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\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
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\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}

\newcommand{\bpf}[1]{%
	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
	\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
	\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
}



\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
\renewcommand{\figurename}{Grafik}
\renewcommand{\partname}{Teil}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}

\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}

% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
\newcounter{commoncounter}[subsection]
\renewcommand{\thecommoncounter}{\thesection.\arabic{commoncounter}}

\usepackage{xparse}

\newcommand{\answer}[1]{%
	\ifhmode\newline\newline\fi
	\foreach \n in {1,...,#1}{\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\vspace{1em}}
}


\newcommand{\currentsection}{}
\newcommand{\currentsubsection}{}

\LetLtxMacro{\oldsection}{\section}
\LetLtxMacro{\oldsubsection}{\subsection}

\RenewDocumentCommand{\section}{s o m}{%
	\IfBooleanTF{#1}%
	{ \oldsection*{#3} }% Stern-Variante → unverändert
	{%
		\IfValueTF{#2}%
		{ \oldsection[#2]{#3} }% Optionales TOC-Argument
		{ \oldsection{#3} }%
		\renewcommand{\currentsection}{#3}%
	}%
}

\RenewDocumentCommand{\subsection}{s o m}{%
	\IfBooleanTF{#1}%
	{ \oldsubsection*{#3} }%
	{%
		\IfValueTF{#2}%
		{ \oldsubsection[#2]{#3} }%
		{ \oldsubsection{#3} }%
		\renewcommand{\currentsubsection}{#3}%
	}%
}



% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
\AtBeginDocument{\setcounter{commoncounter}{0}}

% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
\newtcolorbox{definitionbox}[1][]{
	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
	title={Definition \thecommoncounter: #1},
	colback=white,
	colframe=white!75!darkgrey,
	fonttitle=\bfseries,
	boxrule=0.6mm,
	coltitle=black,
	rounded corners,
	before skip=10pt,
	after skip=10pt
}

\newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
	title={Zusatzaufgabe: #1},
	colback=white,
	colframe=white!75!red,
	fonttitle=\bfseries,
	boxrule=0.6mm,
	coltitle=black,
	rounded corners,
	before skip=10pt,
	after skip=10pt
}

\newtcolorbox{merkbox}[1][]{
	title={Merken: #1},
	colback=white,
	colframe=white!75!red,
	fonttitle=\bfseries,
	boxrule=0.6mm,
	coltitle=black,
	rounded corners,
	before skip=10pt,
	after skip=10pt
}

\definecolor{SatzColor}{RGB}{66,133,244} 
\newtcolorbox{satzbox}[1][]{
	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
	title={Satz \thecommoncounter: #1},
	colback=SatzColor!5,
	colframe=white!75!SatzColor,
	fonttitle=\bfseries,
	boxrule=0.6mm,
	coltitle=black,
	rounded corners,
	before skip=10pt,
	after skip=10pt
}

\newcommand{\antwortbox}[1][4cm]{%
	\raisebox{-0.4\height}{\fbox{\rule{0pt}{3em}\hspace{#1}}}%
}

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\lstdefinestyle{CStyle}{
	language=C,
	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
	keywordstyle=\color{blue}\bfseries, % Schlüsselwörter fett und blau
	stringstyle=\color{red}, % Strings rot
	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
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	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
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	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
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	tabsize=4, % Tabulatorgröße
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	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
}


\lstdefinestyle{ShellStyle}{
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	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
	numbers=left, % Zeilennummern links
	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
	numberstyle=\color{gray}\texttt,
	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
	frame=single, % Rahmen um den Code
	tabsize=4, % Tabulatorgröße
	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
	captionpos=below,
	showstringspaces=false,
	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
}


% Umgebung für Listings mit Titel und Zähler
\newenvironment{codeexample}[1][]{
	\refstepcounter{commoncounter} % Zähler erhöhen
	\lstset{
		style=CSharpStyle,
		caption={Listing \thecommoncounter: #1}, % Titel mit Zähler
		label={listing:\thecommoncounter}
	}
}{}

\makeatletter
% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
\let\c@subsubsection\c@commoncounter

% Anzeige der Nummer angleichen
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
\makeatother

\setlength{\parindent}{0pt}

\sethlcolor{black!10} % Farbe des "Textmarkers"

\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
\newcommand{\curtitle}{Galton x LGS}

\title{\curtitle}
\author{Fierke, Janik, Weidlich}
\pagestyle{scrheadings}
\date{\curdate}
\begin{document}
	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
	
	\setcounter{section}{2}
	\section{\curtitle}
	Das Galtonbrett lässt sich wir folgt formal mathematisch formulieren:
	\begin{definitionbox}[Modell des Galtonbretts]
		Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
		Der Fall einer Murmel durch ein Galtonbrett mit \hl{$\bm{n \in \mathbb{N}}$} Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei \hl{$\bm{X_i \in \{0, 1\}}$}.
		Dabei beschreibt \hl{$\bm{X_i = 1}$} den Fall nach rechts in der $i$-ten Reihe und \hl{$\bm{X_i = 0}$} den Fall nach links. Die Wahrscheinlichkeit sei $P(X_i = 1) = p$ und $P(X_i = 0) = 1-p = q$. Bei einem symmetrischen Brett gilt $p = q = 0.5$.\\
		Die Endposition der Murmel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[\colorbox{black!10}{$\displaystyle \bm{S_n=\sum_{i=1}^n X_i}$}\] Hierbei ist $S_n$ Binomialverteilt.
	\end{definitionbox}
	
