Modellierung Galton-Brett

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 Dies ist der zentrale Teil des Dokuments und soll (inhaltlich) den größten Teil des Dokuments ausmachen. 
 
 \subsection{Mathematischer Teil auf Hochsuchschulniveau}
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+Das Galton-Brett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom Zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess als Binomialverteilung und Beweisen anschließend den Zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace.
-Es ist essenziell, dass der mathematische Teil auf Hochschulniveau den Standards für wissenschaftliches Arbeiten in  der Fachmathematik entspricht. Dazu gehört die Verwendung von Definitionen, Sätzen, Beweisen und Beispielen. Diese Struktur hilft dabei, die Argumentation klar und nachvollziehbar zu gestalten.
+\begin{definition}[Modell des Galton Brett]{galton}
-
+	Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
-\begin{satz}[Satz Name]{satz1}
+	Der Fall einer Kugel durch ein Galton-Brett mit $n \in \mathbb{N}$ Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei $X_i \in \{0, 1\}$.
-    Hier steht ein Satz, der in einem Buch steht. Der Satz ist wichtig, weil er eine wichtige Eigenschaft beschreibt.
+	Dabei beschreibt \textbf{$X_i = 1$ den Fall nach rechts} in der $i$-ten Reihe und \textbf{$X_i = 0$ den Fall nach links}. Die Wahrscheinlichkeit sei $P(X_i = 1) = p$ und $P(X_i = 0) = 1-p = q$. Bei einem symmetrischen Brett gilt $p = q = 0.5$.
-\end{satz}
+\end{definition} %Bild?
-
+Hierbei ist anzumerken, dass jedes $X_i$ Bernoulliverteilt ist, da 
-\begin{proof}
+\[
-    Hier steht der Beweis des Satzes. Der Beweis ist wichtig, weil er zeigt, dass der Satz wahr ist. Der Beweis kann aus mehreren Schritten bestehen, die logisch aufeinander aufbauen. 
+	\Omega = \{1,0\} \quad \text{und} \quad
-\end{proof}  
+	P(X_i = x) = 
-
+	\begin{cases}
-\begin{beispiel}{beispiel1}
+		p & \text{wenn } x=1\\
-    Hier steht ein Beispiel, das den Satz veranschaulicht. Das Beispiel ist wichtig, weil es zeigt, wie der Satz in der Praxis angewendet werden kann.
+		1-p & \text{wenn } x=0
-\end{beispiel} 
+	\end{cases}
-
+\]
-Sätze, Lemmata, Korollare und Beispiele sowie Beweise können einfach mit den entsprechenden Befehlen erstellt werden. Hier haben wir z.B. \cref{satz:satz1} und  \cref{bsp:beispiel1} erstellt. Der Befehl \verb|\begin{proof}| erzeugt den Beweis. Der Befehl \verb|\end{proof}| beendet den Beweis. Der Befehl \verb|\begin{beispiel}| erzeugt das Beispiel. Der Befehl \verb|\end{beispiel}| beendet das Beispiel. Für Sätze, Lemmata und Korollare gelten die analogen Befehle. 
+Somit lässt sich auch $X_i \sim \mathcal{B}_{0,5}$ schreiben.\\
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+Um jeden Ausgang des Galton-Brettes durchnummeriert von links nach rechts unterscheiden zu können, definieren wir uns eine weitere Zufallsvariable Sn wie folgt:
-Um auf die Beweise und Beispiele zu verweisen zu können, verwenden Sie den Befehl \verb|\label{bsp:beispiel1}|. Damit wird das Beispiel mit dem Label \verb|bsp:beispiel1| versehen. Um auf das Beispiel zu verweisen, verwenden Sie \verb|\cref{bsp:beispiel1}|. Damit wird auf das Beispiel verwiesen. Das funktioniert auch für Sätze, Lemmata und Korollare sowie nummerierte Gleichungen, Grafiken, Tabellen und auch für Kapitel.
+\begin{definition}[Zufallsvariable $S_n$]{Sn}
-
+	Die Endposition der Kugel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[S_n = \sum_{i=1}^n X_i\]
-\subsection{Mathematischer Teil auf Mathe-Club-Niveau}
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-Halten Sie sich auch beim mathematischen Teil auf Mathe-Club-Niveau so weit wie möglich an die Standards für wissenschaftliches Arbeiten. Verwenden Sie Definitionen, Sätze, Beweise und Beispiele. Die Struktur hilft auch SuS dabei, die Argumentation nachzuvollziehen. 
