fix: anordnung binomialkoeffizienten war auch in der Lösung falsch, aber lugga ist es beim Überarbeiten nicht aufgefallen

content/Anhang.tex

@@ -86,7 +86,7 @@ pagecommand={\thispagestyle{plain}}
 ]{material/ab2.pdf}
 
 \section{Arbeitsblatt 3}
-Im dritten Arbeitsblatt lernen die Schüler*innen das Galtonbrett konkret kennen und beweisen semi-formal den zentralen Grenzwertsatz.
+Im dritten Arbeitsblatt lernen die Schüler*innen das Galtonbrett konkret kennen und beweisen semi-formal den lokalen Grenzwertsatz.
 
 \includepdf[
 pages=-,

content/Arbeitsmaterialien.tex

@@ -1,19 +1,9 @@
-% 1. Einführung/ Motivation (lustig/ spielerisch)
+Der Einstieg erfolgt über die formale Definition des Binomialkoeffizienten, wobei der Fokus auf den einfachen Berechnungen und den beiden Basisfällen $k=0$ und $k=n$ liegt. Zur visuellen Unterstützung und zum Verständnis rekursiver Abläufe wird das Pascalsche Dreieck herangezogen. Ein kurzer in Form eines Unterrichtsgespräches geführter Exkurs zu den binomischen Formeln zeigt den Jugendlichen zudem praktisch, wie die BinomialkoeAizienten das Ausmultiplizieren von Klammern vereinfachen und das Auswendiglernen überflüssig machen.\\
-% Spiel von Tobi (gibts nicht auch so nen Glücksspiel?)
-% https://plinko-web-game.netlify.app/ : wieso macht man im Schnitt minus?
-% Pachinko-Automat: Wo einwefen für max Gewinn
  
-% 2. Überleitung (interaktiv)
+Im weiteren Verlauf wird eine Brücke zu den aus der Grundschule bekannten Zahlenpyramiden geschlagen. Im Gegensatz zum klassischen Aufbau von unten nach oben wird hier eine Pyramide mithilfe von Rekursion von oben nach unten aufgebaut. Dieser Vergleich veranschaulicht, dass dasselbe mathematische Konstrukt (das Pascalsche Dreieck) auf verschiedenen Wegen berechnet werden kann. Eine Zusatzaufgabe zur Rekursion stellt zudem eine Verbindung zur Informatik und der Simulation von Zufallsexperimenten durch Computeralgorithmen her. \\
-% Wabenaufgabe und Einführung über Pascallsches Dreieck, überführung Approx durch Normalverteilung: Tobi-AB
 
-% 3. Arbeitsmaterial ZSG (mathematisch Verständnisorientiert)
+Der nächste Schritt widmet sich der Modellierung des Galtonbretts. Nach der Demonstration an einem realen Tischmodell (oder digitaler \href{https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm}{Simmulation}) sowie dem Besprechen der Modellannahmen zeichnen die Schülerinnen und Schüler Pfade ein und zählen diese ab. Dies hilft ihnen, ein mentales Modell zu entwickeln und die Verbindung zwischen der Anzahl der Pfade und dem Pascalschen Dreieck zu verstehen. Die letzte Aufgabe führt die Gruppe schließlich kollaborativ an die Binomialverteilung heran, deren Formel gemeinsam im Kurs erarbeitet werden kann.\\
-% wollen über eine Diskrete Verteilung eine stetige Kurve legen!
+
-% Die Verteilung ist durch die Fakultät diskret, da diese nur für n\in N definiert ist
+Das dritte Arbeitsblatt, \emph{Galton x LGS Movire-Laplace}, dient dem Beweis des lokalen Grenzwertsatzes von Movire-Laplace. Ziel ist es hierbei explizit nicht, dass die Schüler*innen den Beweis in jedem Detail, wie im Teil "Mathematischer Hintergrund", verstehen aber die Grundlegenden Argumentationen und mathematischen Tricks nachvollziehen. Außerdem ist vor allem das Beweisen etwas, dass im Rahmenlehrplan (\cite{lisum-2022} und \cite{lisum-2023}) nicht gefordert ist, wodurch es sich sehr gut für eine MatheAG oder Zusatzstunde handelt, in der Inhalte über den klassischen Unterricht hinaus behandelt werden.\\
-% 1 -> n! -> gamma Funktion -> Sterling Approx geben (Visuell!)
-% 2 -> Vorfaktor "abschätzen"
-% 3 -> potenzen Killen um E funktion zu gewinnen!
-	% ln und umformen (Klassenstufe! -> Anschätzung und Ergebnis vorgeben, nicht rechnen)
-	% Rücksubstitution machen
-Das dritte Arbeitsblatt, \emph{Galton x ZSG Movire-Laplace}, dient dem Beweis des zentralen Grenzwertsatzes von Movire-Laplace. Ziel ist es hierbei explizit nicht, dass die Schüler*innen den Beweis in jedem Detail, wie im Teil "Mathematischer Hintergrund", verstehen aber die Grundlegenden Argumentationen und mathematischen Tricks nachvollziehen. Außerdem ist vor allem das Beweisen etwas, dass im Rahmenlehrplan (\cite{lisum-2022} und \cite{lisum-2023}) nicht gefordert ist, wodurch es sich sehr gut für eine MatheAG oder Zusatzstunde handelt, in der Inhalte über den klassischen Unterricht hinaus behandelt werden.\\
 Für das Arbeitsblatt sollten die Schüler*innen bereits mit der Binomialverteilung, Zufallsvariablen, Logarithmen sowie der e-Funktion vertraut sein und mit etwas Formalismus umgehen können. Tiefgreifende Kenntnisse zur Normalverteilung sind nicht vorausgesetzt und werden auf dem Arbeitsblatt in ausreichender Form wiederholt bzw. können selbständig aufbereitet werden. Es ist empfohlen mindestens das Arbeitsblätt \emph{Pascalsches Dreieck} und optimaler Weise auch noch das Arbeitsblatt \emph{Galton x Plinko} vorher bearbeitet zu haben, um das Konzept des Galtonbrettes und dessen Zusammenhang mit der Binomialverteilung verstanden zu haben.\\
 Auf dem Arbeitsblatt wird die formale Modellierung des Galtonbrettes vorgestellt und soll durch eine Zuordnungsaufgabe durch die Schüler*innen vertieft werden. Im Anschluss soll der Bezug zwischen Binomial- und Normalverteilung wiederholt bzw. erarbeitet werden. Das Kernstück des Arbeitsblattes stellt der Lückentext-Ähnliche Beweis dar. Hier sollen die Schüler einige Mathematische Argumentationen nachvollziehen und einige Umformungen selbst durchführen, um den Beweis nachvollziehen zu können. Sollten die Schüler leistungsschwächer sein oder an einem Punkt fest Stecken gibt es zur Differenzierung Lösungskarten für die Lücken, welche den Schülern in nicht sortierter Reihenfolge zur Verfügung gestellt werden können.

