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Dies ist der zentrale Teil des Dokuments und soll (inhaltlich) den größten Teil des Dokuments ausmachen. 

\subsection{Beweis des zentralen Grenzwertsatzes}
Das Galton-Brett (nach Francis Galton) dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung und der experimentellen Bestätigung vom Zentralen Grenzwertsatz im Spezialfall der Binomialverteilung. Im Folgenden formalisieren wir den Weg einer Kugel durch das Brett als stochastischen Prozess als Binomialverteilung und Beweisen anschließend den Zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace.
\begin{definition}[Modell des Galton Brett]{galton}
	Sei $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. \\
	Der Fall einer Kugel durch ein Galton-Brett mit $n \in \mathbb{N}$ Reihen wird modelliert durch eine Folge von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dots, X_n$, wobei $X_i \in \{0, 1\}$.
	Dabei beschreibt \textbf{$X_i = 1$ den Fall nach rechts} in der $i$-ten Reihe und \textbf{$X_i = 0$ den Fall nach links}. Die Wahrscheinlichkeit sei $P(X_i = 1) = p$ und $P(X_i = 0) = 1-p = q$. Bei einem symmetrischen Brett gilt $p = q = 0.5$.
\end{definition} %Bild?
Hierbei ist anzumerken, dass jedes $X_i$ Bernoulliverteilt ist, da 
\[
	\Omega = \{1,0\} \quad \text{und} \quad
	P(X_i = x) = 
	\begin{cases}
		p & \text{wenn } x=1\\
		1-p & \text{wenn } x=0
	\end{cases}
\]
Somit lässt sich auch $X_i \sim \mathcal{B}_{0,5}$ schreiben.\\
Um jeden Ausgang des Galton-Brettes durchnummeriert von links nach rechts unterscheiden zu können, definieren wir uns eine weitere Zufallsvariable Sn wie folgt:
\begin{definition}[Zufallsvariable $S_n$]{Sn}
	Die Endposition der Kugel im Fach $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ wird durch die Summe der Rechtsabbiegungen beschrieben. Wir definieren die Zufallsvariable: \[S_n = \sum_{i=1}^n X_i\]
\end{definition}
Anschließend ist folgendes zu bemerken:
\begin{satz}[Verteilung der Endposition]{satz:binomialverteilung}
	Die Zufallsvariable $S_n$, ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$. 
	Daher gilt $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
\end{satz}
\begin{proof}
	Nach \cref{def:galton} und \cref{def:Sn} ist $S_n$ die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen $X_i \sim \mathcal{B}_p$. Also stellt $S_n$ die Anzahl der Erfolge von n-Wiederholungen von unabhängigen identisch Bernoulli-verteilten Zufallsexperimenten dar.
	%Ref Cosi
	Daraus folgt, dass das Galton-Brett mit der Zufallsvariable $S_n$ eine Binomialmodell darstellt und somit die Binomialverteilung nach Definition eine Zähldichte definiert. Daher gilt: $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$
\end{proof}
Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkennen, dass bei $n\rightarrow\infty$ Kugeln sich die Verteilung der Kugeln in der Auffangung der Verteilung der Glockenkurve der Normalverteilung annähert. %"Verteilung" Fachlick Korrekt?
\begin{satz}[Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace]{satz:moivrelaplace}
	Sei $S_n \sim \mathcal{B}in_{n,p}$ die Anzahl der Erfolge bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in (0, 1)$ und sei $q = 1-p$. Für große $n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass $S_n$ genau den Wert $k$ annimmt, durch die Dichtefunktion der Normalverteilung annähern:
	\[
	P(S_n = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} \exp\left(-\frac{(k-np)^2}{2npq}\right)
	\]
\end{satz}
\begin{proof}
	Der Beweis basiert im Wesentlichen auf drei Approximationen: Der Stirling-Formel für die Fakultäten, der Vereinfachung der Wurzelausdrücke für große $n$ sowie der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus zur Herleitung der Exponentialfunktion. Diese 3 Approximationen werden in diesem Beweis als wahr angenommen, jedoch in der Folgenden Arbeit weiter analysiert und bewiesen.
	
