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content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -90,7 +90,7 @@ Es ist mathematisch gesehen sehr schön zu sehen, wie eine relativ einfache disk
 		\lim_{n \to \infty} \mathop{\max}\limits_{k:|z|\leq c} \left|\frac{P(S_n=k)}{f_\mathcal{N}(\mu, \sigma^{2})}(k)\right| = 1
 	\]
 \end{satz}
-In der Literatur wird allgemein vom Satz von Moivre-Laplace gesprochen, wenn die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung gemeint ist \cite{statistik_verstehen_beweis_2019}. Mathematisch präzise muss jedoch zwischen dem globalen und dem lokalen Grenzwertsatz unterschieden werden \cite{georgii_stochastik_2015, kosenkova_stochastik_2025}. Wir beweisen im Folgenden den lokalen Grenzwertsatz, der das (lokale) Annähern des ``oberen Randes'' des Histogramms der Binomialverteilung an die Glockenkurve beschreibt \cite{georgii_stochastik_2015}. Hierbei wird \emph{nicht} die Approximation der Binomial durch die Normalverteilung bewiesen.
+In der Literatur wird allgemein vom Satz von Moivre-Laplace gesprochen, wenn die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung gemeint ist \cite{statistik_verstehen_beweis_2019}. Mathematisch präzise muss jedoch zwischen dem globalen und dem lokalen Grenzwertsatz unterschieden werden \cite{georgii_stochastik_2015, kosenkova_stochastik_2025}. Wir beweisen im Folgenden den lokalen Grenzwertsatz, der das (lokale) Annähern des ``oberen Randes'' des Histogramms der Binomialverteilung an die Glockenkurve beschreibt \cite{georgii_stochastik_2015}. Hierbei wird \emph{nicht} die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung bewiesen.
 \begin{proof}
 	Der Beweis folgt zum großen Teil dem Beweis von \cite{statistik_verstehen_beweis_2019} und wurde von den Autoren aufgrund der Konkretisierung des Satzes \cite{georgii_stochastik_2015} weiter konkretisiert.\\
 	Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$, sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese drei Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.\\
@@ -289,7 +289,7 @@ Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
 Ein Beweis hierzu befindet sich in \cite{forster_analysis_2023}.
 
 \subsection{Stirling-Approximation}
-Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vorallem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
+Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der Fakultät einer Zahl. Die Approximation ist vor allem in der Stochastik und der statistischen Physik ein unverzichtbares Werkzeug. Wir schauen sie daher im Folgenden im Detail an.
 \begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}{\cite{freitag1995-oj}}
 	Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
 	\[
@@ -366,7 +366,7 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
 		&\left(d_n-\frac{1}{12n}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)}\right)\\
 		<\quad0\quad<\quad&\left(d_n-\frac{1}{12n+1}\right)-\left(d_{n+1}-\frac{1}{12(n+1)+1}\right)
 	\end{align*}
-	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim_{n\rightarrow\infty} d_n$.
+	folgt, dass die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n+1}\right\}$ monoton fallend, die Folge $\left\{d_n-\frac{1}{12n}\right\}$ monoton wachsend ist. Beide Folgen haben dabei den Grenzwert $c:=\lim_{n\rightarrow\infty} d_n$.
 	\begin{align*}
 		d_n-\frac{1}{12n}\quad&<\quad c\quad<\quad d_n-\frac{1}{12n+1}\\
 		c+\frac{1}{12n+1}\quad&<\quad d_n\quad<\quad c+\frac{1}{12n}
@@ -488,7 +488,7 @@ Der Beweis entspricht im wesentlichen dem 2006 von Wolfgang Kössler geführten
 %\end{proof}
 
 \subsection{Taylor-Approximation}
-Um eine Taylorpproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. Da $\ln(1-x)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist, ist diese Aussage trivial.
+Um eine Taylorapproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. Da $\ln(1-x)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist, ist diese Aussage trivial.
 \begin{proposition}{dreimalableiten}
 	$f(x)=\ln(1-x)$ ist mindestens dreimal differenzierbar.
 \end{proposition}
@@ -509,7 +509,7 @@ Bevor wir die Approximation  nachweisen, ist eine formale Definition des Satzes
 \begin{bemerkung}
 	Das Lagrange-Restglied ist in den meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n+1$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$.
 	
-	Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^{n+1})$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algortihmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
+	Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^{n+1})$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algorithmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
 	
 	Die Definition des Taylorpolynoms entspringt direkt dem Satz von Taylor, nur ohne das Lagrange-Restglied.
 \end{bemerkung}
@@ -560,7 +560,7 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
 	\]
 \end{proof}
 \begin{bemerkung}
-	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben, welcher durch das Langrange-Restglied beziehungsweise die Landaunotation ausgedrückt wird. Da auch in Abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
+	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben, welcher durch das Lagrange-Restglied beziehungsweise die Landaunotation ausgedrückt wird. Da auch in Abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
 \end{bemerkung}
 Im Plot können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x_0=0$ herum sehr ähnlich sind. 
 \begin{figure}[H]