Merge branch 'main' of https://git.mypapercloud.de/fierke/galtonbrett
This commit is contained in:
Binary file not shown.
+36
-27
@@ -215,32 +215,41 @@
|
||||
\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
|
||||
|
||||
\section{\curtitle}
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
% Erstes Bild
|
||||
\begin{minipage}[t]{0.7\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
Im Stochastik Unterricht ist dir sicherlich schon einmal die
|
||||
Formel des Binomialkoeffizienten (Abb. \ref{fig:bino}) begegnet.
|
||||
\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
|
||||
Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen.
|
||||
\end{definitionbox}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
% Zweites Bild
|
||||
\begin{minipage}[t]{0.25\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
\[
|
||||
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
|
||||
\]
|
||||
\caption{Formel Binomialkoeffizienten}
|
||||
\label{fig:bino}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
|
||||
\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
|
||||
Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen:
|
||||
\[
|
||||
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
|
||||
\]
|
||||
\end{definitionbox}
|
||||
|
||||
% \begin{figure}[H]
|
||||
% \centering
|
||||
% % Erstes Bild
|
||||
% \begin{minipage}[t]{0.7\textwidth}
|
||||
% \centering
|
||||
% Im Stochastik Unterricht ist dir sicherlich schon einmal die
|
||||
% Formel des Binomialkoeffizienten (Abb. \ref{fig:bino}) begegnet.
|
||||
% \begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
|
||||
% Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen.
|
||||
% \end{definitionbox}
|
||||
% \end{minipage}
|
||||
% \hfill
|
||||
% % Zweites Bild
|
||||
% \begin{minipage}[t]{0.25\textwidth}
|
||||
% \centering
|
||||
% \[
|
||||
% \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
|
||||
% \]
|
||||
% \caption{Formel Binomialkoeffizienten}
|
||||
% \label{fig:bino}
|
||||
% \end{minipage}
|
||||
% \end{figure}
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schon einmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
|
||||
|
||||
|
||||
Zum Warmwerden berechnen wir:
|
||||
@@ -364,7 +373,7 @@
|
||||
\noindent
|
||||
\begin{minipage}[t]{0.62\textwidth}\vspace{0pt}
|
||||
\begin{definitionbox}[Galtonbrett]
|
||||
Das \textbf{Galtonbrett} ist ein mechanisches Demonstrationsgerät aus der Stochstik, bei welchem kleine Kugeln auf horizontal und dreieckig angeordnete Stäbchen fallen gelassen wird (hier zweidimenional von vorne dargestellt). Bei jedem Aufprall auf ein Stäbchen teilt sich ihr Weg: entweder nach links, oder nach rechts.
|
||||
Das \textbf{Galtonbrett} ist ein mechanisches Demonstrationsgerät aus der Stochastik, bei welchem kleine Kugeln auf horizontal und dreieckig angeordnete Stäbchen fallen gelassen wird (hier zweidimensional von vorne dargestellt). Bei jedem Aufprall auf ein Stäbchen teilt sich ihr Weg: entweder nach links, oder nach rechts.
|
||||
\end{definitionbox}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
@@ -470,13 +479,13 @@
|
||||
|
||||
\item Zähle nun die verschiedenen Pfade, die eine Murmel nehmen kann, sodass sie in den darunterliegenden Fächern landet.
|
||||
\scriptsize(Hinweis: Nutze die Beschreibung, dass eine Kugel immer nur nach rechts (r) oder links (l) fallen kann und schreibe das in Mengenschreibweise, sodass du keinen Pfad vergisst.) \normalsize \\
|
||||
Bsp: Fach 0: $A_0=\{(L,L,L)\} \Rightarrow \text{Pfade}_0=|A_0|=2$
|
||||
Bsp: Fach 0: $A_0=\{(l,l,l)\} \Rightarrow \text{Pfade}_0=|A_0|=2$
|
||||
\vspace{85pt}
|
||||
|
||||
\item Dir ist sicherlich schon aufgefallen, dass die meisten Pfade in die Mitte führen. Untersuche nun die Anzahl der Pfade zu jedem der Stäbchen und vergleiche diese mit dem Pascalschen Dreieck. Was fällt dir auf?
|
||||
\vspace{85pt}
|
||||
|
||||
\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariabel $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?
|
||||
\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariable $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\label{LastPage}
|
||||
|
||||
Binary file not shown.