	\textbf{1. Anwendung der Stirling-Formel:} \\
	Wir beginnen mit der Definition der Binomialwahrscheinlichkeit:
	\[
	P(S_n = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}
	\]
	Nach \cref{satz:stirlingformel} gilt für große Zahlen näherungsweise $n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung:
	\begin{align}
			P(S_n = k) &\approx \frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{(\sqrt{2\pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k)(\sqrt{2\pi (n-k)} \left(\frac{(n-k)}{e}\right)^{(n-k)})} p^k q^{n-k} \nonumber \\
			&= \frac{n^n \sqrt{2\pi n}}{k^k \sqrt{2\pi k} (n-k)^{n-k} \sqrt{2\pi (n-k)}} p^k q^{n-k} \label{eq1:e}\\
			&= \frac{\sqrt{n} \cdot n^k \cdot n^{n-k}}{\sqrt{2\pi} \sqrt{k} \sqrt{(n-k)} k^k (n-k)^{n-k}} p^k q^{n-k} \label{eq1:aufteilen}\\
			&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{n}{k(n-k)}} \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{nq}{n-k}\right)^{n-k} \label{eq1:zusammenfassen}
	\end{align}
	Im Folgenden werden die nummerierten Schritte der Gleichungsketten erläutert:
	\begin{itemize}
		\item[(\ref{eq1:e})] Hier heben sich die $e$-Potenzen heraus, da $\left(\frac{n}{e}\right)^n = n^n \cdot e^{-n}$ sowie $e^n / (e^k e^{n-k}) = 1$ gilt.
		\item[(\ref{eq1:aufteilen})] Hier lässt sich die Gleichung intelligent aufteilen und etwas umstellen durch die Potenzgesetze, da gilt: $n^n = n^k \cdot n^{n-k}$ Außerdem lässt sich einmal $\sqrt{2\pi}$ Kürzen.
		\item[(\ref{eq1:zusammenfassen})] Ist das Resultat nach dem Sortieren der Brüche anhand der Exponenten
	\end{itemize}
	%weiter
	...
\end{proof}


% Teilsortiert:
\subsection{Taylor-Approximation}
Um eine Taylorpproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist.
\begin{lemma}{dreimalableiten}
	$f(x)=\ln(1-x)$ ist mindestens dreimal differenzierbar.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Zum Beweis berechnen wir die drei Ableitungen.
	\begin{align*}
		f'(x)&=(\ln{(1-x)})'\\
		&=\frac{1}{1-x}\cdot(1-x)'&&\text{Kettenregel}\\
		&=-\frac{1}{1-x}\\\\
		f''(x)&=(f'(x))'\\
		&=\left(-\frac{1}{1-x}\right)'\\
		&=\frac{(-1)'\cdot(1-x)-(-1)\cdot(1-x)'}{(1-x)^2}&&\text{Quotientenregel}\\
		&=\frac{(1-x)'}{(1-x)^2}&&\text{da } (-1)'\cdot(1-x)=0\\
		&=\frac{1}{(1-x)^2}\\\\
		f'''(x)&=(f''(x))'\\
		&=(\frac{1}{(1-x)^2})'\\
		&=\frac{(-1)'\cdot(1-x)^2-(-1)\cdot\left((1-x)^2\right)'}{\left((1-x)^2\right)^2}&&\text{Quotientenregel}\\
		&=\frac{\left((1-x)^2\right)'}{(1-x)^4}&&\text{da } (-1)'\cdot(1-x)^2=0\\
		&=\frac{-2\cdot(1-x)}{(1-x)^4}&&\text{Kettenregel}\\
		&=\frac{-2}{(1-x)^3}
	\end{align*}
\end{proof}
Nun haben wir nachgewiesen, dass die Funktion $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. 
\begin{bemerkung}
	Mit einem Blick auf die Funktion und wie ihre Ableitungen gebildet werden, ist leicht zu erkennen, dass $\ln(x-1)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist. 
\end{bemerkung}
Bevor wir die Approximation  nachweisen ist eine formale Definition des Satzes von Taylor und dem Taylorpolynom nötig, wobei letzteres aus dem Satz von Taylor folgt. 
\begin{satz}[Satz von Taylor\footnote{Enders, J., Analysis II (2024)}]{taylor}
	Seien $n\in\mathbb{N}_0, f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion und $x_0\in[a,b]$.
	
