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Dies ist der zentrale Teil des Dokuments und soll (inhaltlich) den größten Teil des Dokuments ausmachen. 

\subsection{Mathematischer Teil auf Hochsuchschulniveau}
Das Galton-Brett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom Zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess als Binomialverteilung und Beweisen anschließend den Zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace.
\begin{definition}[Modell des Galton Brett]{galton}
	Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
	Der Fall einer Kugel durch ein Galton-Brett mit $n \in \mathbb{N}$ Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei $X_i \in \{0, 1\}$.
	Dabei beschreibt \textbf{$X_i = 1$ den Fall nach rechts} in der $i$-ten Reihe und \textbf{$X_i = 0$ den Fall nach links}. Die Wahrscheinlichkeit sei $P(X_i = 1) = p$ und $P(X_i = 0) = 1-p = q$. Bei einem symmetrischen Brett gilt $p = q = 0.5$.
\end{definition} %Bild?
Hierbei ist anzumerken, dass jedes $X_i$ Bernoulliverteilt ist, da 
\[
	\Omega = \{1,0\} \quad \text{und} \quad
	P(X_i = x) = 
	\begin{cases}
		p & \text{wenn } x=1\\
		1-p & \text{wenn } x=0
	\end{cases}
\]
Somit lässt sich auch $X_i \sim \mathcal{B}_{0,5}$ schreiben.\\
Um jeden Ausgang des Galton-Brettes durchnummeriert von links nach rechts unterscheiden zu können, definieren wir uns eine weitere Zufallsvariable Sn wie folgt:
\begin{definition}[Zufallsvariable $S_n$]{Sn}
	Die Endposition der Kugel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[S_n = \sum_{i=1}^n X_i\]
\end{definition}
Anschließend ist folgendes zu bemerken:
\begin{satz}[Verteilung der Endposition]{satz:binomialverteilung}
	Die Zufallsvariable $S_n$, ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$. 
	Daher gilt $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
\end{satz}
\begin{proof}
	Nach \cref{def:galton} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulli-verteilten Zufallsexperimenten dar.
	%Ref Cosi
	Daraus folgt, dass das Galton-Brett mit der Zufallsvariable $S_n$ eine Binomialmodell darstellt und somit die Binomialverteilung nach Definition eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
\end{proof}
Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkennen, dass bei $n\rightarrow\infty$ Kugeln sich die Verteilung der Kugeln in der Auffangung der Verteilung der Glockenkurve der Normalverteilung annähert. %"Verteilung" Fachlick Korrekt?
\begin{satz}[Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{satz:moivrelaplace}
	Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$. Für große $n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass $S_n$ genau den Wert $k$ annimmt, durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
	\[
	P(S_n = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} \exp\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)
	\]
\end{satz}
\begin{proof}
	Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$ sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese 3 Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der Folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.
	
	\textbf{1. Anwendung der Stirling-Formel:}\\
	Wir beginnen mit der Definition der Binomialwahrscheinlichkeit:
	\[
	P(S_n = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}
	\]
	Nach der Stirling-Formel gilt für große Zahlen näherungsweise $n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung:
	\begin{align}
			P(S_n = k) &\approx \frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{(\sqrt{2\pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k)(\sqrt{2\pi (n-k)} \left(\frac{(n-k)}{e}\right)^{(n-k)})} p^k q^{n-k} \nonumber \\
			&= \frac{n^n \sqrt{2\pi n}}{k^k \sqrt{2\pi k} (n-k)^{n-k} \sqrt{2\pi (n-k)}} p^k q^{n-k} \label{eq1:e}\\
			&= \frac{\sqrt{n} \cdot n^k \cdot n^{n-k}}{\sqrt{2\pi} \sqrt{k} \sqrt{(n-k)} k^k (n-k)^{n-k}} p^k q^{n-k} \label{eq1:aufteilen}\\
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \label{eq1:zusammenfassen}
	\end{align}
	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
	\begin{itemize}
		\item[(\ref{eq1:e})] Hier heben sich die $e$-Potenzen heraus, da $\left(\frac{n}{e}\right)^n = n^n \cdot e^{-n}$ sowie $e^n / (e^k e^{n-k}) = 1$ gilt.
		\item[(\ref{eq1:aufteilen})] Hier lässt sich die Gleichung intelligent aufteilen und etwas umstellen durch die Potenzgesetze, da gilt: $n^n = n^k \cdot n^{n-k}$ Außerdem lässt sich einmal $\sqrt{2\pi}$ Kürzen.
