tobi Änderungen und Sigma
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%"ltex.language": "de-DE"
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\subsection{Beweis des zentralen Grenzwertsatzes}
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Das Galtonbrett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom Zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess mithilfe einer Binomialverteilung und Beweisen anschließend den zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015}.
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Das Galtonbrett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess mithilfe einer Binomialverteilung und Beweisen anschließend den zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015}.
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\begin{definition}[Modell des Galtonbretts]{galton}{nach \cite[S. 252-253]{buchter_elementare_2005}}
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Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum.
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Der Fall einer Kugel durch ein Galtonbrett mit $n \in \mathbb{N}$ Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei $X_i \in \{0, 1\}$.
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@@ -42,19 +42,19 @@ Um jeden Ausgang des Galtonbrettes durchnummeriert von links nach rechts untersc
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\begin{definition}[Zufallsvariable $S_n$]{Sn}{nach \cite[min. 0:50]{statistik_verstehen_beweis_2019}}
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Die Endposition der Kugel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[S_n = \sum_{i=1}^n X_i\]
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\end{definition}
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Um diese summierte Zufallsvariable genauer zu verstehen betrachten wir zuerst den Binomialkoeffizienten.
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Um diese summierte Zufallsvariable genauer zu verstehen, betrachten wir zuerst den Binomialkoeffizienten.
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\begin{definition}[Binomialkoeffizienten]{binomialkoeffizienten}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
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Für $n\in\mathbb{N}_0$ und $k\in\{0,\dots,n\}$ definieren wir den \textbf{Binomialkoeffizienten}
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\[
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\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
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\]
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wobei die Zahl $\binom{n}{k}$ die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen Menge genau $k$-Elemente auszuwählen, angibt.
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wobei die Zahl $\binom{n}{k}$ die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen Menge, genau $k$-Elemente auszuwählen, angibt.
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\end{definition}
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Betrachten wir nun den Binomialkoeffizienten in Bezug auf $S_n$, beschreibt dieser exakt die Anzahl der möglichen Pfade durch das Galtonbrett, bei denen die Kugel von $n$ Reihen genau $k$-mal nach rechts (und somit $(n-k)$-mal nach links) fällt. Da jeder dieser einzelnen Pfade aufgrund der Unabhängigkeit der Entscheidungen die Wahrscheinlichkeit $p^k (1-p)^{n-k}$ besitzt, ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Fach $k$ durch Multiplikation. Daher rührt die Binomialverteilung:
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\begin{definition}[Binomialmodell]{binModell}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
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\begin{definition}[Binomialmodell]{binModell}{nach \cite{kosenkova_stochastik_2025}}
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Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in [0,1]$ $n$-mal, und interessiert sich nur für die Anzahl der erfolgreichen Experimente, so wählt man
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\[
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\Sigma = \{0,1,...,n\}.
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A = \{0,1,...,n\}.
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\]
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In diesem Modell ist
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\[
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@@ -62,7 +62,7 @@ Betrachten wir nun den Binomialkoeffizienten in Bezug auf $S_n$, beschreibt dies
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\]
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eine Zähldichte.
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\end{definition}
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Im Fall des Galtonbrettes können wir $\Sigma = S_n$ wählen.
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Im Fall des Galtonbrettes können wir $A = S_n$ wählen.
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\begin{definition}[Binomialverteilung]{binZähldichte}{\cite{kosenkova_stochastik_2025}}
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Die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Zähldichte $Bin_{n,p}(\{k\})$ auf $\{0,...,n\}$ heißt Binomialverteilung zu den Parametern $n, p$.
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\end{definition}
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@@ -72,17 +72,17 @@ Anschließend ist folgendes zu bemerken:
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Daher gilt $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Nach \cref{bem:XiB} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulli-verteilten Zufallsexperimenten dar.
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Daraus folgt, dass das Galtonbrett mit der Zufallsvariable $S_n$ eine Binomialmodell \cref{def:binModell} darstellt und somit die Binomialverteilung nach \cref{def:binZähldichte} eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$.
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Nach \cref{bem:XiB} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulliverteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulliverteilten Zufallsexperimenten dar.
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Daraus folgt, dass das Galtonbrett mit der Zufallsvariable $S_n$ ein Binomialmodell nach \cref{def:binModell} darstellt und somit die Binomialverteilung nach \cref{def:binZähldichte} eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$.
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\end{proof}
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Eine weitere in diesem Kontext interessante Verteilung ist die Normalverteilung.
