In dieser Arbeit widmen wir uns der mathematischen Formalisierung eines faszinierenden Phänomens: Wie verteilen sich zufällige Ereignisse, wenn sie sehr oft wiederholt werden? Als anschauliches Modell dient uns hierfür das Galtonbrett, bei dem Kugeln an Hindernissen zufällig nach links oder rechts fallen. 

%Informell lautet unsere Fragestellung: Lässt sich das exakte, aber für große Zahlen unhandliche Zählverfahren der Kugelwege (Kombinatorik) durch eine einfachere, kontinuierliche Kurve beschreiben? 

Der mathematische Rahmen bewegt sich dabei im Übergang von der diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie zur stetigen Analysis. Wir modellieren den Fall einer Kugel zunächst als Summe unabhängiger, identisch verteilter Bernoulli-Zufallsvariablen, was direkt zur Binomialverteilung führt. Da die direkten Berechnungen der Binomialkoeffizienten für eine große Anzahl an Reihen (für $n \to \infty$) aufgrund der Fakultäten extrem aufwendig werden, suchen wir nach einer asymptotischen Näherung. Außerdem ist es ein sehr schönes Resultat, dass aus einer Binomialverteilung eine Normalverteilung "entstehen" kann.

Den größeren Kontext bildet die Verknüpfung grundlegender mathematischer Werkzeuge, um genau dies zu beweisen. Wir greifen auf die \emph{Stirling-Approximation} (zur Näherung von Fakultäten) und die \emph{Taylor-Entwicklung} (zur Approximation von Logarithmen) zurück. Diese analytischen Werkzeuge schlagen die Brücke zwischen der diskreten Welt des Pascalschen Dreiecks und der kontinuierlichen Welt der Exponentialfunktion.

Das Herzstück der Arbeit und die formale Antwort auf unsere Fragestellung bildet der \emph{Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace}. Er besagt, dass sich die diskrete Binomialverteilung für große $n$ der stetigen Normalverteilung (der bekannten Gaußschen Glockenkurve) annähert.

Damit wird mathematisch präzise gezeigt, wie ein System aus einfachen, binären Entscheidungen (links oder rechts) bei ausreichend vielen Wiederholungen unweigerlich in ein universelles, kontinuierliches Verteilungsmodell mündet.
