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content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -151,16 +151,17 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung sehr aufwendi
 		\item[(\ref{eq5:3})] Gleichheit für $k$ aus der Standardisierung einsetzen: $k = np + z\sqrt{npq}$.
 		\item[(\ref{eq5:4})] Distributivgesetz für $-1$ anwenden und Brüche durch Aufteilen der Addition und Einfügen der multiplikativen Identität $\frac{\sqrt{np}}{\sqrt{np}}$ (selbes für $nq$) vereinfachen.
 	\end{itemize}
-	\cref{def:taylorpolynom} beweist die Taylor-Approximation für den Logarithmus: $ln(1-\alpha) \approx \alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ Hierbei steht $O(\alpha^3)$ für die Landau-Notation.
+	\cref{def:taylorpolynom} beweist die Taylor-Approximation für den Logarithmus: $ln(1-\alpha) \approx -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ und $ln(1+\alpha) \approx \alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$. Hierbei steht $O(\alpha^3)$ für die Landau-Notation.
 	Wir definieren 
 	\[
 		\beta := \sqrt{\frac{q}{np}}; \quad
 		\gamma := \sqrt{\frac{p}{nq}}
 	\]
-	Um diese Approximation zu verwenden, muss sicher sein, dass $|\alpha| < 1$. Das heißt, dass $\forall z \in \mathbb{R}: |z\cdot\beta| \overset{n\rightarrow\infty}{<}1$. (Für $z\cdot\gamma$ analog) Hierbei genügt die Abschätzung gegen unendlich, da wir die Annäherung nur für große Zahlen beweisen wollen.\\
+	Um diese Approximation zu verwenden, muss sicher sein, dass $-1 <|\alpha| < 1$. Das heißt, dass $\forall z \in \mathbb{R}:-1 \overset{n\rightarrow\infty}{<} |z\cdot\beta| \overset{n\rightarrow\infty}{<}1$. (Für $z\cdot\gamma$ analog) Hierbei genügt die Abschätzung gegen unendlich, da wir die Annäherung nur für große Zahlen beweisen wollen.\\
 	Sei also $z\in\mathbb{N}$, dann betrachten wir:\\
 	\begin{align*}
-		|z\cdot\beta| \overset{Def.}{=} \left|z \cdot \sqrt{\frac{q}{np}}\right| = |z|\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{\frac{q}{p}} \xrightarrow{n\rightarrow\infty} 0 < 1
+		|z\cdot\beta| \overset{Def.}{=} \left|z \cdot \sqrt{\frac{q}{np}}\right| = |z|\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{\frac{q}{p}} \xrightarrow{n\rightarrow\infty} 0\\
+		und \quad -1 < 0 < 1
 	\end{align*}
 	Da $p$ und $q$ konstante Parameter sind.