\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage{amssymb}
\usepackage{caption}
\usepackage[headsepline, footsepline]{scrlayer-scrpage}
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\usepackage{dsfont}
\usepackage{float}
\usepackage{ifthen}
\usepackage[]{mathtools}
\usepackage[]{mathbbol}
\usepackage{multicol}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[hidelinks]{hyperref}
\usepackage[]{circuitikz}
\usepackage{tcolorbox} % Für schöne Boxen
\usetikzlibrary{circuits.logic.IEC}
\usepackage{tabularray}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-graph}
\usepackage{listings}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{setspace}
\usepackage{letltxmacro}
\usepackage{wrapfig}

\usetikzlibrary{calc}

\setlist{itemsep=0.3em, topsep=0.5em, parsep=0pt}

\newcommand{\bpf}[1]{%
	\par\vspace{0.8\baselineskip}% Abstand vor der Überschrift
	\noindent\textbf{#1}% Fettgedruckte Überschrift
	\par\vspace{0.3\baselineskip}% Abstand nach der Überschrift
}



\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
\renewcommand{\figurename}{Grafik}
\renewcommand{\partname}{Teil}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}

\definecolor{darkgrey}{HTML}{232327}

% Zählerdefinition mit AUTOMATISCHEM SUBSECTION-RESET
\newcounter{commoncounter}[subsection]
\renewcommand{\thecommoncounter}{\thesection.\arabic{commoncounter}}

\usepackage{xparse}

\newcommand{\answer}[1]{%
	\ifhmode\newline\newline\fi
	\foreach \n in {1,...,#1}{\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\vspace{1em}}
}


\newcommand{\currentsection}{}
\newcommand{\currentsubsection}{}

\LetLtxMacro{\oldsection}{\section}
\LetLtxMacro{\oldsubsection}{\subsection}

\RenewDocumentCommand{\section}{s o m}{%
	\IfBooleanTF{#1}%
	{ \oldsection*{#3} }% Stern-Variante → unverändert
	{%
		\IfValueTF{#2}%
		{ \oldsection[#2]{#3} }% Optionales TOC-Argument
		{ \oldsection{#3} }%
		\renewcommand{\currentsection}{#3}%
	}%
}

\RenewDocumentCommand{\subsection}{s o m}{%
	\IfBooleanTF{#1}%
	{ \oldsubsection*{#3} }%
	{%
		\IfValueTF{#2}%
		{ \oldsubsection[#2]{#3} }%
		{ \oldsubsection{#3} }%
		\renewcommand{\currentsubsection}{#3}%
	}%
}



% Zähler direkt bei Dokumentstart initialisieren
\AtBeginDocument{\setcounter{commoncounter}{0}}

% BOX-DEFINITIONEN mit korrigierter Zählerlogik
\newtcolorbox{definitionbox}[1][]{
	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
	title={Definition \thecommoncounter: #1},
	colback=white,
	colframe=white!75!darkgrey,
	fonttitle=\bfseries,
	boxrule=0.6mm,
	coltitle=black,
	rounded corners,
	before skip=10pt,
	after skip=10pt
}

\newtcolorbox{extrataskbox}[1][]{
	before title={\refstepcounter{commoncounter}}, % KRITISCH: vor dem Titel!
	title={Zusatzaufgabe: #1},
	colback=white,
	colframe=white!75!red,
	fonttitle=\bfseries,
	boxrule=0.6mm,
	coltitle=black,
	rounded corners,
	before skip=10pt,
	after skip=10pt
}

\newtcolorbox{merkbox}[1][]{
	title={Merken: #1},
	colback=white,
	colframe=white!75!red,
	fonttitle=\bfseries,
	boxrule=0.6mm,
	coltitle=black,
	rounded corners,
	before skip=10pt,
	after skip=10pt
}



\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
\definecolor{codeblue}{rgb}{0,0,0.8}
\definecolor{codered}{rgb}{0.8,0,0}
\definecolor{lightgray}{rgb}{0.95,0.95,0.95}

