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content/Einleitung.tex

@@ -2,7 +2,7 @@ Das Galtonbrett zählt zu den bekanntesten Demonstrationsmodellen der Wahrschein
 
 Aus mathematischer Sicht bildet das Galtonbrett die Binomialverteilung ab, wobei sich die Verteilung mit zunehmender Anzahl an Stiftreihen einer Normalverteilung annähert. Das Verhalten steht in engem Zusammenhang mit dem zentralen Grenzwertsatz. Zur Beschreibung dieser Annäherung spielen außerdem die Fakultätsfunktion sowie die zugehörige Approximation durch die Stirling-Formel eine wichtige Rolle. 
 
-Das Galtonbrett stellt einen hohen didaktischen Wert dar, indem es ein anschauliches Experiment zu Grundkonzepten der Stochastik und Analysis und deren Verknüpfung liefert. Das Modell eignet sich besonders für den Einsatz in der Sekundarstufe II in Mathe-AGs und -clubs, in denen über den Unterricht hinausgehende Inhalte behandelt werden können. Insbesondere die Verbindung von praktischem Experiment, Simulation und theoretischer Herleitung ermöglicht einen vertiefern Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie.
+Das Galtonbrett stellt einen hohen didaktischen Wert dar, indem es ein anschauliches Experiment zu Grundkonzepten der Stochastik und Analysis und deren Verknüpfung liefert. Das Modell eignet sich besonders für den Einsatz in der Sekundarstufe II in Mathe-AGs und -clubs, in denen über den Unterricht hinausgehende Inhalte behandelt werden können. Insbesondere die Verbindung von praktischem Experiment, Simulation und theoretischer Herleitung ermöglicht einen vertieften Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie.
 
 Ziel der Ausarbeitung ist es, die mathematischen Grundlagen des Galtonbretts auf Hochschulniveau darzustellen und deren Zusammenhänge verständlich herzuleiten. Anschließend werden diese Inhalte auf das mathematische Vorwissen der Klassenstufe 10 bis 12 übertragen und didaktisch aufbereitet. Die entstehenden Arbeitsmaterialien ermöglichen den Schüler*innen einen vertieften Einblick in die mathematischen Hintergründe des Galtonbretts.
 

content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -90,7 +90,7 @@ Es ist mathematisch gesehen sehr schön zu sehen, wie eine relativ einfache disk
 		\lim_{n \to \infty} \mathop{\max}\limits_{k:|z|\leq c} \left|\frac{P(S_n=k)}{f_\mathcal{N}(\mu, \sigma^{2})}(k)\right| = 1
 	\]
 \end{satz}
-In der Literatur wird allgemein vom Satz von Moivre-Laplace gesprochen, wenn die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung gemeint ist \cite{statistik_verstehen_beweis_2019}. Mathematisch präzise muss jedoch zwischen dem globalen und dem lokalen Grenzwertsatz unterschieden werden \cite{georgii_stochastik_2015, kosenkova_stochastik_2025}. Wir beweisen im Folgenden den lokalen Grenzwertsatz, der das (lokale) Annähern des ``oberen Randes'' des Histogramms der Binomialverteilung an die Glockenkurve beschreibt \cite{georgii_stochastik_2015}. Hierbei wird \emph{nicht} die Approximation der Binomial durch die Normalverteilung bewiesen.
+In der Literatur wird allgemein vom Satz von Moivre-Laplace gesprochen, wenn die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung gemeint ist \cite{statistik_verstehen_beweis_2019}. Mathematisch präzise muss jedoch zwischen dem globalen und dem lokalen Grenzwertsatz unterschieden werden \cite{georgii_stochastik_2015, kosenkova_stochastik_2025}. Wir beweisen im Folgenden den lokalen Grenzwertsatz, der das (lokale) Annähern des ``oberen Randes'' des Histogramms der Binomialverteilung an die Glockenkurve beschreibt \cite{georgii_stochastik_2015}. Hierbei wird \emph{nicht} die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung bewiesen.
 \begin{proof}
 	Der Beweis folgt zum großen Teil dem Beweis von \cite{statistik_verstehen_beweis_2019} und wurde von den Autoren aufgrund der Konkretisierung des Satzes \cite{georgii_stochastik_2015} weiter konkretisiert.\\
 	Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$, sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese drei Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.\\
@@ -289,7 +289,7 @@ Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
 Ein Beweis hierzu befindet sich in \cite{forster_analysis_2023}.
 