+20
-14
@@ -249,32 +249,38 @@
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\setcounter{enumi}{1}
|
||||
\item Stell eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Faktoren liegen.
|
||||
\answer{3}
|
||||
\item Stell eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Multiplikatoren liegen.
|
||||
\answer{4}
|
||||
|
||||
\item Stell eine Vermutung auf, wieso die Faktoren an den Randfächern am größten sind.
|
||||
\answer{3}
|
||||
\item Stelle eine Vermutung auf, wieso in der Mitte aller Fächer die kleinsten Multiplikatoren liegen.
|
||||
\answer{4}
|
||||
|
||||
\item Argumentiere, wieso man auf lange Sicht verliert oder gewinnt.
|
||||
\answer{3}
|
||||
\item Stelle eine Vermutung auf, wieso an den Rändern aller Fächer die größten Multiplikatoren liegen.
|
||||
\answer{4}
|
||||
|
||||
\item Stelle Vermutungen auf, ob man auf lange Sicht gewinnt oder verliert.
|
||||
\answer{4}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\newpage
|
||||
|
||||
Mit dem Wissen über das Galtonbrett und seine Verteilung können wir nun fundierte Schlüsse über Plinko ziehen:
|
||||
\section{Galton x Plinko Teil 2}
|
||||
Mit dem Wissen über das Galtonbrett und seine Verteilung können wir nun fundierte Schlüsse über Plinko ziehen. Website: \url{https://plinko-web-game.netlify.app/}
|
||||
\begin{enumerate}[itemsep=11pt]
|
||||
\setcounter{enumi}{4}
|
||||
\item Die Wahrscheinlichkeit mit der eine Kugel in Plinko nach links bzw. rechts hüpft ist \hrulefill
|
||||
\item Nenne die Anzahl der Ebenen in Plinko. \hrulefill
|
||||
\item Bestimme die Wahrscheinlichkeit, die eine Kugel in Plinko hat, dass Sie nach links oder Rechts hüpft? \hrulefill
|
||||
\item Nenne die Anzahl der Ebenen in Plinko. \small(Hinweis: beginne bei 0 an zu zählen) \normalsize
|
||||
\hrulefill
|
||||
\item Gib die Anzahl an Faktoren (Fächern) an. \hrulefill
|
||||
\item Gib nun eine Zufallsvariable $X\sim \text{Bin}_{n,p}$ an. \hrulefill
|
||||
\item Gib nun eine Formel an, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine Kugel im Fach $k$ landet. \small (Hinweis: Galton x Pascal) \normalsize \hrulefill
|
||||
\item Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),itemsep=11pt]
|
||||
\item Die Kugel landet beim Multiplikator $0,3x$. \hrulefill
|
||||
\item Die Kugel landet beim Multiplikator $0,3 \times$. \hrulefill
|
||||
\item Eine Kugel holt ihren gesetzten Betrag exakt wieder rein. \hrulefill
|
||||
\item Eine Kugel landet in einem der beiden höchsten Faktoren. \hrulefill
|
||||
% \item Zwei Kugeln holen mit Einsatz von je 1\$ einen Gewinn von gesamt 4\$. \hrulefill
|
||||
\item Eine Kugel landet in einem der beiden höchsten Multiplikatoren. \hrulefill
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Bestimme den Erwartungswert, wenn der Einsatz immer 1\$ ist.
|
||||
\answer{3}
|
||||
\item Überprüfe die These: "\textit{Je höher mein Einsatz ist, desto mehr bekomme ich raus.}".
|
||||
\answer{3}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
|
||||
Binary file not shown.
+9
-9
@@ -221,7 +221,7 @@
|
||||
\sethlcolor{black!10} % Farbe des "Textmarkers"
|
||||
|
||||
\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
|
||||
\newcommand{\curtitle}{Galton x ZSG Movire-Laplace}
|
||||
\newcommand{\curtitle}{Galton x LGS}
|
||||
|
||||
\title{\curtitle}
|
||||
\author{Fierke, Janik, Weidlich}
|
||||
@@ -236,7 +236,7 @@
|
||||
|
||||
\setcounter{section}{2}
|
||||
\section{\curtitle}
|
||||
Das Galtonbrett lässt sich wir folgt formal mathematisch formulieren:
|
||||
Das Galtonbrett lässt sich wie folgt formal mathematisch formulieren:
|
||||
\begin{definitionbox}[Modell des Galtonbretts]
|
||||
Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
|
||||
Der Fall einer Murmel durch ein Galtonbrett mit \hl{$\bm{n \in \mathbb{N}}$} Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei \hl{$\bm{X_i \in \{0, 1\}}$}.
