\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage{amssymb}
\usepackage{caption}
\usepackage[headsepline, footsepline]{scrlayer-scrpage}
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\usepackage{float}
\usepackage{ifthen}
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\usepackage[]{mathbbol}
\usepackage{multicol}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[hidelinks]{hyperref}
\usepackage[]{circuitikz}
\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
\usetikzlibrary{circuits.logic.IEC}
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\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-graph}
\usepackage{listings}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{setspace}
\usepackage{letltxmacro}
\usepackage{wrapfig}

\usetikzlibrary{calc}

\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}

\newcommand{\bpf}[1]{%
	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
	\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
	\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
}



\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
\renewcommand{\figurename}{Grafik}
\renewcommand{\partname}{Teil}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}

\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}

% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
\newcounter{commoncounter}[subsection]
\renewcommand{\thecommoncounter}{\thesection.\arabic{commoncounter}}

\usepackage{xparse}

\newcommand{\answer}[1]{%
	\ifhmode\newline\newline\fi
	\foreach \n in {1,...,#1}{\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\vspace{1em}}
}


\newcommand{\currentsection}{}
\newcommand{\currentsubsection}{}

\LetLtxMacro{\oldsection}{\section}
\LetLtxMacro{\oldsubsection}{\subsection}

\RenewDocumentCommand{\section}{s o m}{%
	\IfBooleanTF{#1}%
	{ \oldsection*{#3} }% Stern-Variante → unverändert
	{%
		\IfValueTF{#2}%
		{ \oldsection[#2]{#3} }% Optionales TOC-Argument
		{ \oldsection{#3} }%
		\renewcommand{\currentsection}{#3}%
	}%
}

\RenewDocumentCommand{\subsection}{s o m}{%
	\IfBooleanTF{#1}%
	{ \oldsubsection*{#3} }%
	{%
		\IfValueTF{#2}%
		{ \oldsubsection[#2]{#3} }%
		{ \oldsubsection{#3} }%
		\renewcommand{\currentsubsection}{#3}%
	}%
}



% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
\AtBeginDocument{\setcounter{commoncounter}{0}}

% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
\newtcolorbox{definitionbox}[1][]{
	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
	title={Definition \thecommoncounter: #1},
	colback=white,
	colframe=white!75!darkgrey,
	fonttitle=\bfseries,
	boxrule=0.6mm,
	coltitle=black,
	rounded corners,
	before skip=10pt,
	after skip=10pt
}

\newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
%	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
	title={Zusatzaufgabe: #1},
	colback=white,
	colframe=white!75!red,
	fonttitle=\bfseries,
	boxrule=0.6mm,
	coltitle=black,
	rounded corners,
	before skip=10pt,
	after skip=10pt
}

\newtcolorbox{merkbox}[1][]{
	title={Merken: #1},
	colback=white,
	colframe=white!75!red,
	fonttitle=\bfseries,
	boxrule=0.6mm,
	coltitle=black,
	rounded corners,
	before skip=10pt,
	after skip=10pt
}



\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
\definecolor{codeblue}{rgb}{0,0,0.8}
\definecolor{codered}{rgb}{0.8,0,0}
\definecolor{lightgray}{rgb}{0.95,0.95,0.95}

\lstdefinestyle{CStyle}{
	language=C,
	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
	keywordstyle=\color{blue}\bfseries, % Schlüsselwörter fett und blau
	stringstyle=\color{red}, % Strings rot
	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
	numbers=left, % Zeilennummern links
	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
	numberstyle=\color{gray}\texttt,
	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
	frame=single, % Rahmen um den Code
	tabsize=4, % Tabulatorgröße
	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
	captionpos=below,
	showstringspaces=false,
	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
}


