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content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -68,6 +68,22 @@ Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkenne
 % Teilsortiert:
 \subsection{Gamma-Funktion}
 % wird für Beweis der Stirling-Approximation gebraucht
+Zum nachfolgenden Betrachtung und des Beweises der Stirling-Approximation betrachten wir nun die Gamma-Funktion, auch \textbf{Eulersches Integral zweiter Gattung} genannt. Sie erweitert die Fakultätsfunktion von den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ auf reelle und komplexe Zahlen (mit einigen Ausnahmen). Hier betrachten wir der Einfachheit halber nur die Gamma-Funktion in $\mathbb{R}$.
+\begin{definition}[Gamma-Funktion]{def:gammafunktion}
+	Sei $x>0\in\mathbb{R}$, dann ist die \textbf{Gamma-Funktion} definiert durch
+	\begin{align*}
+		\Gamma(x):\mathbb{R^+}&\rightarrow\mathbb{R}\\
+		x&\mapsto\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
+	\end{align*}
+\end{definition}
+
+Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
+\begin{satz}[Vergleich mit der Fakultät]{satz:fakultaetgammafunktion}
+	Für $n\in\mathbb{N}$ gilt:
+	\[
+		\Gamma(n+1)=n!
+	\]
+\end{satz}
 
 \subsection{Stirling-Approximation}
 \begin{satz}[Stirlingformel]{satz:stirlingformel}