bibliography.bib

@@ -11,6 +11,12 @@
 	date = {2025},
 }
 
+@unpublished{enders_analysis_2024,
+	location = {Universität Potsdam},
+	title = {Analysis {II}},
+	author = {Enders, Dr. Jörg},
+	date = {2024},
+}
 
 @book{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015,
 	location = {Wiesbaden},

content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -39,7 +39,13 @@ Um jeden Ausgang des Galton-Brettes durchnummeriert von links nach rechts unters
 	Die Endposition der Kugel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[S_n = \sum_{i=1}^n X_i\]
 \end{definition}
 Um diese Summierte Zufallsvariable genauer zu verstehen betrachten wir zuerst den Binomialkoeffizienten.
-% Def 
+\begin{definition}[Binomialkoeffizienten]{binomialkoeffizienten}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
+	Für $n\in\mathbb{N}_0$ und $k\in\{0,\dots,n\}$ definieren wir den \textbf{Binomialkoeffizienten}
+	\[
+	\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
+	\]
+	wobei die Zahl $\binom{n}{k}$ die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen Menge genau $k$-Elemente auszuwählen, angibt.
+\end{definition}
 Betrachten wir nun den Binomialkoeffizienten in Bezug auf $S_n$, beschreibt dieser exakt die Anzahl der möglichen Pfade durch das Galton-Brett, bei denen die Kugel von $n$ Reihen genau $k$-mal nach rechts (und somit $(n-k)$-mal nach links) fällt. Da jeder dieser einzelnen Pfade aufgrund der Unabhängigkeit der Entscheidungen die Wahrscheinlichkeit $p^k (1-p)^{n-k}$ besitzt, ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Fach $k$ durch Multiplikation. Daher rührt die Binomialverteilung:
 \begin{definition}[Binomialmodell]{binModell}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
 	Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in [0,1]$ $n$-mal, und interessiert sich nur für die Anzahl der erfolgreichen Experimente, so wählt man 
@@ -242,15 +248,7 @@ Folgende Proposition ich leicht aus dem oberen Beweis ableitbar (aufgrund der Ab
 
 % Teilsortiert:
 \subsection{Pascalsches Dreieck}
-Das Pascalsche Dreieck ist ein geometrisches Dreieck aus Zahlen, das sich unendlich nach unten fortsetzt und dabei die Binomialkoeffizienten repräsentiert.
+Das Pascalsche Dreieck ist ein geometrisches Dreieck aus Zahlen, das sich unendlich nach unten fortsetzt und dabei die Binomialkoeffizienten repräsentiert. Aus \cref{def:binomialkoeffizienten} entwickeln wir das Pascalsche Dreieck.
-\begin{definition}[Binomialkoeffizienten\footnote{Kosenkova, T: Stochastik für das Lehramt (Vorlesung 4), 2025}]{binomialkoeffizienten}
-	Für $n\in\mathbb{N}_0$ und $k\in\{0,\dots,n\}$ definieren wir den \textbf{Binomialkoeffizienten}
-	\[
-		\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
-	\]
-	wobei die Zahl $\binom{n}{k}$ die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen Menge genau $k$-Elemente auszuwählen, angibt.
-\end{definition}
-Aus dieser Definition entwickeln wir das Pascalsche Dreieck.
 \begin{definition}[Pascalsches Dreieck]{pascaldreieck}
 	Das \textbf{Pascalsche Dreieck} ist das unendliche Zahlenschema
 	\[
@@ -329,7 +327,7 @@ Nun haben wir nachgewiesen, dass die Funktion $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar
 	Mit einem Blick auf die Funktion und wie ihre Ableitungen gebildet werden, ist leicht zu erkennen, dass $\ln(x-1)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist. 
 \end{bemerkung}
 Bevor wir die Approximation  nachweisen ist eine formale Definition des Satzes von Taylor und dem Taylorpolynom nötig, wobei letzteres aus dem Satz von Taylor folgt. 
-\begin{satz}[Satz von Taylor\footnote{Enders, J., Analysis II (2024)}]{taylor}
+\begin{satz}[Satz von Taylor]{taylor}{\cite{enders_analysis_2024}}
 	Seien $n\in\mathbb{N}_0, f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion und $x_0\in[a,b]$.
 	
 	Dann gilt für alle $x\in[a,b]$ die Darstellung
@@ -349,7 +347,7 @@ Bevor wir die Approximation  nachweisen ist eine formale Definition des Satzes v
 	
 	Die Definition des Taylorpolynoms entspringt direkt dem Satz von Taylor, nur ohne das Lagrange-Restglied.
 \end{bemerkung}
-\begin{definition}[Taylorpolynom]{taylorpolynom}
+\begin{definition}[Taylorpolynom]{taylorpolynom}{\cite{enders_analysis_2024}}
 	\[
 		T_{f,x_0,n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k
 	\]