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\begin{definition}[Normalverteilung]
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Sei X eine stetige Zufallsvariable mit Dichte
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Sei $X$ eine stetige Zufallsvariable mit Dichte
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\[ f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}\]
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und Parametern $\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0$, wobei $\mu$ den Erwartungswert und $\sigma ^2$ die Varianz von X darstellt, so nennt man X \emph{Normalverteilt} und schreibt:
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\[ x \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma ^2)\]
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und Parametern $\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0$, wobei $\mu$ den Erwartungswert und $\sigma ^2$ die Varianz von $X$ darstellt, so nennt man $X$ \emph{Normalverteilt} und schreibt:
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\[ X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma ^2)\]
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\end{definition}
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Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der Fakultäten sehr aufwendig. An dieser Stelle greift der zentrale Grenzwertsatz, der besagt, dass sich die Binomialverteilung für große $n$ der Normalverteilung annähert. Für große $n$ lässt sich damit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (aufgrund der Standardisierung) deutlich leichter bestimmen. Des weiteren ist es mathematisch gesehen sehr schön zu sehen, wie eine relativ einfache diskrete Verteilung, wie die Binomialverteilung, mit einer mathematisch persé sehr anders aussehenden Verteilung zusammenhängt. Im Spezialfall der Binomialverteilung wird dies durch den Satz von Moivre-Laplace formalisiert \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015, statistik_verstehen_beweis_2019}.
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Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der Fakultäten sehr aufwendig. An dieser Stelle greift der zentrale Grenzwertsatz, der besagt, dass sich die Binomialverteilung für große $n$ der Normalverteilung annähert. Für große $n$ lässt sich damit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (aufgrund der Standardisierung) deutlich leichter bestimmen. Des Weiteren ist es mathematisch gesehen sehr schön zu sehen, wie eine relativ einfache diskrete Verteilung, wie die Binomialverteilung, mit einer mathematisch persé sehr anders aussehenden Verteilung zusammenhängt. Im Spezialfall der Binomialverteilung wird dies durch den Satz von Moivre-Laplace formalisiert \cite{nahrstedt_monte-carlo-methode_2015, statistik_verstehen_beweis_2019}.
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\begin{satz}[Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{moivrelaplace}{nach \cite{kosenkova_stochastik_2025}}
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Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$. Für große $n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass $S_n$ den Wert $k \in \{x| x \in\mathbb{N}_0 \land x \leq n\}$ annimmt, durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
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\[
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@@ -168,16 +168,16 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
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\item[(\ref{eq5:3})] Gleichheit für $k$ aus der Standardisierung einsetzen: $k = np + z\sqrt{npq}$.
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\item[(\ref{eq5:4})] Distributivgesetz für $-1$ anwenden und Brüche durch Aufteilen der Addition und Einfügen der multiplikativen Identität $\frac{\sqrt{np}}{\sqrt{np}}$ (selbes für $nq$) vereinfachen.
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\end{itemize}
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Die \cref{def:taylorpolynom} beweist die Taylor-Approximation für den Logarithmus: $ln(1-\alpha) = -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ und $ln(1+\alpha) = \alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ für $\alpha \in (-\infty, 1)$. Hierbei steht $O(\alpha^3)$ für die Landau-Notation.
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Die \cref{def:taylorpolynom} beweist die Taylor-Approximation für den Logarithmus: $ln(1-\alpha) = -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ und $ln(1+\alpha) = \alpha-\frac{\alpha^2}{2}+O(\alpha^3)$ für $\alpha \in (-1, 1)$. Hierbei steht $O(\alpha^3)$ für die Landau-Notation.
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Wir definieren:
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\[
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\beta := \sqrt{\frac{q}{np}}; \quad
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\gamma := \sqrt{\frac{p}{nq}}
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\]
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Um diese Approximation zu verwenden, muss sicher sein, dass $-1 < |\alpha| < 1$. Das heißt, dass $\forall z \in \mathbb{R}: \lim_{n\rightarrow\infty} -1 < |z\cdot\beta|<1$. (Für $z\cdot\gamma$ analog) Hierbei genügt die Abschätzung gegen unendlich, da wir die Annäherung nur für große Zahlen beweisen wollen.\\
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Um diese Approximation zu verwenden, muss sicher sein, dass $-1 < \alpha < 1$. Das heißt, dass $\forall z \in \mathbb{R}: \lim_{n\rightarrow\infty} -1 < z\cdot\beta<1$. (Für $z\cdot\gamma$ analog) Hierbei genügt die Abschätzung gegen unendlich, da wir die Annäherung nur für große Zahlen beweisen wollen.\\
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Sei also $z\in\mathbb{N}$, dann betrachten wir:\\
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\begin{align*}
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|z\cdot\beta| \overset{Def.}{=} \left|z \cdot \sqrt{\frac{q}{np}}\right| = |z|\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{\frac{q}{p}} \xrightarrow{n\rightarrow\infty} 0\\
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z\cdot\beta \overset{Def.}{=} z \cdot \sqrt{\frac{q}{np}} = z\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{\frac{q}{p}} \xrightarrow{n\rightarrow\infty} 0\\
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und \quad -1 < 0 < 1
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\end{align*}
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Da $p$ und $q$ konstante Parameter sind.