content/Einleitung.tex

@@ -2,7 +2,7 @@ Das Galtonbrett zählt zu den bekanntesten Demonstrationsmodellen der Wahrschein
 
 Aus mathematischer Sicht bildet das Galtonbrett die Binomialverteilung ab, wobei sich die Verteilung mit zunehmender Anzahl an Stiftreihen einer Normalverteilung annähert. Das Verhalten steht in engem Zusammenhang mit dem zentralen Grenzwertsatz. Zur Beschreibung dieser Annäherung spielen außerdem die Fakultätsfunktion sowie die zugehörige Approximation durch die Stirling-Formel eine wichtige Rolle. 
 
-Das Galtonbrett stellt einen hohen didaktischen Wert dar, indem es ein anschauliches Experiment zu Grundkonzepten der Stochastik und Analysis und deren Verknüpfung liefert. Das Modell eignet sich besonders für den Einsatz in der Sekundarstufe II in Mathe-AGs und -clubs, in denen über den Unterricht hinausgehende Inhalte behandelt werden können. Insbesondere die Verbindung von praktischem Experiment, Simulation und theoretischer Herleitung ermöglicht einen vertiefern Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie.
+Das Galtonbrett stellt einen hohen didaktischen Wert dar, indem es ein anschauliches Experiment zu Grundkonzepten der Stochastik und Analysis und deren Verknüpfung liefert. Das Modell eignet sich besonders für den Einsatz in der Sekundarstufe II in Mathe-AGs und -clubs, in denen über den Unterricht hinausgehende Inhalte behandelt werden können. Insbesondere die Verbindung von praktischem Experiment, Simulation und theoretischer Herleitung ermöglicht einen vertieften Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie.
 
 Ziel der Ausarbeitung ist es, die mathematischen Grundlagen des Galtonbretts auf Hochschulniveau darzustellen und deren Zusammenhänge verständlich herzuleiten. Anschließend werden diese Inhalte auf das mathematische Vorwissen der Klassenstufe 10 bis 12 übertragen und didaktisch aufbereitet. Die entstehenden Arbeitsmaterialien ermöglichen den Schüler*innen einen vertieften Einblick in die mathematischen Hintergründe des Galtonbretts.
 

content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 %"ltex.language": "de-DE"
 