	\textbf{\underline{Aufgabe 1:}} Um die Definition genauer zu verstehten, ordne die in der Definition hervorgehobenen Teile den Folgenden Abbildungen des Galtonbrettes zu:
	\begin{figure}[H]
		\centering
		% Erstes Bild
		\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
			\centering
			\includegraphics[width=\linewidth]{../images/AB3_Galton.png}
			\caption{Darstellung des Galtonbretts nach Brünner (2025)}
			\label{fig:galton}
		\end{minipage}
		\hfill
		% Zweites Bild
		\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
			\centering
			\includegraphics[width=\linewidth]{../images/AB3_X.png}
			\caption{Darstellung des Falls einer Murmel im Galtonbrett.}
			\label{fig:galtonXi}
		\end{minipage}
	\end{figure}
	\textbf{\underline{Aufgabe 2:}} Sobald sehr viele Murmeln durch das Galtonbrett gewandert sind, entsteht eine Verteilung, wie in Grafik 3 für ein symmetrisches Brett dargestellt wird.
	\begin{enumerate}
		\item Probiere das ganze selbst einmal auf folgender Website aus: \url{https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/galtonbrett.htm}.\\ Was fällt dir auf? \\ \textit{Achtung: stelle p = 0,5 für ein symmetrisches Brett ein!}
		\answer{1}
		\item Recherchiere selbstständig und zeichne den Graphen der Dichtefunktion der Normalverteilung über die Verteilung des Galtonbrettes ein:
		\begin{figure}[H]
			\centering
			\includegraphics[width=0.8\linewidth]{../images/AB3_GaltonVersuche.png}
			\caption{Galtonbrett nach c.a. 7000 durchgefallenen Murmeln nach Brünner (2025)}
		\end{figure}
		\item Wiederhole oder Recherchiere selbstständig die Eigenschaften der Normalverteilung und Vergleiche diese mit der Binomialverteilung (die Verteilung des Galtonbrettes):
		\begin{table}[H]
			\centering
			\begin{tabularx}{\textwidth}{|X|X|}
				\hline
				\centering\textbf{Normalverteilung} &
				\centering\arraybackslash\textbf{Binomialverteilung} \\
				\hline
				\rule{0pt}{85pt} &
				\rule{0pt}{85pt} \\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{table}
	\end{enumerate}
	Wir wollen nun das schöne mathematische Phänomen, welches sich in Aufgabe 2.2 offenbart, genauer betrachten. Hierzu formulieren wir dies zuerst mathematisch formal sauber:
	\begin{satzbox}[Lokaler Grenzwertsatz von de Movire-Laplace]
		Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit. (Beispielsweise bei einem Galtonbrett)\\
		Für große $n$ lässt sich die Zähldichte von $S_n$ durch die Glockenkurve (Dichtefunktion der Normalverteilung) annähern:
		\[
			P(S_n=k) \sim f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k)
		\]
		wobei $\mathbb{E}(S_n)=\mu$, $Var(S_n)=\sigma ^2$ und $ z = \frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ begrenzt ist.
	\end{satzbox}
	Diesen Satz wollen wir nun Semi-Formal beweisen.\\
	\textbf{\underline{Aufgabe 3:}} Fülle die Lücken im Beweis aus. Wenn du dir unsicher bist kannst du dir alle fehlenden Textbausteine auf dem Zusatzblatt ansehen.
	\begin{enumerate}
		\item Bevor wir den Satz beweisen, ist es wichtig, die Aussage zu verstehen. Formuliere die Kernaussage den Satzes kurz in eigenen Worten:
			\answer{3}
		\item Zuerst muss uns nochmal klar werden, was unser Ausgangspunkt und und das Ziel ist:\\
				Ausgangspunkt: $P(S_n = k) = $ \antwortbox[6cm] \vspace{1em} \\
				Ziel: $f_{\mathcal{N}(\mu,\sigma ^2)}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}=$ \antwortbox[6cm]
		\item Wir wollen die Zähldichte der Binomialverteilung (diskrete Verteilung) mithilfe der Dichte einer einer stetige Verteilung approximieren. Das Aspekt der Binomialverteilung welcher die Diskretheit forciert, ist die Fakultät. Die Fakultät der Reelen Zahlen ist die so genannte Gamma ($\Gamma$) Funktion. \\
		
