Konfliktlösung

content/Arbeitsmaterialien.tex

@@ -14,4 +14,21 @@ Ein paar Anregungen für die Arbeitsmaterialien (kommt natürlich auf das Thema
 \end{itemize}
 
 
-Bitte bedenken Sie, zumindest Lösungsskizzen zu den Aufgaben zu geben! Besser noch vollständige Musterlösungen. Als Lehrkraft ist es nicht immer einfach, die Lösungen schnell zu finden und das Dokument soll ja den Lehrkräften die Arbeit erleichtern.
+Bitte bedenken Sie, zumindest Lösungsskizzen zu den Aufgaben zu geben! Besser noch vollständige Musterlösungen. Als Lehrkraft ist es nicht immer einfach, die Lösungen schnell zu finden und das Dokument soll ja den Lehrkräften die Arbeit erleichtern.
+
+% 1. Einführung/ Motivation (lustig/ spielerisch)
+% Spiel von Tobi (gibts nicht auch so nen Glücksspiel?)
+% https://plinko-web-game.netlify.app/ : wieso macht man im Schnitt minus?
+% Pachinko-Automat: Wo einwefen für max Gewinn
+
+% 2. Überleitung (interaktiv)
+% Wabenaufgabe und Einführung über Pascallsches Dreieck, überführung Approx durch Normalverteilung: Tobi-AB
+ 
+% 3. Arbeitsmaterial ZSG (mathematisch Verständnisorientiert)
+% wollen über eine Diskrete Verteilung eine stetige Kurve legen!
+% Die Verteilung ist durch die Fakultät diskret, da diese nur für n\in N definiert ist
+% 1 -> n! -> gamma Funktion -> Sterling Approx geben (Visuell!)
+% 2 -> Vorfaktor "abschätzen"
+% 3 -> potenzen Killen um E funktion zu gewinnen!
+	% ln und umformen (Klassenstufe! -> Anschätzung und Ergebnis vorgeben, nicht rechnen)
+	% Rücksubstitution machen

content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -168,7 +168,7 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
 		\item[(\ref{eq5:3})] Gleichheit für $k$ aus der Standardisierung einsetzen: $k = np + z\sqrt{npq}$.
 		\item[(\ref{eq5:4})] Distributivgesetz für $-1$ anwenden und Brüche durch Aufteilen der Addition und Einfügen der multiplikativen Identität $\frac{\sqrt{np}}{\sqrt{np}}$ (selbes für $nq$) vereinfachen.
 	\end{itemize}
-	Die \cref{def:taylorpolynom} beweist die Taylor-Approximation für den Logarithmus: $ln(1-\alpha) = -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ und $ln(1+\alpha) \sim \alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ für $\alpha \in (-\infty, 1)$. Hierbei steht $O(\alpha^3)$ für die Landau-Notation.
+	Die \cref{def:taylorpolynom} beweist die Taylor-Approximation für den Logarithmus: $ln(1-\alpha) = -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ und $ln(1+\alpha) = \alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ für $\alpha \in (-\infty, 1)$. Hierbei steht $O(\alpha^3)$ für die Landau-Notation.
 	Wir definieren:
 	\[
 		\beta := \sqrt{\frac{q}{np}}; \quad

material/ab2.tex

@@ -106,6 +106,19 @@
 	after skip=10pt
 }
 
+\newtcolorbox{satzbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Satz \thecommoncounter: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!yellow,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
 \newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
 	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
 	title={Zusatzaufgabe: #1},

