Lösung AB3

material/ab3.tex

@@ -298,24 +298,29 @@
 	Diesen Satz wollen wir nun Semi-Formal beweisen.\\
 	\textbf{\underline{Aufgabe 3:}} Fülle die Lücken im Beweis aus. Wenn du dir unsicher bist kannst du dir alle fehlenden Textbausteine auf dem Zusatzblatt ansehen.
 	\begin{enumerate}
+		\item Bevor wir den Satz beweisen, ist es wichtig, die Aussage zu verstehen. Formuliere die Kernaussage den Satzes kurz in eigenen Worten:
+			\answer{3}
 		\item Zuerst muss uns nochmal klar werden, was unser Ausgangspunkt und und das Ziel ist:\\
 				Ausgangspunkt: $P(S_n = k) = $ \antwortbox[6cm] \vspace{1em} \\
 				Ziel: $\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2) = \mathcal{N}(np)(npq) = $ \antwortbox[6cm]
-		\item Zuerst müssen wir die Binomialverteilung als diskrete Verteilung in eine stetige Verteilung überführen. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$ ein:
+		\item Wir wollen die Binomialverteilung als diskrete Verteilung in eine stetige Verteilung überführen. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
+		
+		Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$ ein:
 		\begin{figure}[H]
 			\centering
 			\begin{tikzpicture}
 				\begin{axis}[
-					domain=0.1:6,
+					domain=0.1:4.5,
 					samples=300,
 					axis lines=middle,
 					xlabel={$x$},
-					ylabel={$\Gamma(x)$},
+					ylabel={$y$},
 					xmin=0,
 					xmax=6,
 					ymin=0,
-					ymax=10,
-					grid=both
+					ymax=26,
+					grid=both,
+					legend pos=north east
 					]
 					\addplot[
 					blue,
@@ -369,10 +374,16 @@
 		\[
 			 P(S_n=k)= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \Leftrightarrow e^{ln(P(S_n = k))} \sim e^{ln\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k}\right)}
 		\]
+		Beschreibe kurz, was genau die obere Gleichung aussagt und wieso wir einfach die $e$-Funktion und den (natürlichen)Logarithmus anwenden können!
+		\answer{3}
+		
 		Im Folgenden betrachten wir erst mal nur den Ausdruck im $ln()$ welchen wir mithilfe der Logarithmengesetze umformen können:
 		\[
 			\ln\left( \left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \right) = (-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)
 		\]
+		Nenne die Rechengesetze und Substitutionen, welche vermutlich für diese Umformung genutzt wurden!
+		\answer{3}
+		
 		Diese Darstellung des Thermes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Tailor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
 		\[
 			ln(1-\alpha) \sim -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}
@@ -397,6 +408,5 @@
 		\end{align*}
 		Daher konvergiert eine Binomialverteilte Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.
 	\end{enumerate}
-	\section{Platz für Notizen und Nebenrechnungen:}
 	\label{LastPage}
 \end{document}