 \subsection{Beweis des zentralen Grenzwertsatzes}
-Das Galtonbrett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess mithilfe einer Binomialverteilung und beweisen anschließend den zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015}.
+Das Galtonbrett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess mithilfe einer Binomialverteilung und beweisen anschließend den (lokalen) zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015}.
 \begin{definition}[Modell des Galtonbretts]{galton}{nach \cite[S. 252-253]{buchter_elementare_2005}}
 	Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. 
 	Der Fall einer Kugel durch ein Galtonbrett mit $n \in \mathbb{N}$ Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei $X_i \in \{0, 1\}$.
@@ -83,14 +83,14 @@ Eine weitere in diesem Kontext interessante Verteilung ist die Normalverteilung.
 	\[ X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma ^2)\]
 	Die Dichte der Normalverteilung wird auch ``Gauß’sche Glockenkurve'' genannt.
 \end{definition}
-Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der Fakultäten sehr aufwendig. An dieser Stelle greift der zentrale Grenzwertsatz, der besagt, dass sich die Binomialverteilung für große $n$ der Normalverteilung annähert. Für große $n$ lässt sich damit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (aufgrund der Standardisierung) deutlich leichter bestimmen. Des Weiteren ist es mathematisch gesehen sehr schön zu sehen, wie eine relativ einfache diskrete Verteilung, wie die Binomialverteilung, mit einer mathematisch per se sehr anders aussehenden Verteilung zusammenhängt. Im Spezialfall der Binomialverteilung wird dies durch den Satz von Moivre-Laplace formalisiert \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015, statistik_verstehen_beweis_2019}.
+Es ist mathematisch gesehen sehr schön zu sehen, wie eine relativ einfache diskrete Verteilung, wie die Binomialverteilung, mit einer mathematisch per se sehr anders aussehenden Verteilung zusammenhängt. Im Spezialfall der Binomialverteilung wird dies durch den Lokalen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace formalisiert \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015, statistik_verstehen_beweis_2019}.
 \begin{satz}[Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{moivrelaplace}{nach \cite{georgii_stochastik_2015}}
 	Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$. Dann gilt bei einem beliebigen $c>0$ mit $z=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$, dass
 	\[
-		\lim_{n \to \infty} \mathop{\max}\limits_{k:|z|\leq c} \left|\frac{P(S_n=k)}{f_\mathcal{N(\mu, \sigma^2)}(k)}\right| = 1
+		\lim_{n \to \infty} \mathop{\max}\limits_{k:|z|\leq c} \left|\frac{P(S_n=k)}{f_\mathcal{N}(\mu, \sigma^{2})}(k)\right| = 1
 	\]
 \end{satz}
-In der Literatur wird allgemein vom Satz von Moivre-Laplace gesprochen, wenn die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung gemeint ist \cite{statistik_verstehen_beweis_2019}. Mathematisch präzise muss jedoch zwischen dem globalen und dem lokalen Grenzwertsatz unterschieden werden \cite{georgii_stochastik_2015, kosenkova_stochastik_2025}. Wir beweisen im Folgenden den lokalen Grenzwertsatz, der das (lokale) Annähern des ``oberen Randes'' des Histogramms der Binomialverteilung an die Glockenkurve beschreibt \cite{georgii_stochastik_2015}. Hierbei wird \emph{nicht} die Approximation der Binomial durch die Normalverteilung bewiesen.
+In der Literatur wird allgemein vom Satz von Moivre-Laplace gesprochen, wenn die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung gemeint ist \cite{statistik_verstehen_beweis_2019}. Mathematisch präzise muss jedoch zwischen dem globalen und dem lokalen Grenzwertsatz unterschieden werden \cite{georgii_stochastik_2015, kosenkova_stochastik_2025}. Wir beweisen im Folgenden den lokalen Grenzwertsatz, der das (lokale) Annähern des ``oberen Randes'' des Histogramms der Binomialverteilung an die Glockenkurve beschreibt \cite{georgii_stochastik_2015}. Hierbei wird \emph{nicht} die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung bewiesen.
 \begin{proof}
 	Der Beweis folgt zum großen Teil dem Beweis von \cite{statistik_verstehen_beweis_2019} und wurde von den Autoren aufgrund der Konkretisierung des Satzes \cite{georgii_stochastik_2015} weiter konkretisiert.\\
 	Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$, sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese drei Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.\\
@@ -197,7 +197,7 @@ In der Literatur wird allgemein vom Satz von Moivre-Laplace gesprochen, wenn die
 	Setzen wir dies nun zurück in \cref{eq5:4} ein, erhalten wir:
 	\begin{align}
 		&(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \nonumber \\
-		&=(-np - z\sqrt{npq})(z\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{z^2 q}{2np} + O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-nq + z\sqrt{npq}))(-z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{z^2 p}{2nq} + O((z\gamma)^3)) \nonumber \\
+		&=(-np - z\sqrt{npq})(z\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{z^2 q}{2np} + O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-nq + z\sqrt{npq})(-z\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{z^2 p}{2nq} + O((z\gamma)^3)) \nonumber \\
 		&=(-npz\sqrt{\frac{q}{np}}+\frac{npz^2q}{2np}-z^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{q}{np}} + O((z\beta)^3)) + O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \nonumber\\ &\quad + (nqz\sqrt{\frac{p}{nq}}+\frac{nqz^2p}{2nq}-z^2\sqrt{npq}\sqrt{\frac{p}{nq}} + O((z\gamma)^3))\nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)\label{eq6:1}\\
 		&\sim(-z\sqrt{\frac{(np)^2q}{np}}+\frac{z^2q}{2}-z^2\sqrt{\frac{npq^2}{np}}+O((z\beta)^3)) \nonumber \\ &\quad + (z\sqrt{\frac{(nq)^2p}{nq}}+\frac{z^2p}{2}-z^2\sqrt{\frac{np^2q}{nq}} + O((z\gamma)^3)) \nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3) \label{eq6:2}\\
 		&=(-z\sqrt{npq}-z^2q+\frac{z^2q}{2} + O((z\beta)^3)) + (z\sqrt{npq}-z^2p+\frac{z^2p}{2} + O((z\gamma)^3))\nonumber \\ &\quad + (-np - z\sqrt{npq}) \cdot O((z\beta)^3) + (-nq + z\sqrt{npq}) \cdot O((z\gamma)^3)\label{eq6:3} \\
@@ -289,7 +289,7 @@ Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
 Ein Beweis hierzu befindet sich in \cite{forster_analysis_2023}.
 
 \subsection{Stirling-Approximation}
-Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vorallem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
+Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vor allem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
 \begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}{\cite{freitag1995-oj}}
 	Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
 	\[
@@ -366,7 +366,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 		&\left(d_n-\frac{1}{12n}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)}\right)\\
 		<\quad0\quad<\quad&\left(d_n-\frac{1}{12n+1}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)+1}\right)
 	\end{align*}
-	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim_{n\rightarrow\infty} d_n$.
+	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monoton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim_{n\rightarrow\infty} d_n$.
 	\begin{align*}
 		d_n-\frac{1}{12n}\quad&<\quad c\quad<\quad d_n-\frac{1}{12n+1}\\
 		c+\frac{1}{12n+1}\quad&<\quad d_n\quad<\quad c+\frac{1}{12n}
@@ -488,7 +488,7 @@ Der Beweis entspricht im wesentlichen dem 2006 von Wolfgang Kössler geführten
 %\end{proof}
 
 \subsection{Taylor-Approximation}
-Um eine Taylorpproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. Da $\ln(1-x)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist, ist diese Aussage trivial.
+Um eine Taylorapproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. Da $\ln(1-x)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist, ist diese Aussage trivial.
 \begin{proposition}{dreimalableiten}
 	$f(x)=\ln(1-x)$ ist mindestens dreimal differenzierbar.
 \end{proposition}
@@ -509,7 +509,7 @@ Bevor wir die Approximation  nachweisen, ist eine formale Definition des Satzes
 \begin{bemerkung}
 	Das Lagrange-Restglied ist in den meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n+1$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$.
 	
