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content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -65,9 +65,28 @@ Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkenne
 \end{proof}
 
 
-% Unsortiert:
+% Teilsortiert:
+\subsection{Gamma-Funktion}
+% wird für Beweis der Stirling-Approximation gebraucht
+Zum nachfolgenden Betrachtung und des Beweises der Stirling-Approximation betrachten wir nun die Gamma-Funktion, auch \textbf{Eulersches Integral zweiter Gattung} genannt. Sie erweitert die Fakultätsfunktion von den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ auf reelle und komplexe Zahlen (mit einigen Ausnahmen). Hier betrachten wir der Einfachheit halber nur die Gamma-Funktion in $\mathbb{R}$.
+\begin{definition}[Gamma-Funktion]{gammafunktion}
+	Sei $x>0\in\mathbb{R}$, dann ist die \textbf{Gamma-Funktion} definiert durch
+	\begin{align*}
+		\Gamma(x):\mathbb{R^+}&\rightarrow\mathbb{R}\\
+		x&\mapsto\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
+	\end{align*}
+\end{definition}
+
+Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
+\begin{satz}[Vergleich mit der Fakultät]{fakultaetgammafunktion}
+	Für $n\in\mathbb{N}$ gilt:
+	\[
+		\Gamma(n+1)=n!
+	\]
+\end{satz}
+
 \subsection{Stirling-Approximation}
-\begin{satz}[Stirlingformel]{satz:stirlingformel}
+\begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}
 	Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
 	\[
 		n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
@@ -77,5 +96,59 @@ Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkenne
 		\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}=1
 	\]
 \end{satz}
+\begin{proof}
+	Der Ausgangspunkt ist die nach \cref{def:gammafunktion} definierte \textbf{Gamma-Funktion}
+	\[
+		\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
+	\]
+	Wir schreiben den Integranden als Exponentialfunktion, dann haben wir 
+	\[
+		t^{x-1}e^{-t} = \exp((x-1)\ln t-t)
+	\]
+	also ist
+	\[
+	\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}\exp((x-1)\ln t-t) dt
+	\]
+	Setze $t=xu$ und $f(u)=\ln u - u$, dann erhalten wir
+	\begin{align}
+		\Gamma(x)&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-xu} du\\
+		&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}\exp(x(\ln u-u)) du\\
+		&=x^x\cdot \int_{0}^{\infty} e^{xf(u)}du
+	\end{align}
+	
+	Für große \(x\) wird das Integral durch die Umgebung des kritischen Punktes von \(f\) dominiert. Diese erhält man aus
+	\[
+	f'(u)=\frac{1}{u}-1=0 \quad \Rightarrow \quad u=1.
+	\]
+	
+	Weiter gilt
+	\[
+	f''(u)=-\frac{1}{u^2}, \quad \text{also } f''(1)=-1.
+	\]
+	
+	Damit besitzt \(f\) bei \(u=1\) einen stationären Punkt, und wir entwickeln \(f\) dort bis zur zweiten Ordnung:
+	\[
+	f(u)\approx f(1)+\frac{f''(1)}{2}(u-1)^2
+	= -1 - \frac{(u-1)^2}{2}.
+	\]
+	
+	Einsetzen liefert die lokale Approximation
+	\[
+	\Gamma(x)\approx x^x e^{-x}\cdot\int_0^\infty \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du.
+	\]
+	
+	Da der Hauptbeitrag aus einer Umgebung von $u=1$ stammt, kann das Integral asymptotisch auf $\mathbb{R}$ erweitert werden.
+	\[
+	\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du
+	= \sqrt{\frac{2\pi}{x}}.
+	\]
+	
+	Damit erhält man
+	\[
+	\Gamma(x)\sim \sqrt{2\pi}\, x^{x-\frac12} e^{-x}.
+	\]
+
+\end{proof}
+