
\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
|
|
\node at (15,11.4375) {$\binom{3}{3}=$};
|
|
\end{circuitikz}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\begin{extrataskbox}
|
|
Entwirf einen Computeralgorithmus, der den Binomialkoeffizienten berechnet, ohne dass dieser die Fakultät benutzt!
|
|
\end{extrataskbox}
|
|
|
|
\noindent
|
|
\begin{minipage}[t]{0.62\textwidth}\vspace{0pt}
|
|
\begin{definitionbox}[Galtonbrett]
|
|
Das \textbf{Galtonbrett} ist ein mechanisches Demonstrationsgerät aus der Stochstik, bei welchem kleine Kugeln auf horizontal und dreieckig angeordnete Stäbchen fallen gelassen wird (hier zweidimenional von vorne dargestellt). Bei jedem Aufprall auf ein Stäbchen teilt sich ihr Weg: entweder nach links, oder nach rechts.
|
|
\end{definitionbox}
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}[t]{0.33\textwidth}\vspace{0pt}
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{galtonbrett}
|
|
\captionof{figure}{}
|
|
\label{fig:galtonbrett}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Zeichne in das Galtonbrett alle Wege ein, die eine Murmel nehmen kann, wenn sie auf den obersten Stab fallen gelassen wird. Inwiefern unterscheiden sich beide Galtonbretter?\\
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
|
|
% Definition der Reihen
|
|
\def\rows{4}
|
|
|
|
% Zähler für die Beschriftung
|
|
\newcounter{labelcount}
|
|
|
|
% Fächer (Bins) am unteren Ende basierend auf der Reihenanzahl
|
|
\foreach \i in {1,...,\rows} {
|
|
\pgfmathsetmacro{\xpos}{\i * 2 - \rows}
|
|
\draw[thick] (\xpos - 0.4, -\rows - 1.5) rectangle (\xpos + 0.4, -\rows - 0.2);
|
|
\node at (\xpos, -\rows - 1.8) {\i};
|
|
}
|
|
|
|
% Dreieckiges Nagelbrett
|
|
\foreach \y in {1,...,\rows} {
|
|
\foreach \x in {1,...,\y} {
|
|
\pgfmathsetmacro{\coordx}{2 * \x - \y}
|
|
|
|
% Nagel zeichnen
|
|
% Nagel nur bis zur vorletzten Reihe zeichnen
|
|
\ifnum \y < \rows
|
|
\filldraw[black] (\coordx, -\y) circle (2.5pt);
|
|
|
|
% Erste fünf Nägel mit a,b,c,d,e beschriften
|
|
\stepcounter{labelcount}
|
|
\ifnum\value{labelcount}<11
|
|
\node[anchor=south east] at (\coordx-0.16,-\y-0.3)
|
|
{\alph{labelcount}};
|
|
\fi
|
|
\fi
|
|
|
|
% Wege nach unten zeichnen (auch von der letzten Reihe aus nicht nötig,
|
|
% daher weiterhin nur bis zur vorletzten Reihe)
|
|
% \ifnum \y < \rows
|
|
% \draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx - 1, -\y - 1);
|
|
% \draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx + 1, -\y - 1);
|
|
% \fi
|
|
}
|
|
}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
|
|
% Definition der Reihen
|
|
\def\rows{5}
|
|
|
|
% Zähler für die Beschriftung
|
|
\newcounter{labelcountzwo}
|
|
|
|
% Fächer (Bins) am unteren Ende basierend auf der Reihenanzahl
|
|
\foreach \i in {1,...,\rows} {
|
|
\pgfmathsetmacro{\xpos}{\i * 2 - \rows}
|
|
\draw[thick] (\xpos - 0.4, -\rows - 1.5) rectangle (\xpos + 0.4, -\rows - 0.2);
|
|
\node at (\xpos, -\rows - 1.8) {\i};
|
|
}
|
|
|
|
% Dreieckiges Nagelbrett
|
|
\foreach \y in {1,...,\rows} {
|
|
\foreach \x in {1,...,\y} {
|
|
\pgfmathsetmacro{\coordx}{2 * \x - \y}
|
|
|
|
% Nagel zeichnen
|
|
% Nagel nur bis zur vorletzten Reihe zeichnen
|
|
\ifnum \y < \rows
|
|
\filldraw[black] (\coordx, -\y) circle (2.5pt);
|
|
|
|
% Erste fünf Nägel mit a,b,c,d,e beschriften
|
|
\stepcounter{labelcountzwo}
|
|
\ifnum\value{labelcountzwo}<11
|
|
\node[anchor=south east] at (\coordx-0.16,-\y-0.3)
|
|
{\alph{labelcountzwo}};
|
|
\fi
|
|
\fi
|
|
|
|
% Wege nach unten zeichnen (auch von der letzten Reihe aus nicht nötig,
|
|
% daher weiterhin nur bis zur vorletzten Reihe)
|
|
% \ifnum \y < \rows
|
|
% \draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx - 1, -\y - 1);
|
|
% \draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx + 1, -\y - 1);
|
|
% \fi
|
|
}
|
|
}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
\item Zähle nun die verschiedenen Pfade, die eine Mumel nehmen kann, sodass sie in den darunterliegenden Fächern landet. Beschrifte dafür die Pfade und nutze die Mengenschreibweise, um keinen Pfad zu vergessen.\\
|
|
Beispiel: Fach 1: $A_1=\{(a,c,g)\} \Rightarrow \text{Pfade}_1=|A_1|=1$
|
|
\vspace{85pt}
|
|
|
|
\item Dir ist sicherlich schon aufgefallen, dass die meisten Pfade in die Mitte führen. Untersuche nun die Anzahl der Pfade zu jedem der Stäbchen und vergleiche diese mit dem pascalschen Dreieck. Was fällt dir auf?
|
|
\vspace{85pt}
|
|
|
|
\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariabel $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\label{LastPage}
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