-	Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^{n+1})$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algortihmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
+	Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^{n+1})$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algorithmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
 	
 	Die Definition des Taylorpolynoms entspringt direkt dem Satz von Taylor, nur ohne das Lagrange-Restglied.
 \end{bemerkung}
@@ -560,7 +560,7 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
 	\]
 \end{proof}
 \begin{bemerkung}
-	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben, welcher durch das Langrange-Restglied beziehungsweise die Landaunotation ausgedrückt wird. Da auch in Abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
+	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben, welcher durch das Lagrange-Restglied beziehungsweise die Landaunotation ausgedrückt wird. Da auch in Abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
 \end{bemerkung}
 Im Plot können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x_0=0$ herum sehr ähnlich sind. 
 \begin{figure}[H]

content/Weiterfuehrende_Ideen.tex

@@ -1,4 +1,7 @@
-Das klassische Galtonbrett ist ein elegantes mechanisches Modell zur Veranschaulichung des zentralen Grenzwertsatzes (ZGS). Die Standardannahme geht dabei von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen aus: jede Kugel trifft an jedem Stift mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0.5$ die Entscheidung, nach links oder rechts zu fallen ohne, dass diese sich gegenseitig beeinflussen. Im Rahmen tiefergehender Recherchen zeigen sich jedoch spannende theoretische, sowie praktische Erweiterungsmöglichkeiten, die weit über das Standardmodell hinausgehen.
+Das klassische Galtonbrett ist ein elegantes mechanisches Modell zur Veranschaulichung des lokalen und zentralen Grenzwertsatzes. Die Standardannahme geht dabei von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen aus: jede Kugel trifft an jedem Stift mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0.5$ die Entscheidung, nach links oder rechts zu fallen ohne, dass diese sich gegenseitig beeinflussen. Im Rahmen tiefergehender Recherchen zeigen sich jedoch spannende theoretische, sowie praktische Erweiterungsmöglichkeiten, die weit über das Standardmodell hinausgehen.
+\paragraph{Zentraler Grenzwertsatz}
+In dieser Arbeit wurde der Fokus auf den lokalen Grenzwertsatz von Movire-Laplace gelegt. Es ist ebenso möglich dieses Resultat weiter zum zentralen Grenzwertsatz von Movire-Laplace zu erweitern. Hiermit lässt sich zeigen, dass sich die Binomialverteilung mithilfe der Normalverteilung approximieren lässt \cite{kosenkova_stochastik_2025}.
+
 \paragraph{Unabhängigkeit}
 In der Realität ist die strikte Unabhängigkeit aufeinanderfolgender Schritte oft eine Idealisierung. Physikalisch gesehen könnte eine Kugel den Stift in leichte Schwingungen versetzen oder Drall mitnehmen, was die Wahrscheinlichkeit für den nächsten Schritt beeinflusst. Mathematisch lässt sich diese Voraussetzung jedoch lockern, indem statt Zufallsvariablen Martingale betrachtet werden. Unter bestimmten Voraussetzungen greif hier dann der Martingal-Zentralgrenzwertsatz, wodurch wieder die Normalverteilung angenähert wird \cite{posedel_martingale_2025}.
 

content/Zeitplan.tex

@@ -1,7 +1,13 @@
 Da sich das Themengebiet über einige Niveau- und Klassenstufen des Brandenburger Rahmenlehrplanes streckt \cite{lisum-2023}, und das Galtonbrett sich auch sehr gut eignet, auf verschiedenen Komplexitätsstuufen zu unterrichten, schlagen wir folgende Unterteilung vor:\\
 
 Ab 10. Klasse:\\
-Eine Grundlegende Auseinandersetzung mit dem Galtonbrett und den Zusammenhang mit der Binomialverteilung und dem Pascallschem Dreieck, lässt sich wunderbar ohne höhere mathematische Inhalte erarbeiten. Hierzu eignen sich insbesondere das  Arbeitsblatt \emph{Galton x Pascal} (c.a. 25 min) und \emph{Galton x Plinko} (c.a. 25 min). Wir würden auch empfehlen beide zu bearbeiten. Wenn eine ausblicksartige Auseinandersetzung im Zusammenhang mit der Normalverteilung gewünscht ist (ohne in die mathematischen Details dieser einzutauchen) kann hierzu auch noch Aufgabe 1 bis Aufgabe 3 des Arbeitsblattes \emph{Galton x ZSG Movire-Laplace} (c.a. 15min) mit eingebunden werden.\\
+Eine Grundlegende Auseinandersetzung mit dem Galtonbrett und den Zusammenhang mit der Binomialverteilung und dem Pascallschem Dreieck, lässt sich wunderbar ohne höhere mathematische Inhalte erarbeiten. Hierzu eignen sich insbesondere das  Arbeitsblatt \emph{Galton x Pascal} (c.a. 25 min) und \emph{Galton x Plinko} (c.a. 25 min). Wir würden auch empfehlen beide zu bearbeiten. Wenn eine ausblicksartige Auseinandersetzung im Zusammenhang mit der Normalverteilung gewünscht ist (ohne in die mathematischen Details dieser einzutauchen) kann hierzu auch noch Aufgabe 1 bis Aufgabe 3 des Arbeitsblattes \emph{Galton x ZSG Movire-Laplace} (c.a. 15min) mit eingebunden werden. Als Ablauf empfehlen wir folgendes Vorgehen:\\
+
+\emph{Galton x Plinko }(Seite 1) $\rightarrow$ \emph{Galton x Pascal} $\rightarrow$ \emph{Galton x Plinko} (Seite 2)\\
+$\overset{optional}{\rightarrow}$ \emph{Galton x LGS} (Aufgabe 1 bis 3)
 