	Dann gilt für alle $x\in[a,b]$ die Darstellung
	\[
		f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k+R_n(x)
	\]
	Es existiert ein (von $x$ abhängiges $\xi\in I(x_0,x)$), sodass für das Lagrange-Restglied gilt:
	\[
		R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}
	\]
\end{satz}
	
\begin{bemerkung}
	Das Lagrange-Restglied ist in dein meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$.
	
	Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^n)$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algortihmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion".
	
	Die Definition des Taylorpolynoms entspringt direkt dem Satz von Taylor, nur ohne das Lagrange-Restglied.
\end{bemerkung}
\begin{definition}[Taylorpolynom]{taylorpolynom}
	\[
		T_{f,x_0,n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k
	\]	
\end{definition}
\begin{bemerkung}
	Der Satz von Taylor liefert eine lokale Approximation an eine Funktion $f$ durch das Taylorpolynom.
\end{bemerkung}
Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeigen.
\begin{lemma}
	\[
		\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)
	\]
\end{lemma}
\begin{proof}
	Zunächst ist der Definitionsbereich von $\ln(1-x)$ gleicht dem Intervall $(-\infty,1)$.
	
	Zudem ist die Funktion $\ln(1-x)$ mindestens dreimal differenzierbar. Betrachten wir $x\in(-\infty,1)$ und $x_0=0$.
	
	Das zweite Taylor-Polynom lautet
	\begin{align*}
		T_{\ln(1-x),0,2}(x)&=\sum_{k=0}^{2}\frac{1}{k!}\cdot (\ln(1-x_0))^{(k)}(x-x_0)^k\\
		&=\frac{1}{0!}\cdot\ln(1)\cdot 1+\frac{1}{1!}\cdot(\ln(1))^{(1)}\cdot x+\frac{1}{2!}\cdot(\ln(1))^{(2)}\cdot x^2&&\text{\cref{lem:dreimalableiten}}\\
		&=0+1\cdot(-1)\cdot x+\frac{1}{2}\cdot(-1)\cdot x^2\\
		&=-x-\frac{x^2}{2}
	\end{align*}
	Aus dem Satz von Taylor (\cref{satz:taylor}) folgt somit:
	\begin{align*}
		\ln(1-x)&=-x-\frac{x^2}{2}+R_2(x)
	\end{align*}
	wobei das Lagrange-Restglied etwa $R_2(x)\approx O(x^3)$, denn
	\begin{align*}
		R_2(x)&=\frac{1}{(2+1)!}\cdot(\ln(1-\xi))^{(2+1)}\cdot(x-0)^{(2+1)}\\
		&=-\frac{1}{3(1-\xi)^3}\cdot x^3\quad\text{für ein }\xi\in(0,x)&&\text{\cref{lem:dreimalableiten}}\\
	\end{align*}
	wobei nach der Landau-Notation gilt: $a\cdot x^n+b\in O(x^n)$
	\[
		\Rightarrow\quad \frac{1}{3(1-\xi)^3}\cdot x^3\in O(x^3),
	\]
	da $\frac{1}{3(1-\xi)^3}$ konstant für ein $\xi$ im Intervall.
	
	Da $\xi$ variabel ist (also von $x$ abhängt), steht $O(x^3)$ stellvertretend für ein gut passendes Polynom vom Grad 3.
	\[
		\Rightarrow\quad\ln(1-x)\approx -x -\frac{x^2}{2}+O(x^3)
	\]
\end{proof}
\begin{bemerkung}
	Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben. Da auch in abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. 
\end{bemerkung}
Im Plot können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x_0=0$ herum sehr ähnlich sind. 
\begin{figure}[H]
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}[
			domain=-2.95:2.95,
			samples=400,
			axis lines=middle,
			axis equal,
			xmin=-3,
			xmax=3,
			ymin=-3.5,
			ymax=3.5,
			xtick distance=1,
			ytick distance=1,
			legend pos=south west,
			grid=both
			]
			% ln(1-x)
			\addplot[blue, thick] {ln(1-x)};
			\addlegendentry{$\ln(1-x)$}
			
