From 2c05b9ff88c76a9787c6261fcca95f348862ff0e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Elias Fierke Date: Wed, 3 Jun 2026 15:08:00 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?cnt:=20Taylor-Approximation=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- content/Mathematischer_Hintergrund.tex | 129 +++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 129 insertions(+) diff --git a/content/Mathematischer_Hintergrund.tex b/content/Mathematischer_Hintergrund.tex index 8309732..921acc5 100644 --- a/content/Mathematischer_Hintergrund.tex +++ b/content/Mathematischer_Hintergrund.tex @@ -66,6 +66,135 @@ Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkenne % Teilsortiert: +\subsection{Taylor-Approximation} +Um eine Taylorpproximation für eine Funktion zu finden, müssen wir zunächst nachweisen, dass die Funktion die wir approximieren wollen, $(n+1)$-mal differenzierbar ist. Da wir unsere Approximation nach dem quadratischen Term abbrechen werden genügt es zu zeigen, dass $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. +\begin{lemma}{dreimalableiten} + $f(x)=\ln(1-x)$ ist mindestens dreimal differenzierbar. +\end{lemma} +\begin{proof} + Zum Beweis berechnen wir die drei Ableitungen. + \begin{align*} + f'(x)&=(\ln{(1-x)})'\\ + &=\frac{1}{1-x}\cdot(1-x)'&&\text{Kettenregel}\\ + &=-\frac{1}{1-x}\\\\ + f''(x)&=(f'(x))'\\ + &=\left(-\frac{1}{1-x}\right)'\\ + &=\frac{(-1)'\cdot(1-x)-(-1)\cdot(1-x)'}{(1-x)^2}&&\text{Quotientenregel}\\ + &=\frac{(1-x)'}{(1-x)^2}&&\text{da } (-1)'\cdot(1-x)=0\\ + &=\frac{1}{(1-x)^2}\\\\ + f'''(x)&=(f''(x))'\\ + &=(\frac{1}{(1-x)^2})'\\ + &=\frac{(-1)'\cdot(1-x)^2-(-1)\cdot\left((1-x)^2\right)'}{\left((1-x)^2\right)^2}&&\text{Quotientenregel}\\ + &=\frac{\left((1-x)^2\right)'}{(1-x)^4}&&\text{da } (-1)'\cdot(1-x)^2=0\\ + &=\frac{-2\cdot(1-x)}{(1-x)^4}&&\text{Kettenregel}\\ + &=\frac{-2}{(1-x)^3} + \end{align*} +\end{proof} +Nun haben wir nachgewiesen, dass die Funktion $\ln(1-x)$ dreimal differenzierbar ist. +\begin{bemerkung} + Mit einem Blick auf die Funktion und wie ihre Ableitungen gebildet werden, ist leicht zu erkennen, dass $\ln(x-1)$ sogar unendlich oft differenzierbar ist. +\end{bemerkung} +Bevor wir die Approximation nachweisen ist eine formale Definition des Satzes von Taylor und dem Taylorpolynom nötig, wobei letzteres aus dem Satz von Taylor folgt. +\begin{satz}[Satz von Taylor\footnote{Enders, J., Analysis II (2024)}]{taylor} + Seien $n\in\mathbb{N}_0, f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion und $x_0\in[a,b]$. + + Dann gilt für alle $x\in[a,b]$ die Darstellung + \[ + f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k+R_n(x) + \] + Es existiert ein (von $x$ abhängiges $\xi\in I(x_0,x)$), sodass für das Lagrange-Restglied gilt: + \[ + R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1} + \] +\end{satz} + +\begin{bemerkung} + Das Lagrange-Restglied ist in dein meisten Fällen eine Funktion vom Grad $n+1$, aufgrund des letzten Faktors. Es kann aber auch sein, dass das Lagrange-Restglied das Nullpolynom ist, je nach Wahl von $\xi$ und der Auswertung von der $n$-ten Ableitung von $f$ an der Stelle $\xi$. + + Dadurch können wir das Restglied auch auffassen als ein Element von $O(x^n)$. Nach der Definition der Landaunotation gilt: für alle $a,b in \mathbb{R}: a*x^n +b$ liegt in $O(x^n)$. Man kann somit das Landausymbol $O$ als Ansammlung von Funktionen verstehen. Interessanterweise gilt auch eine Relation zwischen den einzelnen "Landaumengen". Für alle $n$ in $\mathbb{N}: O(x^n)$ ist in $O(x^{n+1})$. In der Informatik wird diese Notation genutzt, um asymptotische Verhalten von beispielsweise Laufzeiten zu beschreiben. "Algortihmus A braucht asymptotisch so viel Zeit in Abhängigkeit von der Eingabe, wie eine $x^n$-Funktion". + + Die Definition des Taylorpolynoms entspringt direkt dem Satz von Taylor, nur ohne das