 Ab 12. Klasse:\\
-Um eine tiefgreifende Auseinandersetzung mit dem Galtonbrett zu ermöglichen empfehlen wir alle drei Arbeitsblätter anzubieten. Wir empfehlen mit dem Arbeitsblatt \emph{Galton x Pascal} (c.a. 25 min) zu beginnen, daran das Arbeitsblatt \emph{Galton x Plinko} (c.a. 25 min) anzuschließen und das Arbeitsblatt \emph{Galton x ZSG Movire-Laplace} (c.a. 40min) zum Abschluss zu benutzen. Das Arbeitsblatt \emph{Galton x Plinko} ist hierbei als optional zu betrachten und dient lediglich der vertiefenden Auseinandersetzung mit dem Galtonbrett und der Motivation. 
+Um eine tiefgreifende Auseinandersetzung mit dem Galtonbrett zu ermöglichen empfehlen wir alle drei Arbeitsblätter anzubieten. Als verkürzte Variante ließe sich hier auch das Arbeitsblatt \emph{Galton x Plinko} auslassen. Daher empfehlen wir folgenden Progression:\\
+\emph{Galton x Plinko} (Seite 1) $\rightarrow$ \emph{Galton x Pascal} $\rightarrow$ \emph{Galton x Plinko} (Seite 2) $\rightarrow$ \emph{Galton x LGS} \\
+oder\\
+\emph{Galton x Pascal} $\rightarrow$ \emph{Galton x LGS} \\

galton.tex

@@ -5,6 +5,9 @@
 \usepackage{pgfplots}
 \usepackage{pdfpages}
 
+\usepackage{tabularx}               % Automatische Breitenanpassung & Umbrüche
+\usepackage{booktabs}               % Für professionelle Tabellenlinien (optional)
+
 \usepackage{Matheclub}
 
 \addbibresource{bibliography.bib}

material/ab1.tex

@@ -215,32 +215,41 @@
 	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
 	
 	\section{\curtitle}
-	\begin{figure}[H]
+	
-		\centering
+	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
-		% Erstes Bild
-		\begin{minipage}[t]{0.7\textwidth}
-			\centering
-			Im Stochastik Unterricht ist dir sicherlich schon einmal die 
-			Formel des Binomialkoeffizienten (Abb. \ref{fig:bino}) begegnet. 
 	\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
-				Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen.
+		Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen:
-			\end{definitionbox}
-		\end{minipage}
-		\hfill
-		% Zweites Bild
-		\begin{minipage}[t]{0.25\textwidth}
-			\centering
 		\[
 		\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
 		\]
-			\caption{Formel Binomialkoeffizienten}
+	\end{definitionbox}
-			\label{fig:bino}
-		\end{minipage}
-	\end{figure}
 	
-	
+%	\begin{figure}[H]
-	
+%		\centering
-	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
+%		% Erstes Bild
+%		\begin{minipage}[t]{0.7\textwidth}
+%			\centering
+%			Im Stochastik Unterricht ist dir sicherlich schon einmal die 
+%			Formel des Binomialkoeffizienten (Abb. \ref{fig:bino}) begegnet. 
+%			\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
+%				Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen.
+%			\end{definitionbox}
+%		\end{minipage}
+%		\hfill
+%		% Zweites Bild
+%		\begin{minipage}[t]{0.25\textwidth}
+%			\centering
+%			\[
+%			\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
+%			\]
+%			\caption{Formel Binomialkoeffizienten}
+%			\label{fig:bino}
+%		\end{minipage}
+%	\end{figure}
+%	
+%	
+%	
+%	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schon einmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
 	
 	
 	Zum Warmwerden berechnen wir:
@@ -335,22 +344,22 @@
 					\node at (12.25,14.1875) {$\binom{1}{1}=$};
 					
 					\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
-					\node at (10.875,12.8125) {$\binom{2}{0}=$};
+					\node at (10.875,12.8125) {$\binom{2}{1}=$};
 					
 					\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
-					\node at (8.125,12.8125) {$\binom{2}{1}=$};
+					\node at (8.125,12.8125) {$\binom{2}{0}=$};
 					
 					\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
 					\node at (13.625,12.8125) {$\binom{2}{2}=$};
 					
 					\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
-					\node at (12.25,11.4375) {$\binom{3}{0}=$};
+					\node at (12.25,11.4375) {$\binom{3}{2}=$};
 					
 					\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
 					\node at (9.5,11.4375) {$\binom{3}{1}=$};
 					
 					\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
-					\node at (6.75,11.4375) {$\binom{3}{2}=$};
+					\node at (6.75,11.4375) {$\binom{3}{0}=$};
 					
 					\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
 					\node at (15,11.4375) {$\binom{3}{3}=$};
@@ -364,7 +373,7 @@
 	\noindent
 	\begin{minipage}[t]{0.62\textwidth}\vspace{0pt}
 		\begin{definitionbox}[Galtonbrett]
-			Das \textbf{Galtonbrett} ist ein mechanisches Demonstrationsgerät aus der Stochstik, bei welchem kleine Kugeln auf horizontal und dreieckig angeordnete Stäbchen fallen gelassen wird (hier zweidimenional von vorne dargestellt). Bei jedem Aufprall auf ein Stäbchen teilt sich ihr Weg: entweder nach links, oder nach rechts.	
+			Das \textbf{Galtonbrett} ist ein mechanisches Demonstrationsgerät aus der Stochastik, bei welchem kleine Kugeln auf horizontal und dreieckig angeordnete Stäbchen fallen gelassen wird (hier zweidimensional von vorne dargestellt). Bei jedem Aufprall auf ein Stäbchen teilt sich ihr Weg: entweder nach links, oder nach rechts.	
 		\end{definitionbox}
 	\end{minipage}
     \hfill
@@ -470,13 +479,13 @@
 		