 \subsection{Stirling-Approximation}
-Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vorallem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
+Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vor allem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
 \begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}{\cite{freitag1995-oj}}
 	Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
 	\[
@@ -366,7 +366,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 		&\left(d_n-\frac{1}{12n}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)}\right)\\
 		<\quad0\quad<\quad&\left(d_n-\frac{1}{12n+1}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)+1}\right)
 	\end{align*}
-	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim_{n\rightarrow\infty} d_n$.
+	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monoton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim_{n\rightarrow\infty} d_n$.
 	\begin{align*}
 		d_n-\frac{1}{12n}\quad&<\quad c\quad<\quad d_n-\frac{1}{12n+1}\\
 		c+\frac{1}{12n+1}\quad&<\quad d_n\quad<\quad c+\frac{1}{12n}
@@ -488,7 +488,7 @@ Der Beweis entspricht im wesentlichen dem 2006 von Wolfgang Kössler geführten
 %\end{proof}
 
 \subsection{Taylor-Approximation}
-Um eine Taylorpproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. Da $\ln(1-x)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist, ist diese Aussage trivial.
+Um eine Taylorapproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. Da $\ln(1-x)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist, ist diese Aussage trivial.
 \begin{proposition}{dreimalableiten}
 	$f(x)=\ln(1-x)$ ist mindestens dreimal differenzierbar.
 \end{proposition}
@@ -509,7 +509,7 @@ Bevor wir die Approximation  nachweisen, ist eine formale Definition des Satzes
 \begin{bemerkung}
 	Das Lagrange-Restglied ist in den meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n+1$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$.
 	
-	Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^{n+1})$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algortihmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
+	Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^{n+1})$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algorithmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
 	
 	Die Definition des Taylorpolynoms entspringt direkt dem Satz von Taylor, nur ohne das Lagrange-Restglied.
 \end{bemerkung}
@@ -560,7 +560,7 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
 	\]
 \end{proof}
 \begin{bemerkung}
-	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben, welcher durch das Langrange-Restglied beziehungsweise die Landaunotation ausgedrückt wird. Da auch in Abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
+	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben, welcher durch das Lagrange-Restglied beziehungsweise die Landaunotation ausgedrückt wird. Da auch in Abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
 \end{bemerkung}
 Im Plot können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x_0=0$ herum sehr ähnlich sind. 
 \begin{figure}[H]

material/ab1.tex

@@ -240,7 +240,7 @@
 	
 	
 	
-	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
+	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schon einmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
 	
 	
 	Zum Warmwerden berechnen wir:
@@ -364,7 +364,7 @@
 	\noindent
 	\begin{minipage}[t]{0.62\textwidth}\vspace{0pt}
 		\begin{definitionbox}[Galtonbrett]
-			Das \textbf{Galtonbrett} ist ein mechanisches Demonstrationsgerät aus der Stochstik, bei welchem kleine Kugeln auf horizontal und dreieckig angeordnete Stäbchen fallen gelassen wird (hier zweidimenional von vorne dargestellt). Bei jedem Aufprall auf ein Stäbchen teilt sich ihr Weg: entweder nach links, oder nach rechts.	
+			Das \textbf{Galtonbrett} ist ein mechanisches Demonstrationsgerät aus der Stochastik, bei welchem kleine Kugeln auf horizontal und dreieckig angeordnete Stäbchen fallen gelassen wird (hier zweidimensional von vorne dargestellt). Bei jedem Aufprall auf ein Stäbchen teilt sich ihr Weg: entweder nach links, oder nach rechts.	
 		\end{definitionbox}
 	\end{minipage}
     \hfill
@@ -476,7 +476,7 @@
 		\item Dir ist sicherlich schon aufgefallen, dass die meisten Pfade in die Mitte führen. Untersuche nun die Anzahl der Pfade zu jedem der Stäbchen und vergleiche diese mit dem Pascalschen Dreieck. Was fällt dir auf? 
 		\vspace{85pt}
 		
-		\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariabel $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?
+		\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariable $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?
 	\end{enumerate}
 	