|
||||
@@ -288,7 +288,7 @@
|
||||
\end{table}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Wir wollen nun das schöne mathematische Phänomen, welches sich in Aufgabe 2.2 offenbart, genauer betrachten. Hierzu formulieren wir dies zuerst mathematisch formal sauber:
|
||||
\begin{satzbox}[Lokaler Grenzwertsatz von de Movire-Laplace]
|
||||
\begin{satzbox}[Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]
|
||||
Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit. (Beispielsweise bei einem Galtonbrett)\\
|
||||
Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Glockenkurve (Dichtefunktion der Normalverteilung) annähern:
|
||||
\[
|
||||
@@ -296,7 +296,7 @@
|
||||
\]
|
||||
wobei $\mathbb{E}(S_n)=\mu$, $Var(S_n)=\sigma ^2$ und $ z = \frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
|
||||
\end{satzbox}
|
||||
Diesen Satz wollen wir nun Semi-Formal beweisen.\\
|
||||
Diesen Satz wollen wir nun semiformal beweisen.\\
|
||||
\textbf{\underline{Aufgabe 3:}} Fülle die Lücken im Beweis aus. Wenn du dir unsicher bist kannst du dir alle fehlenden Textbausteine auf dem Zusatzblatt ansehen.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Bevor wir den Satz beweisen, ist es wichtig, die Aussage zu verstehen. Formuliere die Kernaussage den Satzes kurz in eigenen Worten:
|
||||
@@ -304,7 +304,7 @@
|
||||
\item Zuerst muss uns nochmal klar werden, was unser Ausgangspunkt und und das Ziel ist:\\
|
||||
Ausgangspunkt: $P(S_n = k) = $ \antwortbox[6cm] \vspace{1em} \\
|
||||
Ziel: $f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}=$ \antwortbox[6cm]
|
||||
\item Wir wollen die Zähldichte der Binomialverteilung (diskrete Verteilung) mithilfe der Dichte einer einer stetige Verteilung approximieren. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
|
||||
\item Wir wollen die Zähldichte der Binomialverteilung (diskrete Verteilung) mithilfe der Dichte einer einer stetige Verteilung approximieren. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der reellen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
|
||||
|
||||
Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion (für $\Gamma(x+1)$) abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$ ein:
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
@@ -332,7 +332,7 @@
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
Mithilfe dieser Funktion lässt sich die Fakultät leicht approximieren. Diese Approximation nennt sich Sterling Approximation und besagt:
|
||||
Mithilfe dieser Funktion lässt sich die Fakultät leicht approximieren. Diese Approximation nennt sich Stirling-Approximation und besagt:
|
||||
\[
|
||||
n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sim \Gamma(n+1)
|
||||
\] %Stimmt das mit dem Gamma?
|
||||
@@ -385,14 +385,14 @@
|
||||
Nenne die Rechengesetze und Substitutionen, welche vermutlich für diese Umformung genutzt wurden!
|
||||
\answer{3}
|
||||
|
||||
Diese Darstellung des Termes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Tailor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
|
||||
Diese Darstellung des Termes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Taylor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
|
||||
\[
|
||||
ln(1-\alpha) \sim -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
ln(1+\alpha) \sim \alpha-\frac{\alpha^2}{2}
|
||||
\]
|
||||
Mithilfe einiger Umformungen zufallen dadurch die sich ähnlich sehenden Terme, was zu folgendem, erstaunlichem, Resultat führt:
|
||||
Mithilfe einiger Umformungen entfallen dadurch die sich ähnlich sehenden Terme, was zu folgendem, erstaunlichem, Resultat führt:
|
||||
\[
|
||||
(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \sim -\frac{z^2}{2}
|
||||
\]
|
||||
@@ -407,7 +407,7 @@
|
||||
&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
|
||||
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Daher nährt sich die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
|
||||
Daher nähert sich die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{LastPage}
|
||||
\end{document}
|
||||
Reference in New Issue
Block a user