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-\begin{figure}[H]
-    \centering
-    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/KleinBottle.png}
-    \caption{So sieht eine Klein'sche Flasche aus.}
-    \label{fig:logo} 
-\end{figure}
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-Und natürlich gilt immer (ob hier oder auf Hochschulniveau): Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte. Verwenden Sie Bilder, Grafiken, Diagramme, ... um Ihre Argumentation zu unterstützen. Außerdem sieht die Klein'sche Flasche in Abbildung \ref{fig:logo} sehr schön aus. Sie ist ein Beispiel für eine Fläche, die nicht orientierbar ist. Das bedeutet, dass es keine konsistente Möglichkeit gibt, die Normalenvektoren an jedem Punkt der Fläche zu definieren. Dies ist ein wichtiges Konzept in der Differentialgeometrie.
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-Und als kleines Beispiel für Formeln in \LaTeX~ schreiben wir mal die Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
-\begin{equation}\label{eq:cauchy-schwarz}
-\left| \sum_{i=1}^n a_i b_i \right| 
-\leq 
-\left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right)^{1/2}
-\left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)^{1/2}
-\end{equation}
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-Die \cref{eq:cauchy-schwarz} wird z.\,B. in Beweisen zur Orthogonalität verwendet.
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-Mit etwas Aufwand und Übung kann man mit tikz auch sehr schöne Grafiken erstellen.
-% 
-\begin{figure}[H]
-    \centering
-    \begin{tikzpicture}
-        \draw[thick,->] (-1,0) -- (1,0) node[right] {$x$};
-        \draw[thick,->] (0,-1) -- (0,1) node[above] {$y$};
-        \draw[thick,blue] plot[domain=-1:1] (\x,\x*\x) node[right] {$f(x)=x^2$};
-    \end{tikzpicture}
-    \caption{Eine einfache Grafik mit tikz.}
-    \label{fig:tikz}    
-\end{figure}
-%
-Auf die Grafik kann man dann natürlich auch verweisen. Zum Beispiel in \cref{fig:tikz} sehen Sie eine einfache Grafik, die mit tikz erstellt wurde. Tikz ist ein sehr mächtiges Werkzeug, um Grafiken in \LaTeX~ zu erstellen. Es gibt viele Möglichkeiten, Grafiken zu erstellen und zu gestalten. Außerdem bietet tikz einfache mathematische Rechenfähigkeiten.
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-Weiter stehen Ihnen die folgenden Umgebungen zur Verfügung:
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-\begin{definition}[]{definition1}
-    Eine Definition ist eine präzise Beschreibung eines Begriffs oder Konzepts. Sie hilft dabei, Missverständnisse zu vermeiden und Klarheit zu schaffen.
 \end{definition}
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+Anschließend ist folgendes zu bemerken:
-\begin{korollar}[]{korollar1}{\cite[S. 12]{Beutelspacher2009}}
+\begin{satz}[Verteilung der Endposition]{satz:binomialverteilung}
-    Korollar heißt Folgerung. Ein Korollar ist also ein Satz, der ganz einfach (manchmal sogar trivial) aus dem vorhergehenden Satz oder seinem Beweis folgt. Bei einem Korollar muss man immer angeben können, wovon diese Aussage ein Korollar sein soll.
+	Die Zufallsvariable $S_n$, ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$. 
-\end{korollar}
+	Daher gilt $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
-
+\end{satz}
-\begin{bemerkung}[]{bemerkung1}{}
+\begin{proof}
-    Eine Bemerkung ist eine Anmerkung oder ein Kommentar zu einem Satz, einer Proposition oder einem Korollar. Sie kann zusätzliche Informationen oder Erklärungen enthalten.
+	Nach \cref{def:galton} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulli-verteilten Zufallsexperimenten dar.
-\end{bemerkung}
+	%Ref Cosi
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+	Daraus folgt, dass das Galton-Brett mit der Zufallsvariable $S_n$ eine Binomialmodell darstellt und somit die Binomialverteilung nach Definition eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
-\begin{lemma}[]{lemma1}{\cite[S. 12]{Beutelspacher2009}}
+\end{proof}
-    Lemma stammt aus dem Griechischen und bedeutet "Stichwort" oder "Hauptgedanke". Bei einem Lemma handelt es sich also um einen besonders wichtigen Schlüsselgedanken, der in vielen verschiedenen Situationen nützlich ist.
-\end{lemma} 
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-Auf all diese kann man wieder verweisen: \cref{def:definition1}, \cref{kor:korollar1}, \cref{bem:bemerkung1}, \cref{lem:lemma1}.
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