\lstdefinestyle{ShellStyle}{
	language=Bash,
	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
	keywordstyle=\color{black}, % Schlüsselwörter fett und blau
	stringstyle=\color{black}, % Strings rot
	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
	numbers=left, % Zeilennummern links
	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
	numberstyle=\color{gray}\texttt,
	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
	frame=single, % Rahmen um den Code
	tabsize=4, % Tabulatorgröße
	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
	captionpos=below,
	showstringspaces=false,
	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
}


% Umgebung für Listings mit Titel und Zähler
\newenvironment{codeexample}[1][]{
	\refstepcounter{commoncounter} % Zähler erhöhen
	\lstset{
		style=CSharpStyle,
		caption={Listing \thecommoncounter: #1}, % Titel mit Zähler
		label={listing:\thecommoncounter}
	}
}{}

\makeatletter
% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
\let\c@subsubsection\c@commoncounter

% Anzeige der Nummer angleichen
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
\makeatother

\setlength{\parindent}{0pt}



\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
\newcommand{\curtitle}{Galton X Pascal}

\title{\curtitle}
\author{Fierke, Janik, Weidlich}
\pagestyle{scrheadings}
\date{\curdate}
\begin{document}
	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
	
	\section{\curtitle}
	\begin{figure}[H]
		\centering
		% Erstes Bild
		\begin{minipage}[t]{0.7\textwidth}
			\centering
			Im Stochastik Unterricht ist dir sicherlich schon einmal die 
			Formel des Binomialkoeffizienten (Abb. \ref{fig:bino}) begegnet. 
			\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
				Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen.
			\end{definitionbox}
		\end{minipage}
		\hfill
		% Zweites Bild
		\begin{minipage}[t]{0.25\textwidth}
			\centering
			\[
			\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
			\]
			\caption{Formel Binomialkoeffizienten}
			\label{fig:bino}
		\end{minipage}
	\end{figure}
	
	
	
	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
	
	
	Zum Warmwerden berechnen wir:
	\begin{multicols}{3}
		$\binom{3}{0}=$ \hrulefill\\\\
		$\binom{3}{3}=$ \hrulefill\\\\
		$\binom{7}{3}=$ \hrulefill\\\\
		
		$\binom{5}{0}=$ \hrulefill\\\\
		$\binom{5}{5}=$ \hrulefill\\\\
		$\binom{4}{2}=$ \hrulefill\\\\
		
		$\binom{n}{0}=$ \hrulefill { }für $n\in\mathbb{N}$\\\\		
		$\binom{n}{n}=$ \hrulefill { }für $n\in\mathbb{N}$\\\\
		
	\end{multicols}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Berechne nun nach folgender Regel:
		\begin{center}
			\textit{Die Summe des Steins ist die Summe der darüberliegenden Steine. }
		\end{center}
		\begin{figure}[!ht]
			\centering
			\begin{circuitikz}[x=0.8cm,y=0.8cm]
				
				% oberste Reihe
				\draw[dashed,gray!60] (8.875,16.25) rectangle (10.25,14.875);
				\node[text=gray!60] at (9.55,15.5625) {0};
				
				\draw (10.25,16.25) rectangle (13,14.875);
				\node[anchor=center] at (11.6,15.5625) {1};
				
				\draw[dashed,gray!60] (13,16.25) rectangle (14.375,14.875);
				\node[text=gray!60] at (13.75,15.5625) {0};
				
				% zweite Reihe
				\draw[dashed,gray!60] (7.5,14.875) rectangle (8.875,13.5);
				\node[text=gray!60] at (8.175,14.1875) {0};
				
				\draw (8.875,14.875) rectangle (11.625,13.5);
				
				\draw (11.625,14.875) rectangle (14.375,13.5);
				
				\draw[dashed,gray!60] (14.375,14.875) rectangle (15.75,13.5);
				\node[text=gray!60] at (15,14.1875) {0};
				
				% dritte Reihe
				\draw[dashed,gray!60] (6.125,13.5) rectangle (7.5,12.125);
				\node[text=gray!60] at (6.8,12.8125) {0};
				