 		\item Zähle nun die verschiedenen Pfade, die eine Murmel nehmen kann, sodass sie in den darunterliegenden Fächern landet.
 		\scriptsize(Hinweis: Nutze die Beschreibung, dass eine Kugel immer nur  nach rechts (r) oder links (l) fallen kann und schreibe das in Mengenschreibweise, sodass du keinen Pfad vergisst.) \normalsize \\
-		Bsp: Fach 0: $A_0=\{(L,L,L)\} \Rightarrow \text{Pfade}_0=|A_0|=2$
+		Bsp: Fach 0: $A_0=\{(l,l,l)\} \Rightarrow \text{Pfade}_0=|A_0|=2$
 		\vspace{85pt}
 		
 		\item Dir ist sicherlich schon aufgefallen, dass die meisten Pfade in die Mitte führen. Untersuche nun die Anzahl der Pfade zu jedem der Stäbchen und vergleiche diese mit dem Pascalschen Dreieck. Was fällt dir auf? 
 		\vspace{85pt}
 		
-		\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariabel $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?
+		\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariable $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?
 	\end{enumerate}
 	
 	\label{LastPage}

material/ab1_Lös.tex

@@ -234,32 +234,13 @@
 	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
 	
 	\section{\curtitle}
-	\begin{figure}[H]
+	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
-		\centering
-		% Erstes Bild
-		\begin{minipage}[t]{0.7\textwidth}
-			\centering
-			Im Stochastik Unterricht ist dir sicherlich schon einmal die 
-			Formel des Binomialkoeffizienten (Abb. \ref{fig:bino}) begegnet. 
 	\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
-				Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen.
+		Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen:
-			\end{definitionbox}
-		\end{minipage}
-		\hfill
-		% Zweites Bild
-		\begin{minipage}[t]{0.25\textwidth}
-			\centering
 		\[
 		\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
 		\]
-			\caption{Formel Binomialkoeffizienten}
+	\end{definitionbox}
-			\label{fig:bino}
-		\end{minipage}
-	\end{figure}
-	
-	
-	
-	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
 	
 	
 	Zum Warmwerden berechnen wir:
@@ -354,34 +335,34 @@
 				\begin{circuitikz}[x=0.8cm,y=0.8cm]
 					
 					\draw (10.25,16.25) rectangle (13,14.875);
-					\node at (10.875,15.5625) {$\binom{0}{0}=1$};
+					\node at (11.75,15.5625) {$\binom{0}{0}=1$};
 					
 					\draw (8.875,14.875) rectangle (11.625,13.5);
-					\node at (9.5,14.1875) {$\binom{1}{0}=1$};
+					\node at (10.25,14.1875) {$\binom{1}{0}=1$};
 					
 					\draw (11.625,14.875) rectangle (14.375,13.5);
-					\node at (12.25,14.1875) {$\binom{1}{1}=1$};
+					\node at (13,14.1875) {$\binom{1}{1}=1$};
 					
 					\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
-					\node at (10.875,12.8125) {$\binom{2}{0}=1$};
+					\node at (11.75,12.8125) {$\binom{2}{1}=2$};
 					
 					\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
-					\node at (8.125,12.8125) {$\binom{2}{1}=2$};
+					\node at (8.875,12.8125) {$\binom{2}{0}=1$};
 					
 					\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
-					\node at (13.625,12.8125) {$\binom{2}{2}=1$};
+					\node at (14.375,12.8125) {$\binom{2}{2}=1$};
 					
 					\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
-					\node at (12.25,11.4375) {$\binom{3}{0}=1$};
+					\node at (13,11.4375) {$\binom{3}{2}=3$};
 					
 					\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
-					\node at (9.5,11.4375) {$\binom{3}{1}=3$};
+					\node at (10.25,11.4375) {$\binom{3}{1}=3$};
 					
 					\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
-					\node at (6.75,11.4375) {$\binom{3}{2}=3$};
+					\node at (7.5,11.4375) {$\binom{3}{0}=1$};
 					
 					\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
-					\node at (15,11.4375) {$\binom{3}{3}=1$};
+					\node at (15.75,11.4375) {$\binom{3}{3}=1$};
 				\end{circuitikz}
 			\end{figure}
 	\end{enumerate}

material/ab2.tex

@@ -249,32 +249,38 @@
 	
 	\begin{enumerate}
 		\setcounter{enumi}{1}
-		\item Stell eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Faktoren liegen.
+		\item Stell eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Multiplikatoren liegen.
-		\answer{3}
+		\answer{4}
 		
-		\item Stell eine Vermutung auf, wieso die Faktoren an den Randfächern am größten sind.
+		\item Stelle eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Multiplikatoren liegen.
-		\answer{3}
+		\answer{4}
 		
-		\item Argumentiere, wieso man auf lange Sicht verliert oder gewinnt.
+		\item Stelle eine Vermutung auf, wieso an den Rändern aller Fächer die größten Multiplikatoren liegen.
-		\answer{3}
+		\answer{4}
+		
+		\item Stelle Vermutungen auf, ob man auf lange Sicht gewinnt oder verliert. 
+		\answer{4}
 	\end{enumerate}
+	\newpage
 	