\lstdefinestyle{CStyle}{
	language=C,
	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
	keywordstyle=\color{blue}\bfseries, % Schlüsselwörter fett und blau
	stringstyle=\color{red}, % Strings rot
	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
	numbers=left, % Zeilennummern links
	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
	numberstyle=\color{gray}\texttt,
	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
	frame=single, % Rahmen um den Code
	tabsize=4, % Tabulatorgröße
	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
	captionpos=below,
	showstringspaces=false,
	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
}


\lstdefinestyle{ShellStyle}{
	language=Bash,
	basicstyle=\ttfamily\small, % Monospace-Schrift
	keywordstyle=\color{black}, % Schlüsselwörter fett und blau
	stringstyle=\color{black}, % Strings rot
	commentstyle=\color{codegreen}, % Kommentare grün
	backgroundcolor=\color{lightgray}, % Hintergrundfarbe
	numbers=left, % Zeilennummern links
	numbersep=10px, % Abstand zwischen Zeilennummern und Code
	numberstyle=\color{gray}\texttt,
	stepnumber=1, % Zeilennummerierung Schrittweite 1
	frame=single, % Rahmen um den Code
	tabsize=4, % Tabulatorgröße
	breaklines=true, % Zeilenumbruch aktivieren
	captionpos=below,
	showstringspaces=false,
	xleftmargin=15pt, % Linker Rand für den Code (verschiebt alles nach rechts)
}


% Umgebung für Listings mit Titel und Zähler
\newenvironment{codeexample}[1][]{
	\refstepcounter{commoncounter} % Zähler erhöhen
	\lstset{
		style=CSharpStyle,
		caption={Listing \thecommoncounter: #1}, % Titel mit Zähler
		label={listing:\thecommoncounter}
	}
}{}

\makeatletter
% Internen Zähler von subsubsection auf commoncounter umbiegen
\let\c@subsubsection\c@commoncounter

% Anzeige der Nummer angleichen
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thecommoncounter}
\makeatother

\setlength{\parindent}{0pt}



\newcommand{\curdate}{09.07.2026}
\newcommand{\curtitle}{Pascalsches Dreieck}

\title{\curtitle}
\author{Fierke, Janik, Weidlich}
\pagestyle{scrheadings}
\date{\curdate}
\begin{document}
	\ihead{\normalfont\normalsize Mathematik}
	\chead{\normalfont\normalsize \curtitle}
	\ohead{\normalfont\normalsize \curdate}
	\ofoot{\normalfont\normalsize Seite {\pagemark} von \pageref{LastPage}}
	\ifoot{\normalfont\normalsize Fierke, Janik, Weidlich}
	
	\section{\curtitle}
	Im Stochastikunterricht ist dir sicherlich schoneinmal die Formel des Binomialkoeffienten begegnet:
	\begin{definitionbox}[Binomialkoeffizient]
		Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Elementen $k$ verschiedene Elemente auszuwählen:
		\[
			\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
		\]
	\end{definitionbox}
	
	Zum Warmwerden berechnen wir:
	\begin{multicols}{3}
		$\binom{3}{0}=$ \hrulefill\\\\
		$\binom{3}{3}=$ \hrulefill\\\\
		$\binom{7}{3}=$ \hrulefill\\\\
		
		$\binom{5}{0}=$ \hrulefill\\\\
		$\binom{5}{5}=$ \hrulefill\\\\
		$\binom{4}{2}=$ \hrulefill\\\\
		
		
		$\binom{n}{0}=$ \hrulefill { }für $n\in\mathbb{N}$\\\\		
		$\binom{n}{n}=$ \hrulefill { }für $n\in\mathbb{N}$\\\\
		
	\end{multicols}
	
	\begin{enumerate}
		\item Berechne nun nach folgender Regel:
		\begin{center}
			\textit{Die Summe des Steins ist die Summe der darüberliegenden Steine. }
		\end{center}
		\begin{figure}[!ht]
			\centering
			\begin{circuitikz}[x=0.8cm,y=0.8cm]
				
				% oberste Reihe
				\draw[dashed,gray!60] (8.875,16.25) rectangle (10.25,14.875);
				\node[text=gray!60] at (9.55,15.5625) {0};
				
				\draw (10.25,16.25) rectangle (13,14.875);
				\node[anchor=center] at (11.6,15.5625) {1};
				