		\item[(\ref{eq1:zusammenfassen})] Ist das Resultat nach dem Sortieren der Brüche anhand der Exponenten
	\end{itemize}
	\textbf{2. Substitution und Approximation der Wurzeln:} \\
	Um das breiter werden der Verteilung und das Abwandern des Erwartungswertes zu verhindern standardisieren wir die Zufallsvariable, indem wir 
	\[
		Z_n=\frac{S_n-E(X_n)}{\sigma(S_n)} = \frac{k-np}{\sqrt{npq}}
	\]
	definieren. Nun nimmt $Z_n$ Werte $z=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ an, nach $k$ und nach $n-k$ umgestellt heißt das
	\begin{align*}
		k = np + x\sqrt{npq} \\
		n-k = nq - x\sqrt{npq} 
	\end{align*}
	Nun betrachten wir $k \cdot (n-k)$ für $n \rightarrow \infty$:
	\begin{align}
		k(n-k) &= (np + x\sqrt{npq})\cdot(nq - x\sqrt{npq}) \label{eq3:einsetzen}\\
		&= n^2pq + (nz\sqrt{nqp}(q-p)-z^2npq)	\label{eq3:umstellen}\\
		&\overset{n\rightarrow\infty}{=}n^2pq \label{eq3:absch}
	\end{align}
	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
	\begin{itemize}
		\item[(\ref{eq3:einsetzen})] Formeln für $k$ und $n-k$ einsetzen
		\item[(\ref{eq3:umstellen})] Distributivgesetz anwenden und nach Potenz von $n$ sortieren
		\item[(\ref{eq3:absch})] $n^2$ geht für $n\rightarrow\infty$ schneller nach unendlich als die linearen Restterme. Folglich sind diese für die Abschätzung gegen unendlich vernachlässigbar.
	\end{itemize}
	Setzen wir dieses Ergebnis nun in das Zwischenergebnis von \cref{eq1:zusammenfassen} ein erhalten wir folgendes:
	\begin{align}
		P(S_n = k) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \nonumber \\
		&\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{n^2pq}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \label{eq4:1}\\
		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{npq}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \label{eq4:2}\\
		&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \label{eq4:3}
	\end{align}
	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
	\begin{itemize}
		\item[(\ref{eq4:1})] Approximation verwenden
		\item[(\ref{eq4:2})] $n$ Kürzen und Potenz-/Wurzelgesetze anwenden um Bruch zu vereinfachen
		\item[(\ref{eq4:3})] Kehrwert der Brüche Bilden und Wurzeln zusammenfassen
	\end{itemize}
	Es ist bereits der korrekte konstante Faktor der Gaußschen Glockenkurve erkennbar.
	\textbf{3. Taylor-Approximation des exponentiellen Teils:} \\
	Den restlichen Term formen wir um, indem wir ihn logarithmieren um im Anschluss die Approximationsformel für den Logarithmus verwenden zu können. Diese wird ebenso wie die Sterling-Formel im Anschluss bewiesen. 
	Hierzu betrachten wir folgendes zuerst einzeln:
	\begin{align}
		&\ln\left( \left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \right) \\
		&= -k \ln\left(\frac{k}{np}\right) - (n-k) \ln\left(\frac{n-k}{nq}\right) \\
		&= (np + x\sqrt{npq}) \ln\left(\frac{(np + x\sqrt{npq})}{np}\right) - (nq - x\sqrt{npq}) \ln\left(\frac{(nq - x\sqrt{npq})}{nq}\right) \\
		&= (-np - x\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + x\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \label{eq5:3}
	\end{align}
	Die Taylor-Approximation besagt: $ln(1-\alpha) \approx \alpha-\frac{\alpha^2}{2}$ und ein Rest, für den wir uns in dem Fall nicht interessieren, da wir die Approximation nach dem quadratischem Term abbrechen. %wieso O(n^3) egal?
	Betrachten wir nun die Logarithmen für die Tailorapproximation näher:
	\begin{align*}
		\ln\left(1 + x\sqrt{\frac{q}{np}}\right) &\approx x\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{\left(x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)^2}{2} \\
		&= x\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{x^2 q}{2np}
	\end{align*}
	und für den anderen ln analog:
	\begin{align*}
		\ln\left(1 - x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) &\approx -x\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{\left(x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)^2}{2} \\
		&= -x\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{x^2 p}{2nq}
	\end{align*}
	Setzen wir dies nun zurück in \cref{eq5:3} ein, erhalten wir:
	\begin{align}
		&(-np - x\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + x\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \\
		&=(-np - x\sqrt{npq})(x\sqrt{\frac{q}{np}} - \frac{x^2 q}{2np}) + (-nq + x\sqrt{npq})(-x\sqrt{\frac{p}{nq}} - \frac{x^2 p}{2nq}) \\
		&=()
	\end{align}
	%weiter
	...
\end{proof}


