Weiteres Dings Kapitel und kleinigkeiten

bibliography.bib

@@ -133,3 +133,31 @@
 	address	= {Humboldt-Universität zu Berlin},
 	url	= {https://www2.informatik.hu-berlin.de/~koessler/Stochastik/Stochastik2006/FolienStochastik_4.pdf}
 }
+
+
+@article{schreiter_echt_2022,
+	title = {Echt schräg: Galton revisited},
+	url = {https://www.friedrich-verlag.de/friedrich-plus/sekundarstufe/mathematik/stochastik/echt-schrag-galton-revisited-12235},
+	number = {232},
+	publisher = {Friedrich Verlag {GmbH}},
+	author = {Schreiter, Saskia and Vogel, Markus and Eichler, Andreas},
+	urldate = {2026-07-12},
+	date = {2022},
+}
+
+
+@incollection{posedel_martingale_2025,
+	location = {Berlin, Heidelberg},
+	title = {Martingale Central Limit Theorem},
+	isbn = {978-3-662-69359-9},
+	url = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-69359-9_345},
+	doi = {10.1007/978-3-662-69359-9_345},
+	abstract = {The martingale central limit theorem ({MCLT}) links the notions of martingales and the Lindeberg-Feller classical central limit theorem ({CLT}) for independent summands.},
+	pages = {1418--1421},
+	booktitle = {International Encyclopedia of Statistical Science},
+	publisher = {Springer Berlin Heidelberg},
+	author = {Posedel, Petra},
+	editor = {Lovric, Miodrag},
+	date = {2025},
+}
+

content/Mathematischer_Hintergrund.tex

@@ -88,7 +88,7 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
 	\[
 	P(S_n = k) \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)
 	\]
-	wobei $\mathbb{E}(X)=\mu$, $Var(X)=\sigma ^2$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
+	wobei $\mathbb{E}(X)=\mu$, $Var(X)=\sigma ^2 < \infty$ und $\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
 \end{satz}
 \begin{proof}
 	Der Beweis folgt zum großen Teil dem Beweis von \cite{statistik_verstehen_beweis_2019} und wurde von den Autoren weiter konkretisiert.\\

content/Weiterfuehrende_Ideen.tex

@@ -1,4 +1,9 @@
-Da Sie ja umfangreich recherchiert haben, werden Sie deutlich mehr Material haben, als Sie in diesem Dokument unterbringen können. Hier können Sie Ihre weiterführenden Ideen kurz darstellen. Vergessen Sie nicht, auch hier die Quellen anzugeben!
+Das klassische Galtonbrett ist ein elegantes mechanisches Modell zur Veranschaulichung des zentralen Grenzwertsatzes (ZGS). Die Standardannahme geht dabei von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen aus: jede Kugel trifft an jedem Stift mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0.5$ die Entscheidung, nach links oder rechts zu fallen ohne, dass diese sich gegenseitig beeinflussen. Im Rahmen tiefergehender Recherchen zeigen sich jedoch spannende theoretische wie praktische Erweiterungsmöglichkeiten, die weit über das Standardmodell hinausgehen.
-% Vorraussetzungen entspannter betrachten:
+\paragraph{Unabhängigkeit}
-% 		Martingale central limit theorem + Mixing Condition -> Normalverteilung.
+In der Realität ist die strikte Unabhängigkeit aufeinanderfolgender Schritte oft eine Idealisierung. Physikalisch gesehen könnte eine Kugel den Stift in leichte Schwingungen versetzen oder Drall mitnehmen, was die Wahrscheinlichkeit für den nächsten Schritt beeinflusst. Mathematisch lässt sich diese Voraussetzung jedoch lockern, indem statt Zufallsvariablen Martingale betrachtet werden. Unter bestimmten Voraussetzungen greif hier dann der Martingal-Zentralgrenzwertsatz, wodurch wieder die Normalverteilung angenähert wird \cite{posedel_martingale_2025}.
-%		Gegenbeispiel Fat-Tails -> was geht kaputt?
+
+\paragraph{Identisch Verteilt}
+Das klassische Brett nutzt auf jeder Ebene die identische Wahrscheinlichkeit $p = 0.5$. Da auch dies nicht unbedingt immer Gewehrleitbar ist, lässt sich diese Bedingung ebenso aufweichen. Unter der Bedingung, dass keine einzelne Reihe die Gesamtvarianz dominiert (Lindeberg-Bedingung), führt der verallgemeinerte zentrale Grenzwertsatz dennoch zu einer Normalverteilung. Die Glockenkurve bleibt erhalten, auch wenn die Elementarschritte auf dem Weg nach unten variieren \cite{posedel_martingale_2025}.
+
+\paragraph{Erweiterung der Mechanik in der Schule: Das schiefe Galtonbrett}
+Eine physisch leicht umzusetzende Variation ist das Neigen des gesamten Brettes. Durch die Schräglage wird die Wahrscheinlichkeit für einen Fall nach rechts oder links asymmetrisch, sodass $p \neq 0.5$ gilt. Die Pfade der Kugeln folgen nun einer asymmetrischen Binomialverteilung. Für eine große Anzahl an Stiftreihen $n$ nähert sich die Form (nach dem Satz von Moivre-Laplace) zwar immer noch einer Normalverteilung an, jedoch verschieben sich der Erwartungswert auf $\mu = np$ und die Varianz auf $\sigma^2 = np(1-p)$. Die Glockenkurve wandert entsprechend der Neigung aus dem physikalischen Zentrum des Brettes heraus, behält aber ihre charakteristische mathematische Struktur bei, was im Unterricht hervorragend zur Einführung von Parametervariationen genutzt werden kann \cite{schreiter_echt_2022}.