				\draw[dashed,gray!60] (13,16.25) rectangle (14.375,14.875);
				\node[text=gray!60] at (13.75,15.5625) {0};
				
				% zweite Reihe
				\draw[dashed,gray!60] (7.5,14.875) rectangle (8.875,13.5);
				\node[text=gray!60] at (8.175,14.1875) {0};
				
				\draw (8.875,14.875) rectangle (11.625,13.5);
				
				\draw (11.625,14.875) rectangle (14.375,13.5);
				
				\draw[dashed,gray!60] (14.375,14.875) rectangle (15.75,13.5);
				\node[text=gray!60] at (15,14.1875) {0};
				
				% dritte Reihe
				\draw[dashed,gray!60] (6.125,13.5) rectangle (7.5,12.125);
				\node[text=gray!60] at (6.8,12.8125) {0};
				
				\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
				
				\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
				
				\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
				
				\draw[dashed,gray!60] (15.75,13.5) rectangle (17.125,12.125);
				\node[text=gray!60] at (16.375,12.8125) {0};
				
				% unterste Reihe
				\draw[dashed,gray!60] (4.75,12.125) rectangle (6.125,10.75);
				\node[text=gray!60] at (5.425,11.4375) {0};
				
				\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
				
				\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
				
				\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
				
				\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
				
				\draw[dashed,gray!60] (17.125,12.125) rectangle (18.5,10.75);
				\node[text=gray!60] at (17.875,11.4375) {0};
				
			\end{circuitikz}
		\end{figure}
		
		\item Berechne die Steine der Pyramide:
			\begin{figure}[!ht]
				\centering
				\begin{circuitikz}[x=0.8cm,y=0.8cm]
					
					\draw (10.25,16.25) rectangle (13,14.875);
					\node at (10.875,15.5625) {$\binom{0}{0}=$};
					
					\draw (8.875,14.875) rectangle (11.625,13.5);
					\node at (9.5,14.1875) {$\binom{1}{0}=$};
					
					\draw (11.625,14.875) rectangle (14.375,13.5);
					\node at (12.25,14.1875) {$\binom{1}{1}=$};
					
					\draw (10.25,13.5) rectangle (13,12.125);
					\node at (10.875,12.8125) {$\binom{2}{0}=$};
					
					\draw (7.5,13.5) rectangle (10.25,12.125);
					\node at (8.125,12.8125) {$\binom{2}{1}=$};
					
					\draw (13,13.5) rectangle (15.75,12.125);
					\node at (13.625,12.8125) {$\binom{2}{2}=$};
					
					\draw (11.625,12.125) rectangle (14.375,10.75);
					\node at (12.25,11.4375) {$\binom{3}{0}=$};
					
					\draw (8.875,12.125) rectangle (11.625,10.75);
					\node at (9.5,11.4375) {$\binom{3}{1}=$};
					
					\draw (6.125,12.125) rectangle (8.875,10.75);
					\node at (6.75,11.4375) {$\binom{3}{2}=$};
					
					\draw (14.375,12.125) rectangle (17.125,10.75);
					\node at (15,11.4375) {$\binom{3}{3}=$};
				\end{circuitikz}
			\end{figure}
	\end{enumerate}
	\begin{extrataskbox}
		Entwirf einen Computeralgorithmus, der den Binomialkoeffizienten berechnet, ohne dass dieser die Fakultät benutzt!
	\end{extrataskbox}
	
	{\begin{wrapfigure}{r}{0.4\textwidth}
		\centering
		\includegraphics[width=0.7\linewidth]{galtonbrett}
		
		\caption{}
		\label{fig:galtonbrett}
	\end{wrapfigure}
	
	Beim Galtonbrett lassen wir kleine Murmeln auf dreieckig angeordnete Stäbchen fallen. Trifft eine Murmel auf ein Stäbchen, fällt sie gleichwahrscheinlich entweder nach links, oder nach rechts.
	