		Zeichne in dem folgenden Koordinatensystem, in dem auch die Gammafunktion (für $\Gamma(x+1)$) abgebildet ist, die Funktionswerte der Fakultät (welche nur auf $\mathbb{N}$ definiert ist) für $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$ ein:
		\begin{figure}[H]
			\centering
			\begin{tikzpicture}
				\begin{axis}[
					domain=0.1:4.5,
					samples=300,
					axis lines=middle,
					xlabel={$x$},
					ylabel={$y$},
					xmin=0,
					xmax=6,
					ymin=0,
					ymax=26,
					grid=both,
					legend pos=north east
					]
					\addplot[
					blue,
					thick
					]
					{sqrt(2*pi)*((x+1/2)^(x+1/2))*exp(-(x+1/2))};
					\addlegendentry{$\Gamma(x+1)$}
				\end{axis}
			\end{tikzpicture}
		\end{figure}
		Mithilfe dieser Funktion lässt sich die Fakultät leicht approximieren. Diese Approximation nennt sich Sterling Approximation und besagt:
		\[
			n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sim \Gamma(n+1)
		\] %Stimmt das mit dem Gamma?
		Setzen wir das in die Gleichung für $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir nach umstellen:
		\[
			P(S_n = k) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k}
		\]
		\item Aus dieser Formel lässt sich nun leicht schon einmal der Vorfaktor der Glockenkurve erschließen. Hierzu und zu Vereinfachung weiterer Rechnungen standardisieren wir $S_n$. Dies entspricht auch einer einfachen Substitution und daher vollkommen legitim. Hierzu definieren wir:
		\[
			Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sigma(S_n)}
		\]
		nimmt $Z_n$ die folgenden Werte an:
		\[
			z= \antwortbox[6cm]
		\]
		Nach dem Umstellen nach $k$ und $n-k$ folgt dann:
		\[
			k= \antwortbox[6cm]
		\]
		\[
			n-k= \antwortbox[6cm]
		\]
		Multiplizieren wir nun diese beiden Ausdrücke miteinander erhalten wir:
		\[
			k(n-k)= n^2pq + (nz\sqrt{nqp}(q-p)-z^2npq)
		\]
		Da wir uns nur für eine große Anzahl an Durchführungen also große $n$ ($n\rightarrow \infty$) interessieren, ist beobachtbar, dass für große n der lineare Teil kaum noch einen Einfluss auf den Term hat. Daher kann dieser in diesem Fall weggelassen werden. Daher gilt:
		\[
			k(n-k) \sim n^2pq
		\]
		Setzen wir dies nun in unsere diskrete Variante von $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir den passenden Vorfaktor:
		\begin{align*}
			P(S_n = k) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \\
			&\sim \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k}
		\end{align*}
		\item Zum Schluss müssen wir noch die $e$-Funktion mit in die Gleichung bekommen. Das können wir machen, indem wir die Identität ausnutzen: $x = e^{ln(x)}$. Also gilt insbesondere, dass:
		\[
			 P(S_n=k)= \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \Leftrightarrow e^{ln(P(S_n = k))} \sim e^{ln\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k}\right)}
		\]
		Beschreibe kurz, was genau die obere Gleichung aussagt und wieso wir einfach die $e$-Funktion und den (natürlichen)Logarithmus anwenden können!
		\answer{3}
		
		Im Folgenden betrachten wir erst mal nur den Ausdruck im $ln()$ welchen wir mithilfe der Logarithmengesetze umformen können:
		\[
			\ln\left( \left(\frac{k}{np}\right)^{-k} \left(\frac{n-k}{nq}\right)^{-n+k} \right) = (-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)
		\]
		Nenne die Rechengesetze und Substitutionen, welche vermutlich für diese Umformung genutzt wurden!
		\answer{3}
		
		Diese Darstellung des Termes sieht zwar erst mal größer aus, hat aber den Vorteil, dass er aus zwei sich sehr ähnlich aussehenden Teilen besteht. Das machen wir uns zu Nutzen! Mithilfe der Tailor-Approximation für den Logarithmus lassen sich nämlich folgende Abschätzungen beweisen:
		\[
			ln(1-\alpha) \sim -\alpha-\frac{\alpha^2}{2}
		\]
		\[
			ln(1+\alpha) \sim \alpha-\frac{\alpha^2}{2}
		\]
		Mithilfe einiger Umformungen zufallen dadurch die sich ähnlich sehenden Terme, was zu folgendem, erstaunlichem, Resultat führt:
		\[
			(-np - z\sqrt{npq}) \ln\left(1+z\sqrt{\frac{q}{np}}\right) + (-nq + z\sqrt{npq}) \ln\left(1-z\sqrt{\frac{p}{nq}}\right) \sim -\frac{z^2}{2}
		\]
		\begin{extrataskbox}
			Rechne dieses Resultat nach!
		\end{extrataskbox}
		Setzen wir dieses Ergebnis nun wieder in unsere letzte Version von $P(S_n = k)$ ein, erhalten wir das, was wir beweisen wollten:
		\begin{align*}
			P(S_n = k) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{z^2}{2}} \\
			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
			&= \antwortbox[8cm] \vspace{1em} \\
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma ^2}}
		\end{align*}
		Daher nährt sich die Zähldichte einer binomialverteilten Zufallsvariable (für $n\rightarrow\infty$) der Dichtefunktion der Normalverteilung an.
	\end{enumerate}
	\label{LastPage}
\end{document}