Lagrange-Restglied. +\end{bemerkung} +\begin{definition}[Taylorpolynom]{taylorpolynom} + \[ + T_{f,x_0,n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k + \] +\end{definition} +\begin{bemerkung} + Der Satz von Taylor liefert eine lokale Approximation an eine Funktion $f$ durch das Taylorpolynom. +\end{bemerkung} +Nun können wir unsere Approximation von $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ zeigen. +\begin{lemma} + \[ + \ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3) + \] +\end{lemma} +\begin{proof} + Zunächst ist der Definitionsbereich von $\ln(1-x)$ gleicht dem Intervall $(-\infty,1)$. + + Zudem ist die Funktion $\ln(1-x)$ mindestens dreimal differenzierbar. Betrachten wir $x\in(-\infty,1)$ und $x_0=0$. + + Das zweite Taylor-Polynom lautet + \begin{align*} + T_{\ln(1-x),0,2}(x)&=\sum_{k=0}^{2}\frac{1}{k!}\cdot (\ln(1-x_0))^{(k)}(x-x_0)^k\\ + &=\frac{1}{0!}\cdot\ln(1)\cdot 1+\frac{1}{1!}\cdot(\ln(1))^{(1)}\cdot x+\frac{1}{2!}\cdot(\ln(1))^{(2)}\cdot x^2&&\text{\cref{lem:dreimalableiten}}\\ + &=0+1\cdot(-1)\cdot x+\frac{1}{2}\cdot(-1)\cdot x^2\\ + &=-x-\frac{x^2}{2} + \end{align*} + Aus dem Satz von Taylor (\cref{satz:taylor}) folgt somit: + \begin{align*} + \ln(1-x)&=-x-\frac{x^2}{2}+R_2(x) + \end{align*} + wobei das Lagrange-Restglied etwa $R_2(x)\approx O(x^3)$, denn + \begin{align*} + R_2(x)&=\frac{1}{(2+1)!}\cdot(\ln(1-\xi))^{(2+1)}\cdot(x-0)^{(2+1)}\\ + &=-\frac{1}{3(1-\xi)^3}\cdot x^3\quad\text{für ein }\xi\in(0,x)&&\text{\cref{lem:dreimalableiten}}\\ + \end{align*} + wobei nach der Landau-Notation gilt: $a\cdot x^n+b\in O(x^n)$ + \[ + \Rightarrow\quad \frac{1}{3(1-\xi)^3}\cdot x^3\in O(x^3), + \] + da $\frac{1}{3(1-\xi)^3}$ konstant für ein $\xi$ im Intervall. + + Da $\xi$ variabel ist (also von $x$ abhängt), steht $O(x^3)$ stellvertretend für ein gut passendes Polynom vom Grad 3. + \[ + \Rightarrow\quad\ln(1-x)\approx -x -\frac{x^2}{2}+O(x^3) + \] +\end{proof} +\begin{bemerkung} + Aus der Definition folgt die Gleichheit beider Funktionen, aber genauer betrachtet kann die ln-Funktion nicht durch ein Polynom dargestellt werden. Es wird immer einen gewissen Fehler geben. Da auch in abhängigkeit von $x$ das $\xi$ gewählt wird, handelt es sich bei dem Lagrange-Restglied nicht um ein Polynom, weil es sich dynamisch verändert. + + Wenn wir uns beide Funktionen einmal in GeoGebra plotten, können wir sehen, dass beide Funktionen um unsere Entwicklungsstelle $x_0=0$ herum sehr ähnlich sind. +\end{bemerkung} +\begin{figure}[H] + \centering + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + domain=-2.95:2.95, + samples=400, + axis lines=middle, + axis equal, + xmin=-3, + xmax=3, + ymin=-3.5, + ymax=3.5, + xtick distance=1, + ytick distance=1, + legend pos=south west, + grid=both + ] + % ln(1-x) + \addplot[blue, thick] {ln(1-x)}; + \addlegendentry{$\ln(1-x)$} + + % Näherung -x - x^2/2 + \addplot[red, thick, dashed] {-x - x^2/2}; + \addlegendentry{$-x-\frac{x^2}{2}$} + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \caption{Darstellung der Funktionen $\ln(1-x)$ und $-x-\frac{x^2}{2}$} +\end{figure} +Würden wir die Entwicklung weiterführen, approximiert die violette Funktion (unser Taylorpolynom) die orangene Funktion $(\ln(1-x))$ immer weiter. Graphisch lässt sich erkennen, dass für Werte im Intervall $I(-0.5,0.5)$ die Funktion $\ln(1-x) \approx -x\frac{-x}{2}$ plus ein kleiner Fehler ist. \subsection{Gamma-Funktion} % wird für Beweis der Stirling-Approximation gebraucht Zum nachfolgenden Betrachtung und des Beweises der Stirling-Approximation betrachten wir nun die Gamma-Funktion, auch \textbf{Eulersches Integral zweiter Gattung} genannt. Sie erweitert die Fakultätsfunktion von den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ auf reelle und komplexe Zahlen (mit einigen Ausnahmen). Hier betrachten wir der Einfachheit halber nur die Gamma-Funktion in $\mathbb{R}$.