	}
	
	\vspace{90pt}
	\begin{enumerate}
		\item Zeichne in das Galtonbrett alle Wege ein, die eine Murmel nehmen kann, wenn sie auf den obersten Stab fallen gelassen wird.\\
		\begin{multicols}{2}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				% Definition der Reihen
				\def\rows{4}
				
				% Zähler für die Beschriftung
				\newcounter{labelcount}
				
				% Fächer (Bins) am unteren Ende basierend auf der Reihenanzahl
				\foreach \i in {1,...,\rows} {
					\pgfmathsetmacro{\xpos}{\i * 2 - \rows}
					\draw[thick] (\xpos - 0.4, -\rows - 1.5) rectangle (\xpos + 0.4, -\rows - 0.2);
					\node at (\xpos, -\rows - 1.8) {\i};
				}
				
				% Dreieckiges Nagelbrett
				\foreach \y in {1,...,\rows} {
					\foreach \x in {1,...,\y} {
						\pgfmathsetmacro{\coordx}{2 * \x - \y}
						
						% Nagel zeichnen
						% Nagel nur bis zur vorletzten Reihe zeichnen
						\ifnum \y < \rows
						\filldraw[black] (\coordx, -\y) circle (2.5pt);
						
						% Erste fünf Nägel mit a,b,c,d,e beschriften
						\stepcounter{labelcount}
						\ifnum\value{labelcount}<11
						\node[anchor=south east] at (\coordx-0.16,-\y-0.3)
						{\alph{labelcount}};
						\fi
						\fi
						
						% Wege nach unten zeichnen (auch von der letzten Reihe aus nicht nötig,
						% daher weiterhin nur bis zur vorletzten Reihe)
						\ifnum \y < \rows
						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx - 1, -\y - 1);
						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx + 1, -\y - 1);
						\fi
					}
				}
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				% Definition der Reihen
				\def\rows{5}
				
				% Zähler für die Beschriftung
				\newcounter{labelcountzwo}
				
				% Fächer (Bins) am unteren Ende basierend auf der Reihenanzahl
				\foreach \i in {1,...,\rows} {
					\pgfmathsetmacro{\xpos}{\i * 2 - \rows}
					\draw[thick] (\xpos - 0.4, -\rows - 1.5) rectangle (\xpos + 0.4, -\rows - 0.2);
					\node at (\xpos, -\rows - 1.8) {\i};
				}
				
				% Dreieckiges Nagelbrett
				\foreach \y in {1,...,\rows} {
					\foreach \x in {1,...,\y} {
						\pgfmathsetmacro{\coordx}{2 * \x - \y}
						
						% Nagel zeichnen
						% Nagel nur bis zur vorletzten Reihe zeichnen
						\ifnum \y < \rows
						\filldraw[black] (\coordx, -\y) circle (2.5pt);
						
						% Erste fünf Nägel mit a,b,c,d,e beschriften
						\stepcounter{labelcountzwo}
						\ifnum\value{labelcountzwo}<11
						\node[anchor=south east] at (\coordx-0.16,-\y-0.3)
						{\alph{labelcountzwo}};
						\fi
						\fi
						
						% Wege nach unten zeichnen (auch von der letzten Reihe aus nicht nötig,
						% daher weiterhin nur bis zur vorletzten Reihe)
						\ifnum \y < \rows
						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx - 1, -\y - 1);
						\draw[gray, thin] (\coordx, -\y) -- (\coordx + 1, -\y - 1);
						\fi
					}
				}
			\end{tikzpicture}
		\end{multicols}
		
		\item Zähle nun die verschiedenen Pfade, die eine Mumel nehmen kann, sodass sie in den darunterliegenden Fächern landet. Beschrifte dafür die Pfade und nutze die Mengenschreibweise, um keinen Pfad zu vergessen.\\
		Beispiel: Fach 1: $A_1=\{(a,c,g)\} \Rightarrow \text{Pfade}_1=|A_1|=1$
		\vspace{85pt}
		
		\item Dir ist sicherlich schon aufgefallen, dass die meisten Pfade in die Mitte führen. Untersuche nun die Anzahl der Pfade zu jedem der Stäbchen und vergleiche diese mit dem pascalschen Dreieck. Was fällt dir auf?
		\vspace{85pt}
		
		\item Gib die Verteilung des Galtonbretts mithilfe einer Zufallsvariabel $X$ an. Wie könnte diese mit dem pascalschen Dreieck zusammenhängen?
		\vspace{85pt}
	\end{enumerate}
	
	\label{LastPage}
\end{document}