 	\label{LastPage}

material/ab3.tex

@@ -236,7 +236,7 @@
 	
 	\setcounter{section}{2}
 	\section{\curtitle}
-	Das Galtonbrett lässt sich wir folgt formal mathematisch formulieren:
+	Das Galtonbrett lässt sich wie folgt formal mathematisch formulieren:
 	\begin{definitionbox}[Modell des Galtonbretts]
 		Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
 		Der Fall einer Murmel durch ein Galtonbrett mit \hl{$\bm{n \in \mathbb{N}}$} Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei \hl{$\bm{X_i \in \{0, 1\}}$}.
@@ -288,7 +288,7 @@
 		\end{table}
 	\end{enumerate}
 	Wir wollen nun das schöne mathematische Phänomen, welches sich in Aufgabe 2.2 offenbart, genauer betrachten. Hierzu formulieren wir dies zuerst mathematisch formal sauber:
-	\begin{satzbox}[Lokaler Grenzwertsatz von de Movire-Laplace]
+	\begin{satzbox}[Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]
 		Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit. (Beispielsweise bei einem Galtonbrett)\\
 		Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Glockenkurve (Dichtefunktion der Normalverteilung) annähern:
 		\[
@@ -296,7 +296,7 @@
 		\]
 		wobei $\mathbb{E}(S_n)=\mu$, $Var(S_n)=\sigma ^2$ und $ z = \frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
 	\end{satzbox}
-	Diesen Satz wollen wir nun Semi-Formal beweisen.\\
+	Diesen Satz wollen wir nun semiformal beweisen.\\
 	\textbf{\underline{Aufgabe 3:}} Fülle die Lücken im Beweis aus. Wenn du dir unsicher bist kannst du dir alle fehlenden Textbausteine auf dem Zusatzblatt ansehen.
 	\begin{enumerate}
 		\item Bevor wir den Satz beweisen, ist es wichtig, die Aussage zu verstehen. Formuliere die Kernaussage den Satzes kurz in eigenen Worten:
@@ -304,7 +304,7 @@
 		\item Zuerst muss uns nochmal klar werden, was unser Ausgangspunkt und und das Ziel ist:\\
 				Ausgangspunkt: $P(S_n = k) = $ \antwortbox[6cm] \vspace{1em} \\
 				Ziel: $f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}=$ \antwortbox[6cm]
-		\item Wir wollen die Zähldichte der Binomialverteilung (diskrete Verteilung) mithilfe der Dichte einer einer stetige Verteilung approximieren. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
+		\item Wir wollen die Zähldichte der Binomialverteilung (diskrete Verteilung) mithilfe der Dichte einer einer stetige Verteilung approximieren. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der reellen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
 		
 		Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion (für $\Gamma(x+1)$) abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$ ein:
 		\begin{figure}[H]
@@ -332,7 +332,7 @@
 				\end{axis}
 			\end{tikzpicture}
 		\end{figure}
-		Mithilfe dieser Funktion lässt sich die Fakultät leicht approximieren. Diese Approximation nennt sich Sterling Approximation und besagt:
+		Mithilfe dieser Funktion lässt sich die Fakultät leicht approximieren. Diese Approximation nennt sich Stirling-Approximation und besagt:
 		\[
 			n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sim \Gamma(n+1)
 		\] %Stimmt das mit dem Gamma?
@@ -385,14 +385,14 @@
 		Nenne die Rechengesetze und Substitutionen, welche vermutlich für diese Umformung genutzt wurden!
 		\answer{3}
 		
-		Diese Darstellung des Termes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Tailor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
+		Diese Darstellung des Termes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Taylor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
 		\[
 			ln(1-\alpha) \sim -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}
 		\]
 		\[
 			ln(1+\alpha) \sim \alpha-\frac{\alpha^2}{2}
 		\]
-		Mithilfe einiger Umformungen zufallen dadurch die sich ähnlich sehenden Terme, was zu folgendem, erstaunlichem, Resultat führt:
+		Mithilfe einiger Umformungen entfallen dadurch die sich ähnlich sehenden Terme, was zu folgendem, erstaunlichem, Resultat führt:
 		\[
 			(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \sim -\frac{z^2}{2}
 		\]
@@ -407,7 +407,7 @@
 			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
 			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}
 		\end{align*}
-		Daher nährt sich die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
+		Daher nähert sich die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
 	\end{enumerate}
 	\label{LastPage}
 \end{document}