material/ab3.tex

@@ -0,0 +1,402 @@
+\documentclass[a4paper]{article}
+\usepackage{array}
+\usepackage{adjustbox}
+\usepackage{bm}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{caption}
+\usepackage[headsepline, footsepline]{scrlayer-scrpage}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{dsfont}
+\usepackage{float}
+\usepackage{ifthen}
+\usepackage[]{mathtools}
+\usepackage[]{mathbbol}
+\usepackage{multicol}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage[hidelinks]{hyperref}
+\usepackage[]{circuitikz}
+\usepackage{soul}
+\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
+\usetikzlibrary{circuits.logic.IEC}
+\usepackage{tabularray}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tkz-graph}
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{setspace}
+\usepackage{letltxmacro}
+\usepackage{wrapfig}
+
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}
+
+\newcommand{\bpf}[1]{%
+	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
+	\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
+	\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
+}
+
+
+
+\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
+\renewcommand{\figurename}{Grafik}
+\renewcommand{\partname}{Teil}
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
+
+\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}
+
+% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
+\newcounter{commoncounter}[subsection]
+\renewcommand{\thecommoncounter}{\thesection.\arabic{commoncounter}}
+
+\usepackage{xparse}
+
+\newcommand{\answer}[1]{%
+	\ifhmode\newline\newline\fi
+	\foreach \n in {1,...,#1}{\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\vspace{1em}}
+}
+
+
+\newcommand{\currentsection}{}
+\newcommand{\currentsubsection}{}
+
+\LetLtxMacro{\oldsection}{\section}
+\LetLtxMacro{\oldsubsection}{\subsection}
+
+\RenewDocumentCommand{\section}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
+	{ \oldsection*{#3} }% Stern-Variante → unverändert
+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsection[#2]{#3} }% Optionales TOC-Argument
+		{ \oldsection{#3} }%
+		\renewcommand{\currentsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+\RenewDocumentCommand{\subsection}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
+	{ \oldsubsection*{#3} }%
+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsubsection[#2]{#3} }%
+		{ \oldsubsection{#3} }%
+		\renewcommand{\currentsubsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+
+
+% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
+\AtBeginDocument{\setcounter{commoncounter}{0}}
+
+% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
+\newtcolorbox{definitionbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Definition \thecommoncounter: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!darkgrey,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Zusatzaufgabe: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{merkbox}[1][]{
+	title={Merken: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\definecolor{SatzColor}{RGB}{66,133,244} 
+\newtcolorbox{satzbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Satz \thecommoncounter: #1},
+	colback=SatzColor!5,
+	colframe=white!75!SatzColor,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newcommand{\antwortbox}[1][4cm]{%
+	\raisebox{-0.4\height}{\fbox{\rule{0pt}{3em}\hspace{#1}}}%
+}
+
+\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\definecolor{codeblue}{rgb}{0,0,0.8}
+\definecolor{codered}{rgb}{0.8,0,0}
+\definecolor{lightgray}{rgb}{0.95,0.95,0.95}
+
+\lstdefinestyle{CStyle}{
