From cb5d94c7df249ac095c8e502d0373998e9d2420c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Elias Fierke Date: Tue, 2 Jun 2026 11:15:54 +0200 Subject: [PATCH] cnt: Gamma-Funktion initialisiert --- content/Mathematischer_Hintergrund.tex | 16 ++++++++++++++++ 1 file changed, 16 insertions(+) diff --git a/content/Mathematischer_Hintergrund.tex b/content/Mathematischer_Hintergrund.tex index 65fafa3..4ba2d79 100644 --- a/content/Mathematischer_Hintergrund.tex +++ b/content/Mathematischer_Hintergrund.tex @@ -68,6 +68,22 @@ Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkenne % Teilsortiert: \subsection{Gamma-Funktion} % wird für Beweis der Stirling-Approximation gebraucht +Zum nachfolgenden Betrachtung und des Beweises der Stirling-Approximation betrachten wir nun die Gamma-Funktion, auch \textbf{Eulersches Integral zweiter Gattung} genannt. Sie erweitert die Fakultätsfunktion von den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ auf reelle und komplexe Zahlen (mit einigen Ausnahmen). Hier betrachten wir der Einfachheit halber nur die Gamma-Funktion in $\mathbb{R}$. +\begin{definition}[Gamma-Funktion]{def:gammafunktion} + Sei $x>0\in\mathbb{R}$, dann ist die \textbf{Gamma-Funktion} definiert durch + \begin{align*} + \Gamma(x):\mathbb{R^+}&\rightarrow\mathbb{R}\\ + x&\mapsto\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t} dt + \end{align*} +\end{definition} + +Die Gamma-Funktion berechnet wie folgt die Fakultät in $\mathbb{N}$: +\begin{satz}[Vergleich mit der Fakultät]{satz:fakultaetgammafunktion} + Für $n\in\mathbb{N}$ gilt: + \[ + \Gamma(n+1)=n! + \] +\end{satz} \subsection{Stirling-Approximation} \begin{satz}[Stirlingformel]{satz:stirlingformel}