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@@ -225,7 +225,7 @@ Für große $n$ wird die direkte Berechnung der Binomialverteilung aufgrund der
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\item[(\ref{eq7:2})] Der Bruch wurde quadriert und zusammengefasst.
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\item[(\ref{eq7:3})] Definition der Standardnormalverteilung angewendet.
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\end{itemize}
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Daher konvergiert eine Binomialverteilte Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.
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Daher konvergiert eine binomialverteilte Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.
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\end{proof}
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\begin{lemma}[Asymptotisches Verschwinden der Taylor-Restterme mit Präfix]{restterme}
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Seien $p \in (0,1)$, $q = 1-p$ und $z$ Werte einer standardisierten, binomialverteilten Zufallsvariable wobei z begrenzt ist. Für die Restterme der Taylor-Entwicklung des Logarithmus multipliziert mit ihren jeweiligen Vorfaktoren gilt für $n \rightarrow \infty$:
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@@ -306,11 +306,11 @@ Die Stirling-Approximation ist eine mathematische Näherung zur Berechnung der F
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\[
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d_n := \ln{n!}-\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln{n+n}
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\]
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Wir zeigen nun, dass
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Wir zeigen nun, folgende Aussage gilt:
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\[
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\lim_{n\rightarrow\infty}d_n =\ln\sqrt{2\pi}
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\]
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Es gilt
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Es gilt:
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\begin{align*}
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d_n-d_{n+1}=&\ln n!-\ln{(n+1)!}-\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n \\&+\left(n+1+\frac{1}{2}\right)\ln{(n+1)}+n-(n+1)\\
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=&\ln\frac{n!}{(n+1)!}+\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\ln(n+1)-\ln (n)\right)+\ln(n+1)-1\\
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@@ -503,9 +503,9 @@ Bevor wir die Approximation nachweisen, ist eine formale Definition des Satzes
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\end{satz}
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\begin{bemerkung}
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Das Lagrange-Restglied ist in den meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$.
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Das Lagrange-Restglied ist in den meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n+1$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$.
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Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^n)$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algortihmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
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Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^{n+1})$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algortihmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
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Die Definition des Taylorpolynoms entspringt direkt dem Satz von Taylor, nur ohne das Lagrange-Restglied.
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\end{bemerkung}
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@@ -526,7 +526,7 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
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\begin{proof}
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Zunächst ist der Definitionsbereich von $\ln(1-x)$ gleicht dem Intervall $(-\infty,1)$.
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Zudem ist die Funktion $\ln(1-x)$ mindestens dreimal differenzierbar. Betrachten wir $x\in(-\infty,1)$ und $x_0=0$.
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Zudem ist die Funktion $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar. Betrachten wir $x\in(-\infty,1)$ und $x_0=0$.
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Das zweite Taylor-Polynom lautet
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\begin{align*}
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@@ -556,7 +556,7 @@ Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeig
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\]
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}
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Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben. Da auch in abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert.
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Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben, welcher durch das Langrange-Restglied beziehungsweise die Landaunotation ausgedrückt wird. Da auch in Abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert.
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\end{bemerkung}
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Im Plot können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x_0=0$ herum sehr ähnlich sind.
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\begin{figure}[H]
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@@ -587,16 +587,16 @@ Im Plot können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x
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\end{tikzpicture}
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\caption{Darstellung der Funktionen $\ln(1-x)$ und $-x-\frac{x^2}{2}$}
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\end{figure}
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Würden wir die Entwicklung weiterführen, approximiert die violette Funktion (unser Taylorpolynom) die orangene Funktion $(\ln(1-x))$ immer weiter. Graphisch lässt sich erkennen, dass für Werte im Intervall $I(-0.5,0.5)$ die Funktion $\ln(1-x) \sim -x\frac{-x}{2}$ plus ein kleiner Fehler ist.
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Würden wir die Entwicklung weiterführen, approximiert die rot-gestrichelte Funktion (unser Taylorpolynom) die blaue Funktion $(\ln(1-x))$ immer weiter. Graphisch lässt sich erkennen, dass für Werte im Intervall $I(-0.5,0.5)$ die Funktion $\ln(1-x) \sim -x\frac{-x}{2}$ plus ein kleiner Fehler ist.