+	language=C,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
+	keywordstyle=\color{blue}\bfseries, % Schlüsselwörter fett und blau
+	stringstyle=\color{red}, % Strings rot
+	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
+	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
+	numbers=left, % Zeilennummern links
+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
+	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
+	captionpos=below,
+	showstringspaces=false,
+	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
+}
+
+
+\lstdefinestyle{ShellStyle}{
+	language=Bash,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
+	keywordstyle=\color{black}, % Schlüsselwörter fett und blau
+	stringstyle=\color{black}, % Strings rot
+	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
+	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
+	numbers=left, % Zeilennummern links
+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
+	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
+	captionpos=below,
+	showstringspaces=false,
+	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
+}
+
+
+% Umgebung für Listings mit Titel und Zähler
+\newenvironment{codeexample}[1][]{
+	\refstepcounter{commoncounter} % Zähler erhöhen
+	\lstset{
+		style=CSharpStyle,
+		caption={Listing \thecommoncounter: #1}, % Titel mit Zähler
+		label={listing:\thecommoncounter}
+	}
+}{}
+
+\makeatletter
+% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
+\let\c@subsubsection\c@commoncounter
+
+% Anzeige der Nummer angleichen
+\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
+\makeatother
+
+\setlength{\parindent}{0pt}
+
+\sethlcolor{black!10} % Farbe des "Textmarkers"
+
+\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
+\newcommand{\curtitle}{ZSG Movire-Laplace}
+
+\title{\curtitle}
+\author{Fierke, Janik, Weidlich}
+\pagestyle{scrheadings}
+\date{\curdate}
+\begin{document}
+	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
+	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
+	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
+	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
+	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
+	
+	\section{\curtitle}
+	Das Galtonbrett lässt sich wir folgt formal mathematisch formulieren:
+	\begin{definitionbox}[Modell des Galtonbretts]
+		Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
+		Der Fall einer Murmel durch ein Galtonbrett mit \hl{$\bm{n \in \mathbb{N}}$} Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei \hl{$\bm{X_i \in \{0, 1\}}$}.
+		Dabei beschreibt \hl{$\bm{X_i = 1}$} den Fall nach rechts in der $i$-ten Reihe und \hl{$\bm{X_i = 0}$} den Fall nach links. Die Wahrscheinlichkeit sei $P(X_i = 1) = p$ und $P(X_i = 0) = 1-p = q$. Bei einem symmetrischen Brett gilt $p = q = 0.5$.\\
+		Die Endposition der Murmel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[\colorbox{black!10}{$\displaystyle \bm{S_n=\sum_{i=1}^n X_i}$}\] Hierbei ist $S_n$ Binomialverteilt.
+	\end{definitionbox}
+	
+	\textbf{\underline{Aufgabe 1:}} Um die Definition genauer zu verstehten, ordne die in der Definition hervorgehobenen Teile den Folgenden Abbildungen des Galtonbrettes zu:
+	\begin{figure}[H]
+		\centering
+		% Erstes Bild
+		\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=\linewidth]{../images/AB3_Galton.png}
+			\caption{Darstellung des Galtonbretts nach Brünner (2025)}
+			\label{fig:galton}
+		\end{minipage}
+		\hfill
+		% Zweites Bild
+		\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
+			\centering
+			\includegraphics[width=\linewidth]{../images/AB3_X.png}