			% Näherung -x - x^2/2
			\addplot[red, thick, dashed] {-x - x^2/2};
			\addlegendentry{$-x-\frac{x^2}{2}$}
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}
	\caption{Darstellung der Funktionen $\ln(1-x)$ und $-x-\frac{x^2}{2}$}
\end{figure}
Würden wir die Entwicklung weiterführen, approximiert die violette Funktion (unser Taylorpolynom) die orangene Funktion $(\ln(1-x))$ immer weiter. Graphisch lässt sich erkennen, dass für Werte im Intervall $I(-0.5,0.5)$ die Funktion $\ln(1-x) \approx -x\frac{-x}{2}$ plus ein kleiner Fehler ist.
\subsection{Gamma-Funktion}
% wird für Beweis der Stirling-Approximation gebraucht
Zum nachfolgenden Betrachtung und des Beweises der Stirling-Approximation betrachten wir nun die Gamma-Funktion, auch \textbf{Eulersches Integral zweiter Gattung} genannt. Sie erweitert die Fakultätsfunktion von den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ auf reelle und komplexe Zahlen (mit einigen Ausnahmen). Hier betrachten wir der Einfachheit halber nur die Gamma-Funktion in $\mathbb{R}$.
\begin{definition}[Gamma-Funktion]{gammafunktion}
	Sei $x>0\in\mathbb{R}$, dann ist die \textbf{Gamma-Funktion} definiert durch
	\begin{align*}
		\Gamma(x):\mathbb{R^+}&\rightarrow\mathbb{R}\\
		x&\mapsto\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
	\end{align*}
\end{definition}

Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$:
\begin{satz}[Vergleich mit der Fakultät]{fakultaetgammafunktion}
	Für $n\in\mathbb{N}$ gilt:
	\[
		\Gamma(n+1)=n!
	\]
\end{satz}

\subsection{Stirling-Approximation}
\begin{satz}[Stirlingformel]{stirlingformel}
	Für $n\mapsto\infty$ gilt nach \textsc{Stirlings} Approximation, dass
	\[
		n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
	\]
	Das bedeutet
	\[
		\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}=1
	\]
\end{satz}
\begin{proof}
	Der Ausgangspunkt ist die nach \cref{def:gammafunktion} definierte \textbf{Gamma-Funktion}
	\[
		\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt
	\]
	Wir schreiben den Integranden als Exponentialfunktion, dann haben wir 
	\[
		t^{x-1}e^{-t} = \exp((x-1)\ln t-t)
	\]
	also ist
	\[
	\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}\exp((x-1)\ln t-t) dt
	\]
	Setze $t=xu$ und $f(u)=\ln u - u$, dann erhalten wir
	\begin{align}
		\Gamma(x)&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-xu} du\\
		&=x^x\cdot\int_{0}^{\infty}\exp(x(\ln u-u)) du\\
		&=x^x\cdot \int_{0}^{\infty} e^{xf(u)}du
	\end{align}
	
	Für große \(x\) wird das Integral durch die Umgebung des kritischen Punktes von \(f\) dominiert. Diese erhält man aus
	\[
	f'(u)=\frac{1}{u}-1=0 \quad \Rightarrow \quad u=1.
	\]
	
	Weiter gilt
	\[
	f''(u)=-\frac{1}{u^2}, \quad \text{also } f''(1)=-1.
	\]
	
	Damit besitzt \(f\) bei \(u=1\) einen stationären Punkt, und wir entwickeln \(f\) dort bis zur zweiten Ordnung:
	\[
	f(u)\approx f(1)+\frac{f''(1)}{2}(u-1)^2
	= -1 - \frac{(u-1)^2}{2}.
	\]
	
	Einsetzen liefert die lokale Approximation
	\[
	\Gamma(x)\approx x^x e^{-x}\cdot\int_0^\infty \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du.
	\]
	
	Da der Hauptbeitrag aus einer Umgebung von $u=1$ stammt, kann das Integral asymptotisch auf $\mathbb{R}$ erweitert werden.
	\[
	\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{x}{2}(u-1)^2\right)\,du
	= \sqrt{\frac{2\pi}{x}}.
	\]
	
	Damit erhält man
	\[
	\Gamma(x)\sim \sqrt{2\pi}\, x^{x-\frac12} e^{-x}.
	\]

\end{proof}