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\subsection{Galtonbrett}
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Das Galtonbrett ist ein bekanntes Modell zur Veranschaulichung der Normalverteilung der Stochastik. Es demonstriert visuell, wie aus einer Vielzahl von zufälligen unabhängigen Einzelereignissen eine feste mathematische Gesetzmäßigkeit entsteht. Naiv betrachtet ist es nicht auf dem ersten Blick deutlich, dass aus der eigentlichen Binomialverteilung die gaußsche Glockenkurve der Normalverteilung entsteht.
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Das Galtonbrett wurde von dem britischen Naturforscher und Universalgelehrten Sir Francis Galton (1822–1911) erfunden. Galton war ein Cousin von Charles Darwin und interessierte sich stark für die Vererbung menschlicher Eigenschaften, wie Körpergröße oder Intelligenz \cite{buchter_elementare_2005}. Er stellte auch fest, dass diese Eigenschaften in einer Bevölkerung fast immer einer Glockenkurve der Normalverteilung folgten. Galton suchte nach einem mechanischen Weg, um zu demonstrieren, wie die Vermischung vieler zufälliger genetischer Beiträge der Eltern in der nächsten Generation wieder genau dieselbe Verteilung von Mustern hervorbringt \cite{pearl-mackenzie-2018}. Das Brett diente ihm also ursprünglich als biologisches Analogiemodell für die Vererbung, bevor es zu einem Standardwerkzeug der mathematischen Didaktik wurde, um den zentralen Grenzwertsatz zu visualisieren. Das erste Mal hat Sir Francis Galtin das Brett am 17.02.1874 bei einer Vorlesung in der Royal Society vorgestellt \cite{kit-2022}.
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Das Galtonbrett wurde von dem britischen Naturforscher und Universalgelehrten Sir Francis Galton (1822–1911) erfunden. Galton war ein Cousin von Charles Darwin und interessierte sich stark für die Vererbung menschlicher Eigenschaften, wie Körpergröße oder Intelligenz \cite{buchter_elementare_2005}. Er stellte auch fest, dass diese Eigenschaften in einer Bevölkerung fast immer einer Glockenkurve der Normalverteilung folgten. Galton suchte nach einem mechanischen Weg, um zu demonstrieren, wie die Vermischung vieler zufälliger genetischer Beiträge der Eltern in der nächsten Generation wieder genau dieselbe Verteilung von Mustern hervorbringt \cite{pearl-mackenzie-2018}. Das Brett diente ihm also ursprünglich als biologisches Analogiemodell für die Vererbung, bevor es zu einem Standardwerkzeug der mathematischen Didaktik wurde, um den zentralen Grenzwertsatz zu visualisieren. Das erste Mal hat Sir Francis Galton das Brett am 17.02.1874 bei einer Vorlesung in der Royal Society vorgestellt \cite{kit-2022}.
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Das grundlegende Prinzip des Galtonbretts ist über die 150 Jahre hinweg völlig gleichgeblieben, doch seine Anwendung und Form haben sich stark gewandelt.
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\begin{itemize}
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\item Der Anfang in den 1870er Jahren mit Galtons originalem Apparate war nicht viel mehr als ein klobiger, hölzerner Kästen mit Glasscheiben. Als "Kugeln" verwendete er oft Bohnen (weshalb es im Englischen auch Bean Machine genannt wurde).
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\item Im 20ten Jahrhundert fand das mathematische Prinzip schnell Einzug in die Unterhaltungsindustrie. In Fernsehshows wurde es weltberühmt – so etwa als das Spiel "Plinko" in der US-amerikanischen Show The Price Is Right \cite{pearl-mackenzie-2018} oder in der deutschen Adaption "Der Preis ist heiß".
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\item Im 20ten Jahrhundert fand das mathematische Prinzip schnell Einzug in die Unterhaltungsindustrie. In Fernsehshows wurde es weltberühmt – so etwa als das Spiel "Plinko" in der US-amerikanischen Show ``The Price Is Right'' \cite{pearl-mackenzie-2018} oder in der deutschen Adaption "Der Preis ist heiß".
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\item Heute gibt es das Galtonbrett als präzise gefertigte Schreibtisch-Gadgets im Taschenformat, bei denen Tausende winziger Stahlkugeln in lasergeschnittenen Kunststoffrillen laufen. Zudem wird das Brett heute in Schulen und Universitäten meistens digital als Computersimulation wie bei \hyperref{https://www.geogebra.org/m/eayfksqh}{}{}{Galtonbrett mit variabler Wahrscheinlichkeit – GeoGebra} oder \hyperref{https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm}{}{}{Galtonbrettsimulation} genutzt, bei der man Parameter, wie die Fallwahrscheinlichkeit nach links oder rechts, flexibel verändern kann.
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\end{itemize}
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