+			\caption{Darstellung des Falls einer Murmel im Galtonbrett.}
+			\label{fig:galtonXi}
+		\end{minipage}
+	\end{figure}
+	\textbf{\underline{Aufgabe 2:}} Sobald sehr viele Murmeln durch das Galtonbrett gewandert sind, entsteht eine Verteilung, wie in Grafik 3 für ein symmetrisches Brett dargestellt wird.
+	\begin{enumerate}
+		\item Probiere das ganze selbst einmal auf folgender Website aus: \url{https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm}.\\ Was fällt dir auf? \\ \textit{Achtung: stelle p = 0,5 für ein symmetrisches Brett ein!}
+		\answer{1}
+		\item Recherchiere selbstständig und zeichne den Graphen der Normalverteilung über die Verteilung des Galtonbrettes ein:
+		\begin{figure}[H]
+			\centering
+			\includegraphics[width=0.8\linewidth]{../images/AB3_GaltonVersuche.png}
+			\caption{Galtonbrett nach c.a. 7000 durchgefallenen Murmeln nach Brünner (2025)}
+		\end{figure}
+		\item Wiederhole oder Recherchiere selbstständig die Eigenschaften der Normalverteilung und Vergleiche diese mit der Binomialverteilung (die Verteilung des Galtonbrettes):
+		\begin{table}[H]
+			\centering
+			\begin{tabularx}{\textwidth}{|X|X|}
+				\hline
+				\centering\textbf{Normalverteilung} &
+				\centering\arraybackslash\textbf{Binomialverteilung} \\
+				\hline
+				\rule{0pt}{85pt} &
+				\rule{0pt}{85pt} \\
+				\hline
+			\end{tabularx}
+		\end{table}
+	\end{enumerate}
+	Wir wollen nun das schöne mathematische Phänomen, welches sich in Aufgabe 2.2 offenbart, genauer betrachten. Hierzu formulieren wir dies zuerst mathematisch formal sauber:
+	\begin{satzbox}[Zentraler Grenzwertsatz von de Movire-Laplace]
+		Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit. (Beispielsweise bei einem Galtonbrett)\\
+		Für große $n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass $S_n$ den Wert $k \in \{x| x \in\mathbb{N}_0 \land x \leq n\}$ annimmt, durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
+		\[
+		P(S_n = k) \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)
+		\]
+		wobei $\mathbb{E}(X)=\mu$, $Var(X)=\sigma ^2$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
+	\end{satzbox}
+	Diesen Satz wollen wir nun Semi-Formal beweisen.\\
+	\textbf{\underline{Aufgabe 3:}} Fülle die Lücken im Beweis aus. Wenn du dir unsicher bist kannst du dir alle fehlenden Textbausteine auf dem Zusatzblatt ansehen.
+	\begin{enumerate}
+		\item Zuerst muss uns nochmal klar werden, was unser Ausgangspunkt und und das Ziel ist:\\
+				Ausgangspunkt: $P(S_n = k) = $ \antwortbox[6cm] \vspace{1em} \\
+				Ziel: $\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2) = \mathcal{N}(np)(npq) = $ \antwortbox[6cm]
+		\item Zuerst müssen wir die Binomialverteilung als diskrete Verteilung in eine stetige Verteilung überführen. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$ ein:
+		\begin{figure}[H]
+			\centering
+			\begin{tikzpicture}
+				\begin{axis}[
+					domain=0.1:6,
+					samples=300,
+					axis lines=middle,
+					xlabel={$x$},
+					ylabel={$\Gamma(x)$},
+					xmin=0,
+					xmax=6,
+					ymin=0,
+					ymax=10,
+					grid=both
+					]
+					\addplot[
+					blue,
+					thick
+					]
+					{sqrt(2*pi)*((x+1/2)^(x+1/2))*exp(-(x+1/2))};
+					\addlegendentry{$\Gamma(x)$}
+				\end{axis}
+			\end{tikzpicture}
+		\end{figure}
+		Mithilfe dieser Funktion lässt sich die Fakultät leicht approximieren. Diese Approximation nennt sich Sterling Approximation und besagt:
+		\[
+			n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sim \Gamma(n)
+		\] %Stimmt das mit dem Gamma?
+		Setzen wir das in die Gleichung für $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir nach umstellen:
+		\[
+			P(S_n = k) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}
+		\]
+		\item Aus dieser Formel lässt sich nun leicht schon einmal der Vorfaktor der Normalverteilung erschließen. Hierzu und zu Vereinfachung weiterer Rechnungen standardisieren wir $S_n$. Dies entspricht auch einer einfachen Substitution und daher vollkommen legitim. Hierzu definieren wir:
+		\[
+			Z_n = Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sigma(S_n)}
+		\]
+		nimmt $Z_n$ die folgenden Werte an:
+		\[
+			z= \antwortbox[6cm]
+		\]
+		Nach dem Umstellen nach $k$ und $n-k$ folgt dann:
+		\[
+			k= \antwortbox[6cm]
+		\]
+		\[
+			n-k= \antwortbox[6cm]
+		\]
+		Multiplizieren wir nun diese beiden Ausdrücke miteinander erhalten wir:
+		\[
+			k(n-k)= n^2pq + (nz\sqrt{nqp}(q-p)-z^2npq)
+		\]
+		Da wir uns nur für eine große Anzahl an Durchführungen also große $n$ ($n\rightarrow \infty$) interessieren, ist beobachtbar, dass für große n der lineare Teil kaum noch einen Einfluss auf den Term hat. Daher kann dieser in diesem Fall weggelassen werden. Daher gilt:
+		\[
+			k(n-k) \sim n^2pq
+		\]
+		Setzen wir dies nun in unsere diskrete Variante von $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir den passenden Vorfaktor:
+		\begin{align*}
+			P(S_n = k) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \\
+			&\sim \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
+			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
+			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
+			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k}
+		\end{align*}
+		\item Zum Schluss müssen wir noch die $e$-Funktion mit in die Gleichung bekommen. Das können wir machen, indem wir die Identität ausnutzen: $x = e^{ln(x)}$. Also gilt insbesondere, dass:
+		\[
+			 P(S_n=k)= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \Leftrightarrow e^{ln(P(S_n = k))} \sim e^{ln\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k}\right)}
+		\]
+		Im Folgenden betrachten wir erst mal nur den Ausdruck im $ln()$ welchen wir mithilfe der Logarithmengesetze umformen können:
+		\[
+			\ln\left( \left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \right) = (-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)
+		\]
+		Diese Darstellung des Thermes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Tailor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
+		\[
+			ln(1-\alpha) \sim -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}
+		\]
+		\[
+			ln(1+\alpha) \sim \alpha-\frac{\alpha^2}{2}
+		\]
+		Mithilfe einiger Umformungen zufallen dadurch die sich ähnlich sehenden Terme, was zu folgendem, erstaunlichem, Resultat führt:
+		\[
+			(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \sim -\frac{z^2}{2}
+		\]
+		\begin{extrataskbox}
+			Rechne dieses Resultat nach!
+		\end{extrataskbox}
+		Setzen wir dieses Ergebnis nun wieder in unsere letzte Version von $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir das, was wir beweisen wollten:
+		\begin{align*}
+			P(S_n = k) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{z^2}{2}} \\
+			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
+			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
+			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
+			&= \mathcal{N}(np)(npq) = \mathcal{N}(\mu)(\sigma^2)
+		\end{align*}
+		Daher konvergiert eine Binomialverteilte Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.
+	\end{enumerate}
+	\section{Platz für Notizen und Nebenrechnungen:}
+	\label{LastPage}
+\end{document}