-	Mit dem Wissen über das Galtonbrett und seine Verteilung können wir nun fundierte Schlüsse über Plinko ziehen:
+	\section{Galton x Plinko Teil 2}
+	Mit dem Wissen über das Galtonbrett und seine Verteilung können wir nun fundierte Schlüsse über Plinko ziehen. Website: \url{https://plinko-web-game.netlify.app/}
 	\begin{enumerate}[itemsep=11pt]
-		\setcounter{enumi}{4}
+		\item Bestimme die Wahrscheinlichkeit, die eine Kugel in Plinko hat, dass Sie nach links oder Rechts hüpft? \hrulefill
-		\item Die Wahrscheinlichkeit mit der eine Kugel in Plinko nach links bzw. rechts hüpft ist \hrulefill
+		\item Nenne die Anzahl der Ebenen in Plinko. \small(Hinweis: beginne bei 0 an zu zählen) \normalsize
-		\item Nenne die Anzahl der Ebenen in Plinko. \hrulefill
+		\hrulefill
 		\item Gib die Anzahl an Faktoren (Fächern) an. \hrulefill
-		\item Gib nun eine Zufallsvariable $X\sim \text{Bin}_{n,p}$ an. \hrulefill
+		\item Gib nun eine Formel an, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine Kugel im Fach $k$ landet. \small (Hinweis: Galton x Pascal) \normalsize \hrulefill
 		\item Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
 		\begin{enumerate}[label=\alph*),itemsep=11pt]
-			\item Die Kugel landet beim Multiplikator $0,3x$. \hrulefill
+			\item Die Kugel landet beim Multiplikator $0,3 \times$. \hrulefill
 			\item Eine Kugel holt ihren gesetzten Betrag exakt wieder rein. \hrulefill
-			\item Eine Kugel landet in einem der beiden höchsten Faktoren. \hrulefill
+			\item Eine Kugel landet in einem der beiden höchsten Multiplikatoren. \hrulefill
-%			\item Zwei Kugeln holen mit Einsatz von je 1\$ einen Gewinn von gesamt 4\$. \hrulefill
 		\end{enumerate}
 		\item Bestimme den Erwartungswert, wenn der Einsatz immer 1\$ ist.
+		\answer{3}
 		\item Überprüfe die These: "\textit{Je höher mein Einsatz ist, desto mehr bekomme ich raus.}".
+		\answer{3}
 
 	\end{enumerate}
 

material/ab3.tex

@@ -221,7 +221,7 @@
 \sethlcolor{black!10} % Farbe des "Textmarkers"
 
 \newcommand{\curdate}{09.07.2026}
-\newcommand{\curtitle}{Galton x ZSG Movire-Laplace}
+\newcommand{\curtitle}{Galton x LGS}
 
 \title{\curtitle}
 \author{Fierke, Janik, Weidlich}
@@ -236,7 +236,7 @@
 	
 	\setcounter{section}{2}
 	\section{\curtitle}
-	Das Galtonbrett lässt sich wir folgt formal mathematisch formulieren:
+	Das Galtonbrett lässt sich wie folgt formal mathematisch formulieren:
 	\begin{definitionbox}[Modell des Galtonbretts]
 		Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
 		Der Fall einer Murmel durch ein Galtonbrett mit \hl{$\bm{n \in \mathbb{N}}$} Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei \hl{$\bm{X_i \in \{0, 1\}}$}.
@@ -267,7 +267,7 @@
 	\begin{enumerate}
 		\item Probiere das ganze selbst einmal auf folgender Website aus: \url{https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm}.\\ Was fällt dir auf? \\ \textit{Achtung: stelle p = 0,5 für ein symmetrisches Brett ein!}
 		\answer{1}
-		\item Recherchiere selbstständig und zeichne den Graphen der Normalverteilung über die Verteilung des Galtonbrettes ein:
+		\item Recherchiere selbstständig und zeichne den Graphen der Dichtefunktion der Normalverteilung über die Verteilung des Galtonbrettes ein:
 		\begin{figure}[H]
 			\centering
 			\includegraphics[width=0.8\linewidth]{../images/AB3_GaltonVersuche.png}
@@ -288,23 +288,23 @@
 		\end{table}
 	\end{enumerate}
 	Wir wollen nun das schöne mathematische Phänomen, welches sich in Aufgabe 2.2 offenbart, genauer betrachten. Hierzu formulieren wir dies zuerst mathematisch formal sauber:
-	\begin{satzbox}[Zentraler Grenzwertsatz von de Movire-Laplace]
+	\begin{satzbox}[Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]
 		Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit. (Beispielsweise bei einem Galtonbrett)\\
-		Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
+		Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Glockenkurve (Dichtefunktion der Normalverteilung) annähern:
 		\[
-			S_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)
+			P(S_n=k) \sim f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k)
 		\]
-		wobei $\mathbb{E}(X)=\mu$, $Var(X)=\sigma ^2$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
+		wobei $\mathbb{E}(S_n)=\mu$, $Var(S_n)=\sigma ^2$ und $ z = \frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
 	\end{satzbox}
-	Diesen Satz wollen wir nun Semi-Formal beweisen.\\
+	Diesen Satz wollen wir nun semiformal beweisen.\\
 	\textbf{\underline{Aufgabe 3:}} Fülle die Lücken im Beweis aus. Wenn du dir unsicher bist kannst du dir alle fehlenden Textbausteine auf dem Zusatzblatt ansehen.
 	\begin{enumerate}
 		\item Bevor wir den Satz beweisen, ist es wichtig, die Aussage zu verstehen. Formuliere die Kernaussage den Satzes kurz in eigenen Worten:
 			\answer{3}
 		\item Zuerst muss uns nochmal klar werden, was unser Ausgangspunkt und und das Ziel ist:\\
 				Ausgangspunkt: $P(S_n = k) = $ \antwortbox[6cm] \vspace{1em} \\
-				Ziel: $\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}=$ \antwortbox[6cm]
+				Ziel: $f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}=$ \antwortbox[6cm]
-		\item Wir wollen die Binomialverteilung als diskrete Verteilung in eine stetige Verteilung überführen. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
+		\item Wir wollen die Zähldichte der Binomialverteilung (diskrete Verteilung) mithilfe der Dichte einer einer stetige Verteilung approximieren. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der reellen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
 		