				\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
				
				\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
				
				\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
				
				\draw[dashed,gray!60] (15.75,13.5) rectangle (17.125,12.125);
				\node[text=gray!60] at (16.375,12.8125) {0};
				
				% unterste Reihe
				\draw[dashed,gray!60] (4.75,12.125) rectangle (6.125,10.75);
				\node[text=gray!60] at (5.425,11.4375) {0};
				
				\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
				
				\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
				
				\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
				
				\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
				
				\draw[dashed,gray!60] (17.125,12.125) rectangle (18.5,10.75);
				\node[text=gray!60] at (17.875,11.4375) {0};
				
			\end{circuitikz}
		\end{figure}
		
		\item Berechne die Steine der Pyramide:
			\begin{figure}[!ht]
				\centering
				\begin{circuitikz}[x=0.8cm,y=0.8cm]
					
					\draw (10.25,16.25) rectangle (13,14.875);
					\node at (10.875,15.5625) {$\binom{0}{0}=$};
					
					\draw (8.875,14.875) rectangle (11.625,13.5);
					\node at (9.5,14.1875) {$\binom{1}{0}=$};
					
					\draw (11.625,14.875) rectangle (14.375,13.5);
					\node at (12.25,14.1875) {$\binom{1}{1}=$};
					
					\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
					\node at (10.875,12.8125) {$\binom{2}{0}=$};
					
					\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
					\node at (8.125,12.8125) {$\binom{2}{1}=$};
					
					\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
					\node at (13.625,12.8125) {$\binom{2}{2}=$};
					
					\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
					\node at (12.25,11.4375) {$\binom{3}{0}=$};
					
					\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
					\node at (9.5,11.4375) {$\binom{3}{1}=$};
					
					\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
					\node at (6.75,11.4375) {$\binom{3}{2}=$};
					
					\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
					\node at (15,11.4375) {$\binom{3}{3}=$};
				\end{circuitikz}
			\end{figure}
	\end{enumerate}
	\begin{extrataskbox}
		Entwirf einen Computeralgorithmus, der den Binomialkoeffizienten berechnet, ohne dass dieser die Fakultät benutzt!
	\end{extrataskbox}
	
	\noindent
	\begin{minipage}[t]{0.62\textwidth}\vspace{0pt}
		\begin{definitionbox}[Galtonbrett]
			Das \textbf{Galtonbrett} ist ein mechanisches Demonstrationsgerät aus der Stochstik, bei welchem kleine Kugeln auf horizontal und dreieckig angeordnete Stäbchen fallen gelassen wird (hier zweidimenional von vorne dargestellt). Bei jedem Aufprall auf ein Stäbchen teilt sich ihr Weg: entweder nach links, oder nach rechts.	
		\end{definitionbox}
	\end{minipage}
    \hfill
	\begin{minipage}[t]{0.33\textwidth}\vspace{0pt}
		\centering
		\includegraphics[width=0.8\linewidth]{galtonbrett}
		\captionof{figure}{}
		\label{fig:galtonbrett}
	\end{minipage}

	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item Zeichne in das Galtonbrett alle Wege ein, die eine Murmel nehmen kann, wenn sie auf den obersten Stab fallen gelassen wird. Inwiefern unterscheiden sich beide Galtonbretter?\\
		\begin{multicols}{2}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				% Definition der Reihen
				\def\rows{3}
				
				% Zähler für die Beschriftung
				\newcounter{labelcount}
				
				% Fächer (Bins) am unteren Ende basierend auf der Reihenanzahl
				\foreach \i in {0,...,\rows} {
					\pgfmathsetmacro{\xpos}{\i * 2 - \rows}
					\draw[thick] (\xpos - 0.4, -\rows - 1.5) rectangle (\xpos + 0.4, -\rows - 0.2);
					\node at (\xpos, -\rows - 1.8) {\i};
				}
				
