einige änderungen und ergänzungen allgemein und pascallsches Dreieck raus
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@@ -265,57 +265,70 @@ Folgende Proposition ist leicht aus dem oberen Beweis ableitbar (aufgrund der Ab
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wobei $\beta = \sqrt{\frac{q}{np}}$ und $\gamma = \sqrt{\frac{p}{nq}}$ definiert sind.
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\end{proposition}
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% Teilsortiert:
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\subsection{Pascalsches Dreieck}
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Das Pascalsche Dreieck ist ein geometrisches Dreieck aus Zahlen, das sich unendlich nach unten fortsetzt und dabei die Binomialkoeffizienten repräsentiert. Aus \cref{def:binomialkoeffizienten} entwickeln wir das Pascalsche Dreieck.
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\begin{definition}[Pascalsches Dreieck]{pascaldreieck}{\cite{berger2023-mz}}
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Das \textbf{Pascalsche Dreieck} ist das unendliche Zahlenschema
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\subsection{Stirling-Approximation}
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Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vorallem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
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\begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}{\cite{freitag1995-oj}}
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Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
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\[
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P=(p_{n,k})_{n\in\mathbb{N}_0,0\leq k\leq n}
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n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
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\]
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mit
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Das bedeutet
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\[
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p_{n,k}=\binom{n}{k}
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\]
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\end{definition}
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Die ersten Zeilen des Pascalschen Dreiecks lauten:
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\[
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\begin{array}{ccccccccc}
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&&&&1\\
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&&&1&&1\\
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&&1&&2&&1\\
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&1&&3&&3&&1\\
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1&&4&&6&&4&&1
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\end{array}
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\]
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\begin{satz}[Pascalsche Rekursion]
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Für $n\geq1$ und $1\leq k\leq n-1$ gilt:
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\[
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\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
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\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}=1
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\]
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\end{satz}
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\begin{bemerkung}
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Diese Beziehung erklärt die Entstehung jeder inneren Zahl als Summe der beiden darüberliegenden Zahlen.
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\end{bemerkung}
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\begin{proof}
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Sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Wähle $x\in M$ fest.
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Wir zählen die $k$-elementigen Teilmengen von M.
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\begin{itemize}
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\item Enthält eine Teilmenge das Element $x$, dann müssen noch $k-1$ Elemente aus den $n-1$ verbleibenden Elementen gewählt werden. Wir erhalten
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\[
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\binom{n-1}{k-1}
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\]
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\item Enthält eine Teilmenge das $x$ nicht, werden $k$ Elemente aus den verbleibenden $n-1$ Elementen gewählt, also
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\[
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\binom{n-1}{k}
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\]
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\end{itemize}
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Aufrund der Disjunkteit beider Fälle und der Erfassung aller $k$-elementigen Teilmengen, folgt
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Der Ausgangspunkt ist die nach \cref{def:gammafunktion} definierte \textbf{Gamma-Funktion}
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\[
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\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
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\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
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\]
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Wir schreiben den Integranden als Exponentialfunktion, dann haben wir
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\[
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t^{x-1}e^{-t} = \exp((x-1)\ln t-t)
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\]
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also ist
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\[
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||||
\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}\exp((x-1)\ln t-t) dt
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||||
\]
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Setze $t=xu$ und $f(u)=\ln u - u$, dann erhalten wir
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\begin{align}
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||||
\Gamma(x)&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-xu} du\\
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||||
&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}\exp(x(\ln u-u)) du\\
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||||
&=x^x\cdot \int_{0}^{\infty} e^{xf(u)}du
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||||
\end{align}
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Für große \(x\) wird das Integral durch die Umgebung des kritischen Punktes von \(f\) dominiert. Diese erhält man aus
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\[
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f'(u)=\frac{1}{u}-1=0 \quad \Rightarrow \quad u=1.
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\]
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||||
|
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Weiter gilt
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\[
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f''(u)=-\frac{1}{u^2}, \quad \text{also } f''(1)=-1.
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\]
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Damit besitzt \(f\) bei \(u=1\) einen stationären Punkt, und wir entwickeln \(f\) dort bis zur zweiten Ordnung:
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\[
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f(u)\sim f(1)+\frac{f''(1)}{2}(u-1)^2
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= -1 - \frac{(u-1)^2}{2}.
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\]
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Einsetzen liefert die lokale Approximation
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\[
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\Gamma(x)\sim x^x e^{-x}\cdot\int_0^\infty \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du.
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\]
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Da der Hauptbeitrag aus einer Umgebung von $u=1$ stammt, kann das Integral asymptotisch auf $\mathbb{R}$ erweitert werden.
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\[
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\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du
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= \sqrt{\frac{2\pi}{x}}.
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\]
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Damit erhält man
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\[
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\Gamma(x)\sim \sqrt{2\pi}\, x^{x-\frac12} e^{-x}.
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\]
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\end{proof}
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\subsection{Taylor-Approximation}
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@@ -465,71 +478,4 @@ Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
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\]
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\end{satz}
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\subsection{Stirling-Approximation}
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Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vorallem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
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\begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}{\cite{freitag1995-oj}}
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Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
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\[
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n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
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\]
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Das bedeutet
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\[
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\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}=1
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\]
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Der Ausgangspunkt ist die nach \cref{def:gammafunktion} definierte \textbf{Gamma-Funktion}
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\[
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\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
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\]
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Wir schreiben den Integranden als Exponentialfunktion, dann haben wir
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\[
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t^{x-1}e^{-t} = \exp((x-1)\ln t-t)
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\]
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also ist
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\[
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\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}\exp((x-1)\ln t-t) dt
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\]
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Setze $t=xu$ und $f(u)=\ln u - u$, dann erhalten wir
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\begin{align}
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\Gamma(x)&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-xu} du\\
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&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}\exp(x(\ln u-u)) du\\
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&=x^x\cdot \int_{0}^{\infty} e^{xf(u)}du
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\end{align}
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Für große \(x\) wird das Integral durch die Umgebung des kritischen Punktes von \(f\) dominiert. Diese erhält man aus
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\[
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f'(u)=\frac{1}{u}-1=0 \quad \Rightarrow \quad u=1.
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\]
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Weiter gilt
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\[
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f''(u)=-\frac{1}{u^2}, \quad \text{also } f''(1)=-1.
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\]
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Damit besitzt \(f\) bei \(u=1\) einen stationären Punkt, und wir entwickeln \(f\) dort bis zur zweiten Ordnung:
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\[
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f(u)\sim f(1)+\frac{f''(1)}{2}(u-1)^2
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= -1 - \frac{(u-1)^2}{2}.
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Einsetzen liefert die lokale Approximation
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\[
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\Gamma(x)\sim x^x e^{-x}\cdot\int_0^\infty \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du.
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Da der Hauptbeitrag aus einer Umgebung von $u=1$ stammt, kann das Integral asymptotisch auf $\mathbb{R}$ erweitert werden.
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\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du
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= \sqrt{\frac{2\pi}{x}}.
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Damit erhält man
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\Gamma(x)\sim \sqrt{2\pi}\, x^{x-\frac12} e^{-x}.
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\end{proof}
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