diff --git a/content/Mathematischer_Hintergrund.tex b/content/Mathematischer_Hintergrund.tex index 43136b8..7b38538 100644 --- a/content/Mathematischer_Hintergrund.tex +++ b/content/Mathematischer_Hintergrund.tex @@ -47,7 +47,7 @@ Anhand des Galton-Brettes lässt sich nun wie bereits beschrieben leicht erkenne \[ P(S_n = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} \] - Nach der Stirling-Formel gilt für große Zahlen näherungsweise $n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung: + Nach \cref{satz:stirlingformel} gilt für große Zahlen näherungsweise $n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ersetzen wir $n!, k!$ und $(n-k)!$ durch diese Näherung: \begin{align} P(S_n = k) &\approx \frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{(\sqrt{2\pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k)(\sqrt{2\pi (n-k)} \left(\frac{(n-k)}{e}\right)^{(n-k)})} p^k q^{n-k} \nonumber \\ &= \frac{n^n \sqrt{2\pi n}}{k^k \sqrt{2\pi k} (n-k)^{n-k} \sqrt{2\pi (n-k)}} p^k q^{n-k} \label{eq1:e}\\