				% Dreieckiges Nagelbrett
				\foreach \y in {0,...,\rows} {
					\foreach \x in {0,...,\y} {
						\pgfmathsetmacro{\coordx}{2 * \x - \y}
						
						% Nagel zeichnen
						% Nagel nur bis zur vorletzten Reihe zeichnen
						\ifnum \y < \rows
						\filldraw[black] (\coordx, -\y) circle (2.5pt);
						
						% Erste fünf Nägel mit a,b,c,d,e beschriften
						%\stepcounter{labelcount}
						%\ifnum\value{labelcount}<11
						%\node[anchor=south east] at (\coordx-0.16,-\y-0.3)
						%{\alph{labelcount}};
						%\fi
						\fi
						
						% Wege nach unten zeichnen (auch von der letzten Reihe aus nicht nötig,
						% daher weiterhin nur bis zur vorletzten Reihe)
%						\ifnum \y < \rows
%						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx - 1, -\y - 1);
%						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx + 1, -\y - 1);
%						\fi

						%Beispiel einzeichnen: left left left
						\draw[gray, thin] (0, 0) -- node[above left] {l} (-1,- 1) -- node[above left] {l} (-2,-2) -- node[above left] {l} (-3,-3);
						\draw[gray, thin] (-2, -2) -- node[above right] {r} (-1,-3);
					}
				}
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				% Definition der Reihen
				\def\rows{4}
				
				% Zähler für die Beschriftung
				\newcounter{labelcountzwo}
				
				% Fächer (Bins) am unteren Ende basierend auf der Reihenanzahl
				\foreach \i in {0,...,\rows} {
					\pgfmathsetmacro{\xpos}{\i * 2 - \rows}
					\draw[thick] (\xpos - 0.4, -\rows - 1.5) rectangle (\xpos + 0.4, -\rows - 0.2);
					\node at (\xpos, -\rows - 1.8) {\i};
				}
				
				% Dreieckiges Nagelbrett
				\foreach \y in {0,...,\rows} {
					\foreach \x in {0,...,\y} {
						\pgfmathsetmacro{\coordx}{2 * \x - \y}
						
						% Nagel zeichnen
						% Nagel nur bis zur vorletzten Reihe zeichnen
						\ifnum \y < \rows
						\filldraw[black] (\coordx, -\y) circle (2.5pt);
						
						% Erste fünf Nägel mit a,b,c,d,e beschriften
						%\stepcounter{labelcountzwo}
						%\ifnum\value{labelcountzwo}<11
						%\node[anchor=south east] at (\coordx-0.16,-\y-0.3)
						%{\alph{labelcountzwo}};
						%\fi
						\fi
						
						% Wege nach unten zeichnen (auch von der letzten Reihe aus nicht nötig,
						% daher weiterhin nur bis zur vorletzten Reihe)
%						\ifnum \y < \rows
%						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx - 1, -\y - 1);
%						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx + 1, -\y - 1);
%						\fi
					}
				}
			\end{tikzpicture}
		\end{multicols}
		
		\item Zähle nun die verschiedenen Pfade, die eine Murmel nehmen kann, sodass sie in den darunterliegenden Fächern landet.
		\scriptsize(Hinweis: Nutze die Beschreibung, dass eine Kugel immer nur  nach rechts (r) oder links (l) fallen kann und schreibe das in Mengenschreibweise, sodass du keinen Pfad vergisst.) \normalsize \\
		Bsp: Fach 0: $A_0=\{(L,L,L)\} \Rightarrow \text{Pfade}_0=|A_0|=2$
		\vspace{85pt}
		
		\item Dir ist sicherlich schon aufgefallen, dass die meisten Pfade in die Mitte führen. Untersuche nun die Anzahl der Pfade zu jedem der Stäbchen und vergleiche diese mit dem Pascalschen Dreieck. Was fällt dir auf? 
		\vspace{85pt}
		
		\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariabel $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?
	\end{enumerate}
	
	\label{LastPage}
\end{document}