 		Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion (für $\Gamma(x+1)$) abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$ ein:
 		\begin{figure}[H]
@@ -332,7 +332,7 @@
 				\end{axis}
 			\end{tikzpicture}
 		\end{figure}
-		Mithilfe dieser Funktion lässt sich die Fakultät leicht approximieren. Diese Approximation nennt sich Sterling Approximation und besagt:
+		Mithilfe dieser Funktion lässt sich die Fakultät leicht approximieren. Diese Approximation nennt sich Stirling-Approximation und besagt:
 		\[
 			n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sim \Gamma(n+1)
 		\] %Stimmt das mit dem Gamma?
@@ -340,7 +340,7 @@
 		\[
 			P(S_n = k) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}
 		\]
-		\item Aus dieser Formel lässt sich nun leicht schon einmal der Vorfaktor der Normalverteilung erschließen. Hierzu und zu Vereinfachung weiterer Rechnungen standardisieren wir $S_n$. Dies entspricht auch einer einfachen Substitution und daher vollkommen legitim. Hierzu definieren wir:
+		\item Aus dieser Formel lässt sich nun leicht schon einmal der Vorfaktor der Glockenkurve erschließen. Hierzu und zu Vereinfachung weiterer Rechnungen standardisieren wir $S_n$. Dies entspricht auch einer einfachen Substitution und daher vollkommen legitim. Hierzu definieren wir:
 		\[
 			Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sigma(S_n)}
 		\]
@@ -385,14 +385,14 @@
 		Nenne die Rechengesetze und Substitutionen, welche vermutlich für diese Umformung genutzt wurden!
 		\answer{3}
 		
-		Diese Darstellung des Thermes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Tailor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
+		Diese Darstellung des Termes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Taylor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
 		\[
 			ln(1-\alpha) \sim -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}
 		\]
 		\[
 			ln(1+\alpha) \sim \alpha-\frac{\alpha^2}{2}
 		\]
-		Mithilfe einiger Umformungen zufallen dadurch die sich ähnlich sehenden Terme, was zu folgendem, erstaunlichem, Resultat führt:
+		Mithilfe einiger Umformungen entfallen dadurch die sich ähnlich sehenden Terme, was zu folgendem, erstaunlichem, Resultat führt:
 		\[
 			(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \sim -\frac{z^2}{2}
 		\]
@@ -407,7 +407,7 @@
 			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
 			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}
 		\end{align*}
-		Daher konvergiert eine Binomialverteilte Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.
+		Daher nähert sich die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
 	\end{enumerate}
 	\label{LastPage}
 \end{document}

material/ab3_Lös.tex

@@ -291,13 +291,13 @@
 	\end{enumerate}
 	\vspace{4em}
 	Wir wollen nun das schöne mathematische Phänomen, welches sich in Aufgabe 2.2 offenbart, genauer betrachten. Hierzu formulieren wir dies zuerst mathematisch formal sauber:
-	\begin{satzbox}[Zentraler Grenzwertsatz von de Movire-Laplace]
+	\begin{satzbox}[Lokaler Grenzwertsatz von de Movire-Laplace]
 		Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit. (Beispielsweise bei einem Galtonbrett)\\
-		Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
+		Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Glockenkurve (Dichtefunktion der Normalverteilung) annähern:
 		\[
-		S_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)
+		P(S_n=k) \sim f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k)
 		\]
-		wobei $\mathbb{E}(X)=\mu$, $Var(X)=\sigma ^2$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
+		wobei $\mathbb{E}(S_n)=\mu$, $Var(S_n)=\sigma ^2$ und $ z = \frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
 	\end{satzbox}
 	Diesen Satz wollen wir nun Semi-Formal beweisen.\\
 	\textbf{\underline{Aufgabe 3:}} Fülle die Lücken im Beweis aus. Wenn du dir unsicher bist kannst du dir alle fehlenden Textbausteine auf dem Zusatzblatt ansehen.
@@ -308,8 +308,8 @@
 		\item Zuerst muss uns nochmal klar werden, was unser Ausgangspunkt und und das Ziel ist:
 		\vspace{3em}
 		Ausgangspunkt: $P(S_n = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$ \vspace{2em} \\
-		Ziel: $\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)}$ \vspace{3em}
+		Ziel: $f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)}$ \vspace{3em}
-		\item Wir wollen die Binomialverteilung als diskrete Verteilung in eine stetige Verteilung überführen. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
+		\item Wir wollen die Zähldichte der Binomialverteilung (diskrete Verteilung) mithilfe der Dichte einer einer stetige Verteilung approximieren. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
 		
 		Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4\}$ ein:
 		\begin{figure}[H]
@@ -361,7 +361,7 @@
 		\[
 		P(S_n = k) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}
 		\]
-		\item Aus dieser Formel lässt sich nun leicht schon einmal der Vorfaktor der Normalverteilung erschließen. Hierzu und zu Vereinfachung weiterer Rechnungen standardisieren wir $S_n$. Dies entspricht auch einer einfachen Substitution und daher vollkommen legitim. Hierzu definieren wir:
+		\item Aus dieser Formel lässt sich nun leicht schon einmal der Vorfaktor der Glockenkurve erschließen. Hierzu und zu Vereinfachung weiterer Rechnungen standardisieren wir $S_n$. Dies entspricht auch einer einfachen Substitution und daher vollkommen legitim. Hierzu definieren wir:
 		\[
 			Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sigma(S_n)}
 		\]
@@ -437,7 +437,7 @@
 			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)} \vspace{1em} \\
 			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}
 		\end{align*}
-		Daher konvergiert eine Binomialverteilte Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.
+		Daher nährt sich die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
 	\end{enumerate}
 	\label{LastPage}
 \end{document}