material/ab3_Zusatzblatt.tex

@@ -0,0 +1,252 @@
+\documentclass[a4paper]{article}
+\usepackage{array}
+\usepackage{adjustbox}
+\usepackage{bm}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{caption}
+\usepackage[headsepline, footsepline]{scrlayer-scrpage}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{dsfont}
+\usepackage{float}
+\usepackage{ifthen}
+\usepackage[]{mathtools}
+\usepackage[]{mathbbol}
+\usepackage{multicol}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage[hidelinks]{hyperref}
+\usepackage[]{circuitikz}
+\usepackage{soul}
+\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
+\usetikzlibrary{circuits.logic.IEC}
+\usepackage{tabularray}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{tkz-graph}
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{setspace}
+\usepackage{letltxmacro}
+\usepackage{wrapfig}
+
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}
+
+\newcommand{\bpf}[1]{%
+	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
+	\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
+	\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
+}
+
+
+
+\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
+\renewcommand{\figurename}{Grafik}
+\renewcommand{\partname}{Teil}
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
+
+\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}
+
+% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
+\newcounter{commoncounter}[subsection]
+\renewcommand{\thecommoncounter}{\thesection.\arabic{commoncounter}}
+
+\usepackage{xparse}
+
+\newcommand{\answer}[1]{%
+	\ifhmode\newline\newline\fi
+	\foreach \n in {1,...,#1}{\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\vspace{1em}}
+}
+
+
+\newcommand{\currentsection}{}
+\newcommand{\currentsubsection}{}
+
+\LetLtxMacro{\oldsection}{\section}
+\LetLtxMacro{\oldsubsection}{\subsection}
+
+\RenewDocumentCommand{\section}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
+	{ \oldsection*{#3} }% Stern-Variante → unverändert
+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsection[#2]{#3} }% Optionales TOC-Argument
+		{ \oldsection{#3} }%
+		\renewcommand{\currentsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+\RenewDocumentCommand{\subsection}{s o m}{%
+	\IfBooleanTF{#1}%
+	{ \oldsubsection*{#3} }%
+	{%
+		\IfValueTF{#2}%
+		{ \oldsubsection[#2]{#3} }%
+		{ \oldsubsection{#3} }%
+		\renewcommand{\currentsubsection}{#3}%
+	}%
+}
+
+
+
+% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
+\AtBeginDocument{\setcounter{commoncounter}{0}}
+
+% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
+\newtcolorbox{definitionbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Definition \thecommoncounter: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!darkgrey,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Zusatzaufgabe: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newtcolorbox{merkbox}[1][]{
+	title={Merken: #1},
+	colback=white,
+	colframe=white!75!red,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\definecolor{SatzColor}{RGB}{66,133,244} 
+\newtcolorbox{satzbox}[1][]{
+	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
+	title={Satz \thecommoncounter: #1},
+	colback=SatzColor!5,
+	colframe=white!75!SatzColor,
+	fonttitle=\bfseries,
+	boxrule=0.6mm,
+	coltitle=black,
+	rounded corners,
+	before skip=10pt,
+	after skip=10pt
+}
+
+\newcommand{\schnipsel}[2][4cm]{%
+	\fbox{%
+		\parbox[c][3em][c]{#1}{\centering #2}%
+	}%
+}
+
+\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\definecolor{codeblue}{rgb}{0,0,0.8}
+\definecolor{codered}{rgb}{0.8,0,0}
+\definecolor{lightgray}{rgb}{0.95,0.95,0.95}
+
+\lstdefinestyle{CStyle}{
+	language=C,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
+	keywordstyle=\color{blue}\bfseries, % Schlüsselwörter fett und blau
+	stringstyle=\color{red}, % Strings rot
+	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
+	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
+	numbers=left, % Zeilennummern links
+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
+	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
+	captionpos=below,
+	showstringspaces=false,
+	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
+}
+
+
+\lstdefinestyle{ShellStyle}{
+	language=Bash,
+	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
+	keywordstyle=\color{black}, % Schlüsselwörter fett und blau
+	stringstyle=\color{black}, % Strings rot
+	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
+	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
+	numbers=left, % Zeilennummern links
+	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
+	numberstyle=\color{gray}\texttt,
+	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
+	frame=single, % Rahmen um den Code
+	tabsize=4, % Tabulatorgröße
+	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
+	captionpos=below,
+	showstringspaces=false,
+	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
+}
+
+
+% Umgebung für Listings mit Titel und Zähler
+\newenvironment{codeexample}[1][]{
+	\refstepcounter{commoncounter} % Zähler erhöhen
+	\lstset{
+		style=CSharpStyle,
+		caption={Listing \thecommoncounter: #1}, % Titel mit Zähler
+		label={listing:\thecommoncounter}
+	}
+}{}
+
+\makeatletter
+% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
+\let\c@subsubsection\c@commoncounter
+
+% Anzeige der Nummer angleichen
+\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
+\makeatother
+
+\setlength{\parindent}{0pt}
+
+\sethlcolor{black!10} % Farbe des "Textmarkers"
+
+\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
+\newcommand{\curtitle}{ZSG Movire Laplace}
+
+\title{\curtitle}
+\author{Fierke, Janik, Weidlich}
+\pagestyle{scrheadings}
+\date{\curdate}
+\begin{document}
+	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
+	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
+	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
+	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
+	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
+	
+	\section{\curtitle}
+	Dieses Dokument liefert die Textbausteine für Aufgabe 3 von dem Arbeitsblatt: ``ZSG Movire-Laplace''
+	\vspace{3em} \\
+	\schnipsel[6cm]{$\frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[6cm]{$\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[6cm]{$\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[6cm]{$np + z\sqrt{npq}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[6cm]{$nq - z\sqrt{npq}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[8cm]{$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{n^2pq}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[8cm]{$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{npq}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[8cm]{$\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right)^2}{2}}$} \vspace{1em} \\
+	\schnipsel[8cm]{$\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)}$}
+	\label{LastPage}
+\end{document}